1、2013 年辽宁省沈阳市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分 ) 1.(3 分 )2013 年第一季度，沈阳市公共财政预算收入完成 196 亿元 (数据来源： 4月 16 日沈阳日报 )，将 196 亿用科学记数法表示为 ( ) A. 1.9610 8 B. 19.610 8 C. 1.9610 10 D. 19.610 10 解析 ： 196 亿 =19 600 000 000=1.9610 10. 答案： C. 2.(3 分 )如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是 ( ) A. 圆柱体 B. 三棱锥 C. 球体 D. 圆锥体 解析 ： 由于主视图和左视图为长
2、方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得为圆柱体 . 答案： A. 3.(3 分 )下面的计算一定正确的是 ( ) A. b3+b3=2b6 B. (-3pq)2=-9p2q2 C. 5y33y 5=15y8 D. b9b 3=b3 解析 ： A、 b3+b3=2b3，故本选项错误； B、 (-3pq)2=9p2q2，故本选项错误； C、 5y33y 5=15y8，故本选项正确； D、 b9b 3=b6，故本选项错误 . 答案： C. 4.(3 分 )如果 m= ，那么 m 的取值范围是 ( ) A. 0 m 1 B. 1 m 2 C. 2 m 3 D. 3 m 4 解析 ： 2 3， m=
3、， m 的取值范围是 1 m 2； 答案： B. 5.(3 分 )下列事件中，是不可能事件的是 ( ) A. 买一张电影票，座位号是奇数 B. 射击运动员射击一次，命中 9 环 C. 明天会下雨 D. 度量三角形的内角和，结果是 360 解析 ： A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故 A 选项错误； B、射击运动员射击一次，命中 9 环，是随机事件，故 B 选项错误； C、明天会下雨，是随机事件，故 C 选项错误； D、度量一个三角形的内角和，结果是 360 ，是不可能事件，故 D 选项正确 . 答案： D. 6.(3 分 )计算 的结果是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：
4、原式 = - = = . 答案： B. 7.(3 分 )在同一平面直角坐标系中，函数 y=x-1 与函数 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 函数 中， k=1 0，故图象在第一三象限；函数 y=x-1 的图象在第一三四象限， 答案： C. 8.(3 分 )如图， ABC 中， AE 交 BC 于点 D， C=E ， AD=4， BC=8， BD： DC=5： 3，则 DE 的长等于 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ADC=BDE ， C=E ， ADCBDE ， ， AD=4 ， BC=8， BD： DC=5： 3， BD=5 ， DC=3， DE= = . 答
5、案： B. 二、填空题 (每小题 4 题，共 32 分 ) 9.(4 分 )(2014 泸州 )分解因式： 3a2+6a+3= . 解析 ： 3a2+6a+3=3(a2+2a+1)=3(a+1)2. 答案 ： 3(a+1)2. 10.(4 分 )一组数据 2， 4， x， -1 的平均数为 3，则 x 的值是 . 解析 ： 数据 2， 4， x， -1 的平均数为 3， (2+4+x -1)4=3 ，解得： x=7； 答案 ： 7. 11.(4 分 )在平面直角坐标系中，点 (-3， 2)关于原点对称的点的坐标是 . 解析 ： 根据平面直角坐标系内两点关于原点对称横纵坐标互为相反数， 点 (-
6、3， 2)关于原点对称的点的坐标是 (3， -2)， 答案 ： (3， -2). 12.(4 分 )若关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 有两个不相等的实数根，则 a的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得： =4 2-4a 0，即 16-4a 0，解得： a 4，则 a 的范围是 a 4. 答案 ： a 4. 13.(4 分 )如果 x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 5，那么 x=-1 时，代数式 2ax3+3bx+4 的值是 . 解析 ： x=1 时，代数式 2ax3+3bx+4=2a+3b+4=5，即 2a+3b=1， x= -1 时，代数式 2ax3+3bx+4
7、=-2a-3b+4=-(2a+3b)+4=-1+4=3. 答案 ： 3 14.(4 分 )如图，点 A、 B、 C、 D 都在 O 上， ABC=90 ， AD=3， CD=2，则 O 的直径的长是 . 解析 ： 连接 AC， 点 A、 B、 C、 D 都在 O 上， ABC=90 ， ADC=180 -ABC=90 ， AC 是直径， AD=3 ， CD=2， AC= = . 答案 ： . 15.(4 分 )有一组等式： 12+22+22=32， 22+32+62=72， 32+42+122=132， 42+52+202=212 请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第 8 个等式为 82
8、+92+722=732 . 解析 ： 1 2+22+22=32， 22+32+62=72， 32+42+122=132， 42+52+202=212， ， 第 8 个等式为： 82+92+(89) 2=(89+1) 2，即 82+92+722=732. 答案 ： 82+92+722=732. 16.(4 分 )已知等边三角形 ABC 的高为 4，在这个三角形所在的平面内有一点 P，若点 P 到 AB的距离是 1，点 P 到 AC 的距离是 2，则点 P到 BC的最小距离和最大距离分别是 . 解析 ： 根据题意画出相应的图形，直线 DM 与直线 NF 都与 AB 的距离为 1，直线 NG 与直线
9、 ME都与 AC 的距离为 2，当 P 与 N 重合时， HN 为 P 到 BC 的最小距离；当 P与 M 重合时， MQ 为 P到 BC 的最大距离，根据题意得到 NFG 与 MDE 都为等边三角形， DB=FB= = ， CE=CG= = ， DE=DB+BC+CE= + + = ， FG=BC-BF-CG= ， NH= FG=1， MQ= DE=7， 则点 P 到 BC 的最小距离和最大距离分别是 1， 7. 答案 ： 1， 7 三、解答题 (第 17、 18 小题各 8 分，第 19小题 10 分，共 26 分 ) 17.(8 分 )计算： . 解析 ： 本题涉及零指数幂、绝对值、特殊
10、角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： 原式 = -6 +1+2 -2=2 . 18.(8 分 )一家食品公司将一种新研发的食品免费送给一些人品尝，并让每个人按 A(不喜欢 )、B(一般 )、 C(比较喜欢 )、 D(非常喜欢 )四个等级对该食品进行评价，图 和图 是该公司采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图 . 请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题： (1)本次调查的人数为 人； (2)图 中， a= ， C 等级所占的圆心角的度数为 度； (3)请直接在答题卡中补全条形统计图 . 解析 ： (1)用 A 的人数
11、与所占的百分比列式计算即可得解； (2)先求出 C 的人数，再求出百分比即可得到 a 的值，用 C 所占的百分比乘以 360 计算即可得解； (3)根据计算补全统计图即可 . 答案： (1)2010%=200 人； (2)C 的人数为： 200-20-46-64=70，所占的百分比为： 100%=35% ，所以， a=35， 所占的圆心角的度数为： 35%360=126 ； 故答案为： (1)200； (2)35， 126. (3)补全统计图如图所示 . 19.(10 分 )如图， ABC 中， AB=BC， BEAC 于点 E， ADBC 于点 D， BAD=45 ， AD 与 BE交于点
12、F，连接 CF. (1)求证： BF=2AE； (2)若 CD= ，求 AD 的长 . 解析 ： (1)先判定出 ABD 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得 AD=BD，再根据同角的余角相等求出 CAD=CBE ，然后利用 “ 角边角 ” 证明 ADC 和 BDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得 BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得 AC=2AE，从而得证； (2)根据全等三角形对应边相等可得 DF=CD，然后利用勾股定理列式求出 CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AF=CF，然后根据 AD=AF+DF 代入数据即可得解 . 答案： (1)A
13、DBC ， BAD=45 ， ABD 是等 腰直角三角形， AD=BD ， BEAC ， ADBC CAD+ACD=90 ， CBE+ACD=90 ， CAD=CBE ， 在 ADC 和 BDF 中， ， ADCBDF(ASA) ， BF=AC ， AB=BC ， BEAC ， AC=2AE ， BF=2AE ； (2)ADCBDF ， DF=CD= ， 在 RtCDF 中， CF= = =2， BEAC ， AE=EC， AF=CF=2 ， AD=AF+DF=2+ . 四、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) 20.(10分 )在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数
14、，分别为 3， ，.(卡片除了实数不同外，其余均相同 ) (1)从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是 3 的概率； (2)先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图 (树形图 )法，求出两次恰好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率 . 解析 ： (1)由在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 3， ，直接利用概率公式求解即可求得答案； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果与两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的情况，再利用概率公式求解即可
15、求得答案 . 答案： (1) 在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为 3， ，. 从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上的实数是 3 的概率是： ； (2)画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的有 2 种情况， 两次好抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率为： = . 21.(10 分 )身高 1.65 米的兵兵在建筑物前放风 筝，风筝不小心挂在了树上 .在如图所示的平面图形中，矩形 CDEF 代表建筑物，兵兵位于建筑物前点 B 处，风筝挂在建筑物上方的树枝点 G 处 (点 G 在 FE 的延长线上 ).经测量，兵兵与建筑物的距离 BC
16、=5 米，建筑物底部宽 FC=7米，风筝所在点 G 与建筑物顶点 D 及风筝线在手中的点 A 在同一条直线上，点 A 距地面的高度 AB=1.4 米，风筝线与水平线夹角为 37 . (1)求风筝距地面的高度 GF； (2)在建筑物后面有长 5 米的梯子 MN，梯脚 M 在距墙 3 米处固定摆放，通过计算说明：若兵兵充分利用梯子和一根 5 米长的竹竿能否触到挂在树上的风筝？ (参考数据： sin370.60 ， cos370.80 ， tan370.75 ) 解析 ： (1)过 A 作 APGF 于点 P.在 RtPAG 中利用三角函数求得 GP 的长，进而求得 GF 的长； (2)在直角 MN
17、F 中，利用勾股定理求得 NF 的长度， NF 的长加上身高再加上竹竿长，与 GF比较大小即可 . 答案： (1)过 A 作 APGF 于点 P.则 AP=BF=12， AB=PF=1.4， GAP=37 ， 在 RtPAG 中， tanPAG= ， 兵兵与建筑物的距离 BC=5 米， AP=BF=FC+CB=5+7=12 GP=APtan37120.75=9( 米 )， GF=9+1.410.4( 米 )； (2)由题意可知 MN=5 米， MF=3 米， 在直角 MNF 中， NF= =4 米， 4+1.65+5=10.65 ， 10.65 10.4， 能触到挂在树上的风筝 . 22.(1
18、0 分 )如图， OC 平分 MON ，点 A 在射线 OC 上，以点 A为圆心，半径为 2的 A 与 OM相切与点 B，连接 BA 并延长交 A 于点 D，交 ON 于点 E. (1)求证： ON 是 A 的切线； (2)若 MON=60 ，求图中阴影部分的面积 .(结果保留 ) 解析 ： (1)首先过点 A 作 AFON 于点 F，易证得 AF=AB，即可得 ON是 A 的切线； (2)由 MON=60 ， ABOM ，可求得 AF 的长，又由 S 阴影 =SAEF -S 扇形 ADF，即可求得答案 . 答案： (1)过点 A 作 AFON 于点 F， A 与 OM 相切与点 B， ABO
19、M ， OC 平分 MON ， AF=AB=2 ， ON 是 A 的切线； (2)MON=60 ， ABOM ， OEB=30 ， AFON ， FAE=60 ， 在 RtAEF 中， tanFAE= ， EF=AFtan60=2 ， S 阴影 =SAEF -S 扇形 ADF= AFEF - AF 2=2 - . 23.(12 分 )某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口 .某日，从早 8 点开始到上午 11 点，每个普通售票窗口售出的车票数 y1(张 )与售票时间 x(小时 )的正比例函数关系满足图 中的图象，每个无人售票窗口售
20、出的车票数 y2(张 )与售票时间 x(小时 )的函数关系满足图 中的图象 . (1)图 中图象的前半段 (含端点 )是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为 ，其中自变量 x 的取值范围是 ； (2)若当天共开放 5 个无人售票窗口，截至上午 9 点，两种窗口共售出的车票数不少于 1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？ (3)上午 10 点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图 中图象的后半段一次函数的表达式 . 解析 ： (1)设函数的解析式为 y=ax2，然后把点 (1， 60)代入解析式求得 a 的值，即可得出抛物线的表
21、达式，根据图象可得自变量 x 的取值范围； (2)设需要开放 x 个普通售票窗口，根据售出车票不少于 1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可； (3)先求出普通窗口的函数解析式，然后求出 10点时售出的票数，和无人售票窗口当 x= 时，y 的值，然后把运用待定系数法求解析式即可 . 答案： (1)设函数的解析式为 y=ax2， 把点 (1， 60)代入解析式得： a=60，则函数解析式为： y=60x2(0x )； (2)设需要开放 x 个普通售票窗口， 由题意得， 80x+6051450 ，解得： x14 ， x 为整数且 x 取最小值， x=15 ，即至少需要开放 15 个普通售票
22、窗口； (3)设普通售票的函数解析式为 y=kx， 把点 (1， 80)代入得： k=80，则 y=80x， 10 点是 x=2， 当 x=2 时， y=160，即上午 10 点普通窗口售票为 160张， 由 (1)得，当 x= 时， y=135， 图 中的一次函数过点 ( ， 135)， (2， 160)， 设一次函数的解析式为： y=mx+n， 把点的坐标代入得： ，解得： ，则一次函数的解析式为 y=50x+60. 24.(12 分 )定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做 “ 友好三角形 ” . 性质：如果两个三角形是 “ 友好三角形 ” ，那么这两个三角形的面积相等 . 理
23、解：如图 ，在 ABC 中， CD 是 AB 边上的中线，那么 ACD 和 BCD 是 “ 友好三角形 ” ，并且 SACD =SBCD . 应用：如图 ，在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=6，点 E 在 AD 上，点 F在 BC上， AE=BF， AF 与BE 交于点 O. (1)求证： AOB 和 AOE 是 “ 友好三角形 ” ； (2)连接 OD，若 AOE 和 DOE 是 “ 友好三角形 ” ，求四边形 CDOF 的面积 . 探究：在 ABC 中， A=30 ， AB=4，点 D 在线段 AB 上，连接 CD， ACD 和 BCD 是 “ 友好三角形 ” ，将 ACD 沿 C
24、D 所在直线翻折，得到 ACD ，若 ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的 ，请直接写出 ABC 的面积 . 解析 ： (1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形 ABFE 是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得 OE=OB，即可证得 AOE 和 AOB 是友好三角形； (2)AOE 和 DOE 是 “ 友好三角形 ” ，即可得到 E 是 AD 的中点，则可以求得 ABE 、 ABF的面积，根据 S 四边形 CDOF=S 矩形 ABCD-2SABF 即可求解 . 探究：画出符合条件的两种情况： 求出四边形 ADCB 是平行四边形，求出 BC 和 AD 推
25、出 ACB=90 ，根据三角形面积公式求出即可； 求出高 CQ，求出 ADC 的面积 .即可求出 ABC 的面积 . 答案： (1) 四边形 ABCD 是矩形， ADBC ， AE=BF ， 四边形 ABFE 是平行四边形， OE=OB ， AOE 和 AOB 是友好三角形 . (2)AOE 和 DOE 是友好三角形， S AOE =SDOE ， AE=ED= AD=3， AOB 与 AOE 是友好三角形， S AOB =SAOE ， AOEFOB ， S AOE =SFOB ， S AOD =SABF ， S 四边形 CDOF=S矩形 ABCD-2SABF =46 -2 43=12. 探究：
26、 解：分为两种情况： 如图 1， S ACD =SBCD .AD=BD= AB， 沿 CD 折叠 A 和 A 重合， AD=AD= AB= 4=2， ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的 ， S DOC = SABC = SBDC = SADC = SADC ， DO=OB ， AO=CO ， 四边形 ADCB 是平行四边形， BC=AD=2 ，过 B 作 BMAC 于 M， AB=4 ， BAC=30 ， BM= AB=2=BC，即 C 和 M 重合， ACB=90 ， 由勾股定理得： AC= =2 ， ABC 的面积是 BCAC= 22 =2 ； 如图 2， S ACD
27、=SBCD .AD=BD= AB， 沿 CD 折叠 A 和 A 重合， AD=AD= AB= 4=2， ACD 与 ABC 重合部分的面积等于 ABC 面积的 ， S DOC = SABC = SBDC = SADC = SADC ， DO=OA ， BO=CO， 四边形 ABCD 是平行四边形， AC=BD=2 ， 过 C 作 CQAD 于 Q， AC=2 ， DAC=BAC=30 ， CQ= AC=1 ， S ABC =2SADC =2SADC =2 ADCQ=2 21=2 ；即 ABC 的面积是 2 或 2 . 25.(14 分 )如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y= x2+bx+c
28、经过点 A( ， 0)和点 B(1，)，与 x 轴的另一个交点为 C. (1)求抛物线的函数表达式； (2)点 D 在对称轴的右侧， x 轴上方的抛物线上，且 BDA=DAC ，求点 D 的坐标； (3)在 (2)的条件下，连接 BD，交抛物线对称轴于点 E，连接 AE. 判断四边形 OAEB 的形状，并说明理由； 点 F 是 OB 的中点，点 M 是直线 BD的一个动点，且点 M与点 B不重合，当 BMF= MFO时，请直接写出线段 BM 的长 . 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； (2)由 BDA=DAC ，可知 BDx 轴，点 B 与点 D 纵坐标相同，解一元二次方
29、程求出点 D 的坐标； (3) 由 BE 与 OA 平行且相等，可判定四边形 OAEB 为平行四边形； 点 M 在点 B 的左右两侧均有可能，需要分类讨论 .综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段 BM 的长度 . 答案： (1)将 A( ， 0)、 B(1， )代入抛物线解析式 y= x2+bx+c， 得： ，解得： .y= x2 x+ . (2)当 BDA=DAC 时， BDx 轴 . B(1 ， )，当 y= 时， = x2 x+ ， 解得： x=1 或 x=4， D(4 ， ). (3) 四边形 OAEB 是平行四边形 . 理由如下：抛物线的对称轴是 x= ，
30、BE= -1= . A( ， 0)， OA=BE= . 又 BEOA ， 四边形 OAEB 是平行四边形 . O(0 ， 0)， B(1， )， F 为 OB 的中点， F( ， ). 过点 F 作 FN 直线 BD 于点 N，则 FN= - = ， BN=1- = . 在 RtBNF 中，由勾股定理得： BF= = . BMF= MFO ， MFO=FBM+BMF ， FBM=2BMF. (I)当点 M 位于点 B 右侧时 . 在直线 BD 上点 B 左侧取一点 G，使 BG=BF= ，连接 FG，则 GN=BG-BN=1， 在 RtFNG 中，由勾股定理得： FG= = . BG=BF ， BGF=BFG. 又 FBM=BGF+BFG=2BMF ， BFG=BMF ，又 MGF=MGF ， GFBGMF ， ，即 ， BM= ； (II)当点 M 位于点 B 左侧时 . 设 BD 与 y 轴交于点 K，连接 FK，则 FK为 RtKOB 斜边上的中线， K F= OB=FB= ， FKB=FBM=2BMF ， 又 FKB=BMF+MFK ， BMF=MFK ， MK=KF= ， BM=MK+BK= +1= . 综上所述，线段 BM 的长为 或 .
