1、 2013 年辽宁省本溪市中考真题数学 一、选择题 (共 10 小题，每小题 3 分，满分 30分 ) 1.(3 分 ) 的绝对值是 ( ) A. 3 B. -3 C. D. 解析： |- |= .故 - 的绝对值是 . 答案 ： C. 2.(3 分 )如图放置的圆柱体的左视图为 ( ) A. B. C. D. 解析： 圆柱的左视图是矩形 . 答案 ： A. 3.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. a3 a2=a6 B. 2a(3a-1)=6a3-1 C. (3a2)2=6a4 D. 2a+3a=5a 解析： A、 a3 a2=a5，本选项错误； B、 2a(3a-1)=6a2-2a，
2、本选项错误； C、 (3a2)2=9a4，本选项错误； D、 2a+3a=5a，本选项正确， 答案 ： D 4.(3分 )如图，直线 ABCD ，直线 EF与 AB， CD分别交于点 E， F， ECEF ，垂足为 E，若 1=60 ，则 2 的度数为 ( ) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 解析： 如图， 3=1=60 (对顶角相等 )， ABCD ， EGEF ， 3+90+2=180 ，即 60+90+2=180 ，解得 2=30 . 答案 ： B. 5.(3 分 )下列说法中，正确的是 ( ) A. 对载人航天器 “ 神舟十号 ” 的零部件的检查适合采用抽样调查的方式
3、B. 某市天气预报中说 “ 明天降雨的概率是 80%” ，表示明天该市有 80%的地区降雨 C. 第一枚硬币，正面朝上的概率为 D. 若甲组数据的方差 =0.1，乙组数据的方差 =0.01，则甲组数据比乙组数据稳定 解析： A、对载人航天器 “ 神舟十号 ” 的零部件的检查，因为意义重大，适合采用全面调查的方式，故此选项错误； B、某市天气预报中说 “ 明天降雨的概率是 80%” ，表示明天该市有 80%的可能降水，故此选项错误； C、一枚硬币，正面朝上的概率为 ，故此选项正确； D、若甲组数据的方差 =0.1，乙组数据的方差 =0.01，则乙组数据比甲组数据稳定，故此选项错误； 答案 ： C
4、. 6.(3 分 )甲、乙两盒中各放入分别写有数字 1， 2， 3 的三张卡片，每张卡片除数字外其他完全相同 .从甲盒中随机 抽出一张卡片，再从乙盒中随机摸出一张卡片，摸出的两张卡片上的数字之和是 3 的概率是 ( ) A. B. C. D. 解析： 列表如下： 所有等可能的情况数有 9 种，其中数字之和为 3 的有 2 种，则 P 数字之和为 3= . 答案 ： B. 7.(3 分 )如图，在菱形 ABCD 中， BAD=2B ， E， F 分别为 BC， CD 的中点，连接 AE、 AC、AF，则图中与 ABE 全等的三角形 (ABE 除外 )有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C.
5、3 个 D. 4 个 解析： 四边形 ABCD 是菱形， AB=BC=CD=DA ， D=B ， ADBC ， BAD+B=180 ， BAD=2B ， B=60 ， D=B=60 ， ABC 与 ACD 是全等的等边三角形 . E ， F 分别为 BC， CD 的中点， BE=CE=CF=DF= AB. 在 ABE 与 ACE 中， ， ABEACE (SAS)， 同理， ACFADFABE ， 图中与 ABE 全等的三角形 (ABE 除外 )有 3 个 . 答案 ： C. 8.(3 分 )某服装加工厂计划加工 400 套运动服，在加工完 160 套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了
6、20%，结果共用了 18 天完成全部任务 .设原计划每天加工 x 套运动服，根据题意可列方程为 ( ) A. B. C. D. 解析： 采用新技术前用的时间可表示为： 天， 采用新技术后所用的时间可表示为： 天 . 方程可表示为： . 答案 ： B. 9.(3分 )如图， O 的半径是 3，点 P是弦 AB延长线上的一点，连接 OP，若 OP=4， APO=30 ，则弦 AB 的长为 ( ) A. 2 B. C. 2 D. 解析： 过 O 作 OCAP 于点 C，连结 OB， OP=4 ， APO=30 ， OC=sin304=2 ， OB=3 ， BC= = = ， AB=2 ； 答案 ：
7、A. 10.(3 分 )如图，在矩形 OABC 中， AB=2BC，点 A 在 y 轴的正半轴上，点 C在 x 轴的正半轴上，连接 OB，反比例函数 y= (k0 ， x 0)的图象经过 OB 的中点 D，与 BC 边交于点 E，点 E 的横坐标是 4，则 k 的值是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 在矩形 OABC 中， AB=2BC，反比例函数 y= (k0 ， x 0)的图象经过 OB 的中点 D，与 BC 边交于点 E，点 E 的横坐标是 4， D 点横坐标为： 2， AB=OC=4， BC= AB=2， D 点纵坐标为： 1， k=xy=12=2 . 答案 ：
8、 B. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24分 ) 11.(3 分 )在函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析： 根据题意得： 2x-10 ，解得， x . 答案： x 12.(3 分 )一种花粉颗粒的直径约为 0.0000065 米，将 0.0000065 用科学记数法表示为 . 解析： 0.0000065=6.510 -6. 答案 ： 6.510 -6. 13.(3 分 )在平面直角坐标系中，点 P(5， -3)关于原点对称的点的坐标是 . 解析： 点 P(5， -3)关于原点对称的点的坐标是 (-5， 3). 答案 ： (-5， 3). 14.(3 分 )在
9、一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共 40 个，除颜色外其他完全相同 .小明从这个袋子中随机摸出一球，放回 .通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在 15%附近，则袋中黄色球可能有 个 . 解析： 设袋中黄色球可能有 x 个 . 根据题意，任意摸出 1 个，摸到黄色乒乓球的概率是： 15%= ，解得： x=6. 答案 ： 6. 15.(3 分 )在平面直角坐标系中，把抛物线 y=- x2+1 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位，则所得抛物线的解析式是 . 解析： 抛物线 y=- x2+1 的顶点坐标为 (0， 1)， 向上平移 3 个单位，再向左平移 1 个单位后的抛物线
10、的顶点坐标为 (-1， 4)， 所得抛物线的解析式为 y=- (x+1)2+4. 答案 ： y=- (x+1)2+4. 16.(3 分 )已知圆锥底面圆的半径为 6cm，它的侧面积为 60cm 2，则这个圆锥的高是 cm. 解析： 设圆锥的母线长为 l， 根据题意得 l 2 6=60 ，解得 l=10，所以圆锥的高 = =8(cm). 答案 ： 8. 17.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=10， AD=4，点 P 是边 AB 上一点，若 APD 与 BPC 相似，则满足条件的点 P 有 个 . 解析： 设 AP 为 x， AB=10 ， PB=10 -x， AD 和 PB 是对
11、应边时， APD 与 BPC 相似， = ，即 = ，整理得， x2-10x+16=0，解得 x1=2， x2=8， AD 和 BC 是对应边时， APD 与 BPC 相似， = ，即 = ，解得 x=5， 所以，当 AP=2、 5、 8 时， APD 与 BPC 相似，满足条件的点 P 有 3个 . 答案 ： 3. 18.(3 分 )如图，点 B1是面积为 1 的等边 OBA 的两条中线的交点，以 OB1为一边，构造等边OB 1A1(点 O， B1， A1按逆时针方向排列 )，称为第一次构造；点 B2是 OB 1A1的两条中线的交点，再以 OB2为一边，构造等边 OB 2A2(点 O， B2
12、， A2按逆时针方向排列 )，称为第二次构造；以此类推，当第 n 次构造出的等边 OB nAn的边 OAn与等边 OBA 的边 OB 第一次重合时，构造停止 .则构造出的最后一个三角形的面积是 . 解析： 点 B1是面积为 1 的等边 OBA 的两条中线的交点， 点 B1是 OBA 的重心，也是内心， BOB 1=30 ， OB 1A1是等边三角形， A 1OB=60+30=90 ， 每构造一次三角形， OBi 边与 OB 边的夹角增加 30 ， 还需要 (360-90)30=9 ，即一共 1+9=10 次构造后等边 OB nAn的边 OAn与等边 OBA 的边OB 第一次重合， 构造出的最后
13、一个三角形为等边 OB 10A10. 如图，过点 B1作 B1MOB 于点 M， cosB 1OM=cos30= = ， = = = ，即 = ， =( )2= ，即 SOB1A1 = SOBA = ， 同理，可得 =( )2= ，即 SOB2A2 = SOB1A1 =( )2= ， ， S OB10A10 = SOB9A9 =( )10= ，即构造出的最后一个三角形的面积是 . 答案 ： . 三、解答题 (共 2 小题，共 22 分 ) 19.(10 分 ) (1)计算： +(x-2)0- -2cos45 (2)先化简，再求值： ( + ) (1+ )，其中 m=-3. 解析： (1)原式第
14、一项利用立方根的定义化简，第二先利用零指数幂法则计算，第三项利用负指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果； (2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分得到最简结果，将 m 的值代入计算即可求出值 . 答案 ： (1)原式 =3+1-5- =- -1； (2)原式 = + =( + ) = = 当 m=-3 时，原式 = = . 20.(12 分 )某校对九年级全体学生进行了一次学业水平测试，成绩评定分为 A， B， C， D 四个等级 (A， B， C， D 分别代表优秀、良好、合格、不合格 )该校从九年级学生中随机抽取了一部分学生的成绩，绘制成
15、以下不完整的统计图 .请你根据统计图提供的信息 答案 下列问题； (1)本次调查中，一共抽取了 名学生的成绩； (2)将上面的条形统计图补充完整，写出扇形统计图中等级 C 的百分比 . (3)若等级 D 的 5 名学生的成绩 (单位：分 )分别是 55、 48、 57、 51、 55.则这 5 个数据的中位数是 分，众数是 分 . (4)如果该校九年级共有 500 名学生，试估计在这次测试中成绩达到优秀的人数 . 解析： (1)根据等级 B 中男女人数之和除以所占的百分比即可得到调查的总学生数； (2)根据总学生数乘以 A 占的百分比求出等级 A 中男女的学生总数，进而求出等级 A 男生的人数
16、，求出等级 D 占的百分比，确定出等级 C 占的百分比，乘以总人数求出等级 C 的男女之和人数，进而求出等级 C 的女生人数，补全条形统计图即可； (3)将等级 D 的五人成绩按照从小到大的顺序排列，找出最中 间的数字即为中位数，找出出现次数最多的数字为众数； (4)用 500 乘以等级 A 所占的百分比，即可得到结果 . 答案 ： (1)根据题意得： (12+8)40%=50 (人 )，则本次调查了 50 名学生的成绩； (2)等级 A 的学生数为 5020%=10 (人 )，即等级 A 男生为 4 人； 等级 D 占的百分比为 100%=10% ； 等级 C 占的百分比为 1-(40%+2
17、0%+10%)=30%， 等级 C 的学生数为 5030%=15 (人 )，即女生为 7 人，补全条形统计图，如图所示： (4)根据题意得： 50020%=100 (人 )，则在这次测试中成绩达到优秀的人数有 100 人 . 点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的 21.(12 分 )如图， O 是 ACD 的外接圆， AB 是直径，过点 D 作直线 DEAB ，过点 B 作直线BEAD ，两直线交于点 E，如果 ACD=45 ， O 的半径是 4cm (1)请判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由； (2)求图中阴影部分的面积 (结果用 表示 )
18、. 解析： (1)连结 OD，根据圆周角定理得 ABD=ACD=45 ， ADB=90 ，可判断 ADB 为等腰直角三角形，所以 ODAB ，而 DEAB ，则有 ODDE ，然后根据切线的判定定理得到 DE为 O 的切线； (2)先由 BEAD ， DEAB 得到四边形 ABED 为平行四边形，则 DE=AB=8cm，然后根据梯形的面积公式和扇形的面积公式利用 S 阴影部分 =S 梯形 BODE-S 扇形 OBD 进行计算即可 . 答案 ： (1)DE 与 O 相切 .理由如下：连结 OD， BD，则 ABD=ACD=45 ， AB 是直径， ADB=90 ， A DB 为等腰直角三角形，
19、点 O 为 AB 的中点， ODAB ， DEAB ， ODDE ， OD 是半径， DE 为 O 的切线； (2)BEAD ， DEAB ， 四边形 ABED 为平行四边形， DE=AB=8cm ， S 阴影部分 =S 梯形 BODE-S 扇形 OBD= (4+8)4 - =(24-4 )cm2. 22.(12 分 )某中学响应 “ 阳光体育 ” 活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同，若购买 2 个足球和 3 个篮球共需340 元，购买 4 个排球和 5 个篮球共需 600 元 . (1)求购买一个足球，一个篮球分别需要多少元？ (
20、2)该中学根据实际情况，需从体育用品商店一次性购买三种球共 100 个，且购买三种球的总费用不超过 6000 元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？ 解析： (1)设购买一个足球需要 x 元，则购买一个排球也需要 x 元，购买一个篮球 y 元，根据购买 2 个足球和 3 个篮球共需 340 元， 4 个排球和 5 个篮球共需 600 元，可得出方程组，解出即可； (2)设该中学购买篮球 m 个，根据购买三种球的总费用不超过 6000 元，可得出不等式，解出即可 . 答案 ： (1)设购买一个足球需要 x 元，则购买一个排球也需要 x 元，购买一个篮球 y 元， 由题意得： ，解得： ， 答：购
21、买一个足球需要 50 元，购买一个篮球需要 80 元； (2)设该中学购买篮球 m 个，由题意得： 80m+50(100-m)6000 ，解得： m33 ， m 是整数， m 最大可取 33. 答：这所中学最多可以购买篮球 33 个 . 23.(12 分 )校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载 .某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路 l 旁选取一点 A，在公路 l 上确定点 B、 C，使得 ACl ， BAC=60 ，再在 AC 上确定点 D，使得 BDC=75 ，测得 AD=40 米，已知本路段对校车限速是 50 千米 /时，若测得某
22、校车从 B到 C 匀速行驶用时10 秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由 (参考数据： =1.41， =1.73) 解析： 过点 D 作 DEAB 于点 E，证明 BCDBED ，在 RtADE 中求出 DE，继而得出 CD，计算出 AC 的长度后，在 RtABC 中求出 BC，继而可判断是否超速 . 答案 ：过点 D 作 DEAB 于点 E， CDB=75 ， CBD=15 ， EBD=15 ， 在 RtCBD 和 RtEBD 中， ， CBDEBD ， CD=DE ， 在 RtADE 中， A=60 ， AD=40 米， 则 DE=ADsin60=20 米， 故 AC=AD+CD=AD
23、+DE=(40+20 )米， 在 RtABC 中， BC=ACtanA= (40 +60)米，则速度 = =4 +612.92 米 /秒， 12.92 米 /秒 =46.512 千米 /小时， 该车没有超速 . 24.(12 分 )某蔬菜经销商到蔬菜种植基地采购一种蔬菜，经销商一次性采购蔬菜的采购单价y(元 /千克 )与采购量 x(千克 )之间的函数关系图象如图中折线 AB-BC-CD所示 (不包括端点A). (1)当 100 x 200 时，直接写 y 与 x 之间的函数关系式： . (2)蔬菜的种植成本为 2 元 /千克，某经销商一次性采购蔬菜的采购量不超过 200 千克，当采购量是多少时
24、，蔬菜种植基地获利最大，最大利润是多少元？ (3)在 (2)的条件下，求经销商一次性采购的蔬菜是多少千克时，蔬菜种植基地能获得 418元的利润？ 解析： (1)利用待定系数法求出当 100 x 200 时， y 与 x 之间的函数关系式即可； (2)根据当 0 x100 时，当 100 x200 时，分别求出获利 W 与 x的函数关系式，进而求出最值即可； (3)根据 (2)中所求得出， -0.02(x-150)2+450=418 求出即可 . 答案 ： (1)设当 100 x 200 时， y 与 x 之间的函数关系式为： y=ax+b， ，解得： y 与 x 之间的函数关系式为： y=-0
25、.02x+8； 故答案为： y=-0.02x+8； (2)当采购量是 x 千克时，蔬菜种植基地获利 W 元， 当 0 x100 时， W=(6-2)x=4x， 当 x=100 时， W 有最大值 400 元， 当 100 x200 时， W=(y-2)x=(-0.02x+6)x=-0.02(x-150)2+450， a= -0.02 0， 当 x=150 时， W 有最大值为 450 元， 综上所述，一次性采购量为 150 千克时，蔬菜种植基地能获得最大利润为 450 元； (3)418 450， 根据 (2)可得， -0.02(x-150)2+450=418， 解得： x1=110， x 2
26、=190， 答：经销商一次性采购的蔬菜是 110 千克或 190 千克时，蔬菜种植基地能获得 418 元的利润 . 25.(12 分 )在 ABC 中， ACB=90 ， A 45 ，点 O 为 AB 中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点 O 重合，一边 OE 经过点 C，另一边 OD 与 AC 交于点 M. (1)如图 1，当 A=30 时，求证： MC2=AM2+BC2； (2)如图 2，当 A30 时， (1)中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由； (3)将三角形 ODE 绕点 O 旋转，若直线 OD 与直线 AC相交于点 M，直线 O
27、E 与直线 BC 相交于点 N，连接 MN，则 MN2=AM2+BN2成立吗？ 答： (填 “ 成立 ” 或 “ 不成立 ” ) 解析： (1)过 A作 AFAC 交 CO延长线于 F，连接 MF，根据相似求出 AF=BC， CO=OF，求出 FM=CM，根据勾股定理求出即可； (2)过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF，根据相似 求出 AF=BC， CO=OF，求出 FM=CM，根据勾股定理求出即可； (3)结论依然成立 . 答案 ： (1)如图 1，过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF， ACB=90 ， BCAF ， BOCAOF ， = = ，
28、O 为 AB 中点， OA=OB ， AF=BC ， CO=OF， MOC=90 ， OM 是 CF 的垂直平分线， CM=MF ， 在 RtAMF 中，由勾股定理得： MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即 MC2=AM2+BC2； (2)还成立，理由是：如图 2，过 A 作 AFAC 交 CO 延长线于 F，连接 MF， ACB=90 ， BCAF ， BOCAOF ， = = ， OA=OB ， AF=BC ， CO=OF， MOC=90 ， OM 是 CF 的垂直平分线， CM=MF ， 在 RtAMF 中，由勾股定理得： MF2=AM2+AF2=AM2+BC2，即 MC2=AM2
29、+BC2； (3)成立 . 26.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，点 O 是原点，矩形 OABC 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 C 在 y 的正半轴上，点 B 的坐标是 (5， 3)，抛物线 y= x2+bx+c 经过 A、 C 两点，与 x 轴的另一个交点是点 D，连接 BD. (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 是抛物线对称轴上的一点，以 M、 B、 D 为顶点的三角形的面积是 6，求点 M 的坐标； (3)点 P 从点 D 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 DB 匀速运动，同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿 BAD 匀速运动，当点 P 到
30、达点 B 时， P、 Q 同时停止运动，设运动的时间为 t 秒，当 t 为何值时，以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形？请直接写出所有符合条件的值 . 解析： (1)求出点 A、 C 的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)如答图 1 所示，关键是求出 MG 的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点 M 有 2个，不要漏解； (3)DPQ 为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论： 若 PD=PQ，如答图 2 所示； 若 PD=DQ，如答图 3 所示； 若 PQ=DQ，如答图 4 所示 . 答案 ： (1) 矩形 ABCD， B(5， 3)， A (5， 0)， C(
31、0， 3). 点 A(5， 0)， C(0， 3)在抛物线 y= x2+bx+c 上， ，解得： b= ， c=3. 抛物线的解析式为： y= x2 x+3. (2)y= x2 x+3= (x-3)2- ， 抛物线的对称轴为直线 x=3. 如答图 1 所示，设对称轴与 BD 交于点 G，与 x 轴交于点 H，则 H(3， 0). 令 y=0，即 x2 x+3=0，解得 x=1 或 x=5.D (1， 0)， DH=2 ， AH=2， AD=4. tanADB= = ， GH=DH tanADB=2 = ， G (3， ). S MBD =6，即 SMDG +SMBG =6， MG DH+ MG
32、 AH=6， 即： MG2+ MG2=6 ，解得： MG=3. 点 M 的坐标为 (3， )或 (3， ). (3)在 RtABD 中， AB=3， AD=4，则 BD=5， sinB= ， cosB= . 以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形，则： 若 PD=PQ，如答图 2 所示： 此时有 PD=PQ=BQ=t，过点 Q 作 QEBD 于点 E， 则 BE=PE， BE=BQ cosB= t， QE=BQ sinB= t， DE=t+ t= t. 由勾股定理得： DQ2=DE2+QE2=AD2+AQ2，即 ( t)2+( t)2=42+(3-t)2， 整理得： 11t2+6t-2
33、5=0，解得： t= 或 t=-5(舍去 )， t= ； 若 PD=DQ，如答图 3 所示： 此时 PD=t， DQ=AB+AD-t=7-t， t=7 -t， t= ； 若 PQ=DQ，如答图 4 所示： PD=t ， BP=5 -t； DQ=7 -t， PQ=7 -t， AQ=4-(7-t)=t-3. 过点 P 作 PFAB 于点 F，则 PF=PB sinB=(5-t) =4- t， BF=PB cosB=(5-t) =3- t.AF=AB -BF=3-(3- t)= t. 过点 P 作 PEAD 于点 E，则 PEAF 为矩形， PE=AF= t， AE=PF=4- t， EQ=AQ -AE=(t-3)-(4- t)= t-7. 在 RtPQE 中，由勾股定理得： EQ2+PE2=PQ2，即： ( t-7)2+( t)2=(7-t)2， 整理得： 13t2-56t=0，解得： t=0(舍去 )或 t= .t= . 综上所述，当 t= ， t= 或 t= 时，以 D、 P、 Q 为顶点的三角形是等腰三角形 .
