1、2013 年辽宁省营口市中考真题数学 一、选择题 1.(3 分 )-5 的绝对值是 ( ) A. -5 B. 5 C. D. 5 解析 ： -5 的绝对值是 5，即 |-5|=5. 答案： D. 2.(3 分 )据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为 1.5 亿元，一年的经济损失约为 54750000000 元，用科学记数法表示这个数为 ( ) A. 5.47510 11 B. 5.47510 10 C. 0.547510 11 D. 547510 8 解析 ： 将 54 750 000 000 用科学记数法表示为 5.47510 10. 答案： B. 3.(3 分 )如图，下列水平放
2、置的几何体中，主视图是三角形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、主视图为长方形，故本选项错误； B、主视图为三角形，故本选项错误； C、主视图为长方形，故本选项错误； D、主视图为长方形，故本选项错误 . 答案： B. 4.(3 分 )下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、是轴对称图形，是中心对称图形 .故此选项正确； B、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故此选项错误 . 答案： A. 5.(3 分 )某班级第一
3、小组 7 名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是 (单位：元 )50， 20， 50， 30， 25， 50， 55，这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A. 50 元， 20 元 B. 50 元， 40 元 C. 50 元， 50 元 D. 55 元， 50 元 解析 ： 50 出现了 3 次，出现的次数最多，则众数是 50； 把这组数据从小到大排列为： 20， 25， 30， 50， 50， 50， 55， 最中间的数是 50，则中位数是 50. 答案： C. 6.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ，由 得，
4、 x -2；由 得， x 1， 故此不等式组的解集为： -2x 1.在数轴上表示为： 答案： C. 7.(3 分 )炎炎夏日，甲安装队为 A 小区安装 60 台空调，乙安装队为 B 小区安装 50 台空调，两队同时开工且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装 2 台 .设乙队每天安装 x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 设乙队每天安装 x 台，则甲队每天安装 x+2 台， 由题意得，甲队用的时间为： ，乙队用的时间为： ，则方程为： = . 答案： D. 8.(3 分 )如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从点 B出发，沿 BADC方向运动至点
5、 C处停止，设点 E 运动的路程为 x， BCE 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则当 x=7时，点 E 应运动到 ( ) A. 点 C 处 B. 点 D 处 C. 点 B 处 D. 点 A 处 解析 ： 当 E 在 AB 上运动时， BCE 的面积不断增大； 当 E 在 AD 上运动时， BC 一定，高为 AB 不变，此时面积不变； 当 E 在 DC 上运动时， BCE 的面积不断减小 . 当 x=7 时，点 E 应运动到高不再变化时，即点 D 处 . 答案： B. 二、填空题 9.(3 分 )函数 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据题意得， x-5
6、0 ，解得 x5. 答案： x5. 10.(3 分 ) = . 解析 ： 原式 =1+2-2 =2. 答案： 2. 11.(3 分 )甲、乙、丙三人进行射击测试，每人 10 次射击成绩的平均数均是 9.1 环，方差分别为 ， ， ，则三人中射击成绩最稳定的是 . 解析 ： ， ， ， 最小， 三人中射击成绩最稳定的是乙； 答案： 乙 . 12.(3 分 )如图，直线 AB、 CD 相交于点 E， DFAB .若 D=65 ，则 AEC= . 解析 ： DFAB ， BED=180 -D ， D=65 ， BED=115 ， AEC=BED=115 ， 答案： 115. 13.(3 分 )二次函
7、数 y=-x2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+c 的图象不经过第 象限 . 解析 ： 根据图象得： a 0， b 0， c 0，故一次函数 y=bx+c 的图象不经过第四象限 . 答案： 四 . 14.(3 分 )一个圆锥形零件，高为 8cm，底面圆的直径为 12cm，则此圆锥的侧面积是 cm2. 解析 ： 底面直径为 12cm，则底面周长 =12cm ， 由勾股定理得，母线长 =10cm，所以侧面面积 = 1210=60cm 2. 答案： 60. 15.(3 分 )已知双曲线 和 的部分图象如图所示，点 C 是 y 轴正半轴上一点，过点 C作 ABx 轴分别交两个图象于点
8、A、 B.若 CB=2CA，则 k= . 解析 ： 连结 OA、 OB，如图， ABx 轴，即 OCAB ，而 CB=2CA， S OBC =2SOAC ， 点 A 在 图象上， S OAC = 3= ， S OBC =2SOAC =3， |k|=3，而 k 0， k= -6. 答案： -6. 16.(3 分 )按如图方式作正方形和等腰直角三角形 .若第一个正方形的边长 AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为 S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为 S2， ，则第 n 个正方形与第 n 个等腰直角三角形的面积和 Sn= . 解析 ： 第一个正方形的边长为 1， 第
9、2 个正方形的边长为 ( )1= ， 第 3 个正方形的边长为 ( )2= ， ， 第 n 个正方形的边长为 ( )n-1， 第 n 个正方形的面积为： ( )2n-1= ， 则第 n 个等腰直角三角形的面积为： = ， 故第 n 个正方形与第 n 个等腰直角三角形的面积和 Sn= + = . 答案： . 三、解答题 17.(8 分 )先化简，再求值： ，其中 x=3. 解析 ： 先把括号里面进行通分，再把所得的结果相减，然后把除法转化成乘法，进行约分，再把 x 的值代入即可 . 答案： = - = = = ； 当 x=3 时，原式 = = . 18.(8 分 )在如图的方格纸中，每个小方格都
10、是边长为 1 个单位的正方形， ABC 的三个顶点都在格点上 .(每个小方格的顶点叫格点 ) (1)画出 ABC 向下平移 3 个单位后的 A 1B1C1； (2)画出 ABC 绕点 O 顺时针旋转 90 后的 A 2B2C2，并求点 A旋转到 A2所经过的路线长 . 解析 ： (1)根据平移的规律找到出平移后的对应点的坐标，顺次连接即可； (2)根据旋转的性质找出旋转后各个对应点的坐标，顺次连接即可 .点 A 旋转到 A2所经过的路线是半径为 OA，圆心角是 90 度的扇形的弧长 . 答案： (1)画出 A 1B1C1； (2)画出 A 2B2C2连接 OA， OA2， ， 点 A 旋转到
11、A2所经过的路线长为 . 19.(8 分 )如图， ABC 中， AB=AC， AD 是 ABC 外角的平分线，已知 BAC=ACD . (1)求证： ABCCDA ； (2)若 B=60 ，求证：四边形 ABCD 是菱形 . 解析 ： (1)求出 B=ACB ，根据三角形外角性质求出 FAC=2ACB=2DAC ，推出 DAC=ACB ，根据 ASA 证明 ABC 和 CDA 全等； (2)推出 ADBC ， ABCD ，得出平行四边形 ABCD，根据 B=60 ， AB=AC，得出等边 ABC ，推出 AB=BC 即可 . 答案： (1)AB=AC ， B=ACB ， FAC=B+ACB=
12、2ACB ， AD 平分 FAC ， FAC=2CAD ， CAD=ACB ， 在 ABC 和 CDA 中 ， ， ABCCDA(ASA) ； (2)FAC=2ACB ， FAC=2DAC ， DAC=ACB ， ADBC ， BAC=ACD ， ABCD ， 四边形 ABCD 是平行四边形， B=60 ， AB=AC， ABC 是等边三角形， AB=BC ， 平行四边形 ABCD 是菱形 . 20.(10 分 )某中学为了解全校学生到校上学的方式，在全校随机抽取了若干名学生进 行问卷调查 .问卷给出了五种上学方式供学生选择，每人只能选一项，且不能不选 .同时把调查得到的结果绘制成如图所示的条
13、形统计图和扇形统计图 (均不完整 ).请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)在扇形统计图中， “ 公交车 ” 部分所对应的圆心角是多少度？ (4)若全校有 1600 名学生，估计该校乘坐私家车上学的学生约有多少名？ 解析 ： (1)上学方式为自行车的人数除以所占的百分比，即可得到调查的学生数； (2)根据总人数乘以步行的百分比求出步行的人数，补全条形统计图即可； (3)求出 “ 公交车 ” 所占的百分比，乘以 360 度即可得到结果； (4)求出 “ 私家车 ” 上学的百分比，乘以总人数 1600 即可得到结果 .
14、 答案： (1)2430%=80( 名 )， 答：这次调查一共抽取了 80 名学生； (2)8020%=16( 名 )，补全条形统计图，如图所示； (3)根据题意得： 360 =117 ， 答：在扇形统计图中， “ 公交车 ” 部分所对应的圆心角为 117 ； (4)根据题意得： 1600 =200(名 )， 答：估计该校乘坐私家车上学的学生约有 200 名 . 21.(10 分 )小丽和小华想利用摸球游戏决定谁去参加市里举办的书法比赛，游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的 4 个小球，上面分别标有数字 2， 3， 4， 5.一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的
15、 3 个小球中随机摸出一个小球 .若摸出的两个小球上的数字和为偶数，则小丽去参赛；否则小华去参赛 . (1)用列表法或画树状图法，求小丽参赛的概率 . (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由 . 解析 ： (1)列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之和为偶数的情况数，求出小丽去参赛的概率； (2)由小丽参赛的概率求出小华参赛的概率，比较即可得到游戏公平与否 . 答案： (1)法 1：根据题意列表得： 由表可知所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有 4 种，分别是 (2， 4)、 (3， 5)、 (4， 2)、 (5， 3)，
16、所以小丽参赛的概率为 = ； 法 2：根据题意画树状图如下： 由树状图可知所有可能结果共有 12 种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字和为偶数的结果有 4 种，分别是 (2， 4)、 (3， 5)、 (4， 2)、 (5， 3)， 所以小丽参赛的概率为 = ； (2)游戏不公平，理由为： 小丽参赛的概率为 ， 小华参赛的概率为 1- = ， ， 这个游戏不公平 . 22.(8 分 )如图，某人在山坡坡脚 C 处测得一座建筑物顶点 A 的仰角为 60 ，沿山坡向上走到 P 处再测得该建筑物顶点 A 的仰角为 45 .已知 BC=90 米，且 B、 C、 D 在同一条直线上，
17、山坡坡度为 (即 tanPCD= ). (1)求该建筑物的高度 (即 AB 的长 ). (2)求此人所在位置点 P 的铅直高度 .(测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式 ) 解析 ： (1)过点 P 作 PEBD 于 E， PFAB 于 F，在 RtABC 中，求出 AB 的长度即可； (2)设 PE=x 米，则 BF=PE=x 米，根据山坡坡度为 ，用 x 表示 CE的长度，然后根据 AF=PF列出等量关系式，求出 x 的值即可 . 答案： (1)过点 P 作 PEBD 于 E， PFAB 于 F， 又 ABBC 于 B， 四边形 BEPF 是矩形， PE=BF ， PF=BE， 在 Rt
18、ABC 中， BC=90 米， ACB=60 ， AB=BCtan60=90 (米 )， 故建筑物的高度为 90 米； (2)设 PE=x 米，则 BF=PE=x 米， 在 RtPCE 中， tanPCD= = ， CE=2x ， 在 RtPAF 中， APF=45 ， AF=AB -BF=90 -x， PF=BE=BC+CE=90+2x， 又 AF=PF ， 90 -x=90+2x，解得： x=30 -30， 答：人所在的位置点 P 的铅直高度为 ( )米 . 23.(10 分 )如图，点 C 是以 AB 为直径的 O 上的一点， AD 与过点 C 的切线互相垂直，垂足为点 D. (1)求证
19、： AC 平分 BAD ； (2)若 CD=1， AC= ，求 O 的半径长 . 解析 ： (1)连接 OC.先由 OA=OC，可得 ACO=CAO ，再由切线的性质得出 OCCD ，根据垂直于同一直线的两直线平行得到 ADCO ，由平行线的性质得 DAC=ACO ，等量代换后可得DAC=CAO ，即 AC 平分 BAD ； (2)解法一：如图 2 ，过点 O 作 OEAC 于 E.先在 RtADC 中，由勾股定理求出 AD=3，由垂径定理求出 AE= ，再根据两角对应相等的两三角形相似证明 AEOADC ，由相似三角形对应边成比例得到 ，求出 AO= ，即 O 的半径为 ；解法二 ：如图 2
20、 ，连接BC.先在 RtADC 中，由勾股定理求出 AD=3，再根据两角对应相等的两三角形相似证明ABCACD ，由相似三角形对应边成比例得到 ，求出 AB= ，则 O 的半径为 . 答案： (1)连接 OC. OA=OC ， ACO=CAO.CD 切 O 于 C， OCCD ， 又 ADCD ， ADCO ， DAC=ACO ， DAC=CAO ，即 AC 平分 BAD ； (2)解法一：如图 2 ，过点 O 作 OEAC 于 E. 在 RtADC 中， AD= = =3， OEAC ， AE= AC= .CAO=DAC ， AEO=ADC=90 ， AEOADC ， ，即 ， AO= ，即
21、 O 的半径为 . 解法二：如图 2 ，连接 BC. 在 RtADC 中， AD= = =3. AB 是 O 直径， ACB=90 ， CAB=DAC ， ACB=ADC=90 ， ABCACD ， ，即 ， AB= ， = ， 即 O 的半径为 . 24.(12 分 )为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列 “ 三农 ” 优惠政策，使农民收入大幅度增加 .某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克 20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量 y(千克 )与销售价 x(元 /千克 )有如下关系： y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为 w 元 . (1)求 w 与
22、x 之间的函数关系式 . (2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克 28 元，该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 解析 ： (1)根据销售额 =销售量 销售单价，列出函数关系式； (2)用配方法将 (2)的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； (3)把 y=150 代入 (2)的函数关系式中，解一元二次方程求 x，根据 x 的取值范围求 x 的值 . 答案： (1)由题意得出： w=(x-20) y=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1600， 故
23、w 与 x 的函数关系式为： w=-2x2+120x-1600； (2)w=-2x2+120x-1600=-2(x-30)2+200， -2 0， 当 x=30 时， w 有最大值 .w 最大值为 200. 答：该产品销售价定为每千克 30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润 200 元 . (3)当 w=150 时，可得方程 -2(x-30)2+200=150.解得 x1=25， x2=35. 35 28， x 2=35 不符合题意，应舍去 . 答：该农户想要每天获得 150 元的销售利润，销售价应定为每千克 25 元 . 25.(14 分 )如图 1， ABC 为等腰直角三角形， ACB
24、=90 ， F 是 AC 边上的一个动点 (点 F与 A、 C 不重合 )，以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形 CDEF，连接 BF、 AD. (1) 猜想图 1 中线段 BF、 AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； 将图 1 中的正方形 CDEF，绕着点 C 按顺时针 (或逆时针 )方向旋转任意角度 ，得到如图2、图 3 的情形 .图 2中 BF交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断 中得到的结论是否仍然成立，并选取图 2 证明你的判断 . (2)将原题中的等腰直角三角形 ABC 改为直角三角形 ABC， ACB=90 ，正方形 CDEF 改为矩形 CDEF
25、，如图 4，且 AC=4， BC=3， CD= ， CF=1， BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，连接 BD、AF，求 BD2+AF2的值 . 解析 ： (1) 证 BCFACD 推出 CAD=FBC ， BF=AD，即可得出结论； 证 BCFACD推出 CAD=FBC ， BF=AD，即可得出结论； (2)连接 FD，根据 (1)得出 BOAD ，根据勾股定理得出 BD2=OB2+OD2， AF2=OA2+OF2， AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，推出 BD2+AF2=AB2+DF2，即可求出答案 . 答案： (1)BF=AD ， BFAD ； BF=AD ， B
26、FAD 仍然成立， 证明： ABC 是等腰直角三角形， ACB=90 ， AC=BC ， 四边形 CDEF 是正方形， CD=CF ， FCD=90 ， ACB+ACF=FCD+ACF ， 即 BCF=ACD ， 在 BCF 和 ACD 中 ， ， BCFACD(SAS) ， BF=AD ， CBF=CAD ， 又 BHC=AHO ， CBH+BHC=90 ， CAD+AHO=90 ， AOH=90 ， BFAD ； (2)连接 DF， 四边形 CDEF 是矩形， FCD=90 ， 又 ACB=90 ， ACB=FCDACB+ACF=FCD+ACF ，即 BCF=ACD ， AC=4 ， BC
27、=3， CD= ， CF=1， ， BCFACD ， CBF=CAD ， 又 BHC=AHO ， CBH+BHC=90 CAD+AHO=90 ， AOH=90 ， BFAD ， BOD=AOB=90 ， BD 2=OB2+OD2， AF2=OA2+OF2， AB2=OA2+OB2， DF2=OF2+OD2， BD 2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2， 在 RtABC 中， ACB=90 ， AC=4， BC=3， AB 2=AC2+BC2=32+42=25， 在 RtFCD 中， FCD=90 ， CD= ， CF=1， ， BD 2+AF2= = . 26.(14 分
28、 )如图，抛物线与 x 轴交于 A(1， 0)、 B(-3， 0)两点，与 y 轴交于点 C(0， 3)，设抛物线的顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标 . (2)试判断 BCD 的形状，并说明理由 . (3)探究坐标轴上是否存在点 P，使得以 P、 A、 C 为顶点的三角形与 BCD 相似？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析 ： (1)利用待定系数法即可求得函数的解析式； (2)利用勾股定理求得 BCD 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断； (3)分 p 在 x 轴和 y 轴两种情况讨论，舍出 P的坐标，根据相似三角形的对应边的
29、比相等即可求解 . 答案： (1)设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c 由抛物线与 y 轴交于点 C(0， 3)，可知 c=3.即抛物线的解析式为 y=ax2+bx+3. 把点 A(1， 0)、点 B(-3， 0)代入，得 解得 a=-1， b=-2， 抛物线的解析式为 y=-x2-2x+3. y= -x2-2x+3=-(x+1)2+4 顶点 D 的坐标为 (-1， 4)； (2)BCD 是直角三角形 . 理由如下：解法一：过点 D 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为 E、 F. 在 RtBOC 中， OB=3， OC=3， BC 2=OB2+OC2=18 在 RtCDF 中， D
30、F=1， CF=OF-OC=4-3=1， CD 2=DF2+CF2=2， 在 RtBDE 中， DE=4， BE=OB-OE=3-1=2， BD 2=DE2+BE2=20， BC 2+CD2=BD2， BCD 为直角三角形 . 解法二：过点 D 作 DFy 轴于点 F. 在 RtBOC 中， OB=3 ， OC=3， OB=OC ， OCB=45 ， 在 RtCDF 中， DF=1， CF=OF-OC=4-3=1， DF=CF ， DCF=45 ， BCD=180 -DCF -OCB=90 ， BCD 为直角三角形 . (3)BCD 的三边， = = ，又 = ，故当 P 是原点 O 时， A
31、CPDBC ； 当 AC 是直角边时，若 AC 与 CD 是对应边，设 P的坐标是 (0， a)，则 PC=3-a， = ，即 = ，解得： a=-9，则 P 的坐标是 (0， -9)，三角形 ACP 不是直角三角形，则ACPCBD 不成立； 当 AC 是直角边，若 AC与 BC 是对应边时，设 P 的坐标是 (0， b)，则 PC=3-b，则 = ，即 = ，解得： b=- ，故 P 是 (0， - )时，则 ACPCBD 一定成立； 当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 一定在 B的左侧，设 P的坐标是 (d， 0). 则 AP=1-d，当 AC 与 CD 是对应边时， = ，即 = ，解得： d=1-3 ，此时，两个三角形不相似； 当 P 在 x 轴上时， AC 是直角边， P 一定在 B的左侧，设 P的坐标是 (e， 0). 则 AP=1-e，当 AC 与 DC 是对应边时， = ，即 = ，解得： e=-9，符合条件 . 总之，符合条件的点 P 的坐标为： .
