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1、 2013 年辽宁省锦州市中考真题数学 一、选择题 1.(3 分 )-3 的倒数是 ( ) A. B. -3 C. 3 D. 解析 ： -3( - )=1， -3 的倒数是 - . 答案： A. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (a+b)2=a2+b2 B. x3+x3=x6 C. (a3)2=a5 D. (2x2)(-3x3)=-6x5 解析 ： A、 (a+b)2=a2+2ab+b2，本选项错误； B、 x3+x3=2x3，本选项错误； C、 (a3)2=x6，本选项错误； D、 (2x2)(-3x3)=-6x5，本选项正确， 答案： D 3.(3 分 )下列几何体中，主视

2、图和左视图不同的是 ( ) A. 圆柱 B. 正方体 C. 正三棱柱 D. 球 解析 ： A、圆柱的主视图与左视图都是长方形，不合题意，故本选项错误； B、正方体的主视图与左视图相同，都是正方形，不合题意，故本选项错误； C、正三棱柱的主视图是长方形，长方形中有一条杠，左视图是矩形，符合题意，故本选项正确； D、球的主视图和左视图相同，都是圆，且有一条水平的直径，不合题意，故本选项错误 . 答案 ： C. 4.(3 分 )为响应 “ 节约用水 ” 的号召，小刚随机调查了班级 35 名同学中 5 名同学家庭一年的平均用水量 (单位：吨 )，记录如下： 8， 9， 8， 7， 10，这组数据的平均

3、数和中位数分别是( ) A. 8， 8 B. 8.4， 8 C. 8.4， 8.4 D. 8， 8.4 解析 ： 这组数据按从小到大的顺序排列为： 7， 8， 8， 9， 10，则中位数为： 8， 平均数为： =8.4. 答案： B. 5.(3 分 )不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： ， 由 得： x 1； 由 得： x4 ，则不等式组的解集为 x 1，表示在数轴上，如图所示 答案： C 6.(3 分 )如图，直线 y=mx 与双曲线 y= 交于 A， B 两点，过点 A 作 AMx 轴，垂足为点 M，连接 BM，若 SABM =2，则 k 的值为

4、 ( ) A. -2 B. 2 C. 4 D. -4 解析 ： 直线 y=mx与双曲线 y= 交于 A， B两点， 点 A与点 B关于原点中心对称， S OAM =SOBM ， 而 SABM =2， S OAM =1， |k|=1， 反比例函数图象在第二、四象限， k 0， k= -2. 答案： A. 7.(3 分 )有如下四个命题： (1)三角形有且只有一个内切圆； (2)四边形的内角和与外角和相等； (3)顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是菱形； (4)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 . 其中真命题的个数有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4

5、个 解析 ： (1)三角形的内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，有且只有一个交点，所以任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆，则正确； (2)根据题意得： (n-2)180=360 ，解得 n=4. 则四边形的内角和与外角和相等正确； (3)顺次连接四边形各边中点所得的四边形一定是矩形，故不正确； (4)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确； 答案： C. 8.(3 分 )为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款 .已知第一次捐款总额为 4800 元，第 二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等

6、，如果设第一次捐款人数是 x 人，那么 x 满足的方程是 ( ) A. B. = C. D. 解析 ： 设第一次有 x 人捐款，那么第二次有 (x+20)人捐款，由题意，有 = ， 答案： B. 二、填空题 9.(3 分 )分解因式 x3-xy2的结果是 . 解析 ： x3-xy2， =x(x2-y2)， =x(x+y)(x-y). 答案 ： x(x+y)(x-y). 10.(3 分 )(2014 攀枝花 )函数 中自变量 x 的取值范围是 . 解析 ： 依题意，得 x-20 ，解得： x2 ， 答案 ： x2. 11.(3 分 )据统计， 2013 锦州世界园林博览会 6 月 1 日共接待游

7、客约 154000人次， 154000可用科学记数法表示为 . 解析 ： 将 154000 用科学记数法表示为 1.5410 5. 答案 ： 1.5410 5. 12.(3 分 )为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教练把他们的 10 次比赛成绩作了统计：平均成绩为 9.3 环：方差分别为 S2 甲 =1.22， S2 乙 =1.68， S2 丙 =0.44，则应该选 参加全运会 . 解析 ： S 2 甲 =1.22， S2 乙 =1.68， S2 丙 =0.44， S 2 丙 最小， 则应该选丙参加全运会 . 答案 ：丙 . 13.(3 分 )计算： |1- |+ -(3.14-

8、 )0-(- )-1= . 解析 ： 原式 = -1+2 -1- = -1+2 -1+2=3 . 答案： 3 14.(3 分 )在四张背面完全相同的卡片正面分别画有正三角形，正六边形、平行四边形和圆，将这四张卡片背面朝上放在桌面上 .现从中随机抽取一张，抽出的图形是中心对称图形的概率是 . 解析 ： 正三角形，正六边形、平行四边形和圆中，是中心对称图形的有圆、平行四边形、正六边形 3 个， 所以从中随机抽取一张，卡片上画的恰好是中心对称图形的概率为： . 答案 ： . 15.(3 分 )在 ABC 中， AB=AC， AB 的垂直平分线 DE 与 AC 所在的直线相交于点 E，垂足为 D，连接

9、 BE.已知 AE=5， tanAED= ，则 BE+CE= . 解析 ： 若 BAC 为锐角，如答图 1 所示： AB 的垂直平分线是 DE， AE=BE ， EDAB ， AD= AB， AE=5 ， tanAED= ， sinAED= ， AD=AEsinAED=3 ， AB=6 ，BE+CE=AE+CE=AC=AB=6 ； 若 BAC 为钝角，如答图 2 所示： 同理可求得： BE+CE=16. 答案 ： 6 或 16. 16.(3 分 )二次函数 y= 的图象如图，点 A0位于坐标原点，点 A1， A2， A3A n在 y轴的正半轴上，点 B1， B2， B3B n在二次函数位于第一

10、象限的图象上，点 C1， C2， C3C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形 A2B3A3C3 四边形 An-1BnAnCn都是菱形， A 0B1A1=A 1B2A2=A 2B3A3=A n-1BnAn=60 ，菱形 An-1BnAnCn的周长为 . 解析 ： 四边形 A0B1A1C1是菱形， A 0B1A1=60 ， A 0B1A1是等边三角形 . 设 A 0B1A1的边长为 m1，则 B1( ， )；代入抛物线的解析式中得： ( )2= ， 解得 m1=0(舍去 )， m1=1； 故 A 0B1A1的边长为 1， 同理可求得 A 1

11、B2A2的边长为 2， 依此类推，等边 A n-1BnAn的边长为 n，故菱形 An-1BnAnCn的周长为 4n. 答案 ： 4n. 三、 答案 题 17.(8 分 )先将 (1- ) 化简，然后请自选一个你喜欢的 x 值代入求值 . 解析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 x=2 代入计算即可得到结果 . 答案 ：原式 = =x+2， 当 x=2 时，原式 =2+2=4. 18.(8 分 )如图，方格纸中的每个小正方形边长都是 1 个长度单位， RtABC 的顶点均在格点上，建立平面直角坐

12、标系后，点 A 的坐标为 (1， 1)，点 B 的坐标为 (4， 1). (1)先将 RtABC 向左平移 5 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度得到 RtA 1B1C1，试在图中画出 RtA 1B1C1，并写出点 A1的坐标； (2)再将 RtA 1B1C1绕点 A1顺时针旋转 90 后得到 RtA 2B2C2，试在图中画出 RtA 2B2C2，并计算 RtA 1B1C1在上述旋转过程中点 C1所经过的路径长 . 解析 ： (1)根据网格结构找出点 A、 B、 C 平移后的对应点 A1、 B1、 C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点 A1的坐标； (2)根据网格结构找

13、出点 A1、 B1、 C1绕点 A1顺时针旋转 90 后的对应点 A2、 B2、 C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出 A1C1的长，然后利用弧长公式列式计算即可得解 . 答案 ： (1)RtA 1B1C1如图所示， A1(-4， 0)； (2)RtA 2B2C2如图所示， 根据勾股定理， A1C1= = ，所以，点 C1所经过的路径长 = = . 19.(10 分 )以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根据图中信息 答案 下列问题： (1)求 2013 年全国普通高校毕业生数年增长率约是多少？ (精确到 0.1%) (2)求 2011 年

14、全国普通高校毕业生数约是多少万人？ (精确到万位 ) (3)补全折线统计图和条形统计图 . 解析 ： (1)用 2013 年比 2012 年多的人数除以 2012 年的人数，计算即可求出 2013年的增长率； (2)设 2011 年的毕业生人数约是 x 万人，根据 2011 年的增长率是 4.6%列式计算即可得解； (3)根据计算补全统计图即可 . 答案 ： (1) 100%2.8% ，故 2013 年全国普通高校毕业生数年增长率约是 2.8%； (2)设 2011 年的毕业生人数约是 x 万人， 根据题意得， 4.6% ，解得 x660 ， 故 2011 年全国普通高校毕业生数约是 660

15、万人； (3)补全统计图如图所示 . 20.(10 分 )如图，点 O 是菱形 ABCD 对角线的交点， DEAC ， CEBD ，连接 OE. 求证： OE=BC. 解析 ： 先求出四边形 OCED 是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出 COD=90 ，证明 OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出 BC=OE. 答案 ： DEAC ， CEBD ， 四边形 OCED 是平行四边形， 四边形 ABCD 是菱形， COD=90 ， 四边形 OCED 是矩形， DE=OC ， OB=OD ， BOC=ODE=90 ， BC= ， OE= ， BC=OE. 21.(10 分 )一个不透明的口

16、袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1、 2、 3、 4，另有一个可以自由旋转的圆盘 .被分成面积相等的 3 个扇形区，分别标有数字 1、 2、 3(如图所示 ).小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一个人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 4，那么小颖去；否则小亮去 . (1)用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率； (2)你认为该游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平 . 解析 ： (1)首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两指针所指数字之和和小于 4 的情况，则可求

17、得小颖参加比赛的概率； (2)根据小颖获胜与小亮获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公 平；使游戏公平，只要概率相等即可 . 答案 ： (1)画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，所指数字之和小于 4 的有 3 种情况， P( 和小于 4)= = ， 小颖参加比赛的概率为： ； (2)不公平， P( 和小于 4)= ， P(和大于等于 4)= . P( 和小于 4)P( 和大于等于 4)， 游戏不公平； 可改为：若两指针所指数字之和为偶数，则小颖获胜；若两指针所指数字之和为奇数，则小亮获胜； P(和为偶数 )=P(和为奇数 )= . 22.(10 分 )如图，某公司入口处有一斜坡

18、 AB，坡角为 12 ， AB 的长为 3m，施工队准备将斜坡修成三级台阶，台阶高度均为 hcm，深度均为 30cm，设台阶的起点为 C. (1)求 AC 的长度； (2)求每级台阶的高度 h. (参考数据： sin120.2079 ， cos120.9781 ， tan120.2126 .结果都精确到 0.1cm) 解析 ： (1)过点 B 作 BEAC 于点 E，在 RtABE 中利用三角函数求出 AE，由 AC=AE-CE，可得出答案； (2)在 RtABE 中，求出 BE，即可计算每级台阶的高度 h. 答案 ： (1)如 图，过点 B 作 BEAC 于点 E， 在 RtABE 中， A

19、B=3m， cos120.9781 ， AE=ABcos122.934m=293.4cm ， AC=AE -CE=293.4-60=233.4cm. 答： AC 的长度约为 233.4cm. (2)h= BE= ABsin12= 3000.2079=20.7920.8cm. 答：每级台阶的高度 h 约为 20.8cm. 23.(10 分 )如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点， ODBC 于点 D，过点 C 作 O 的切线，交 OD 的延长线于点 E，连接 BE. (1)求证： BE 与 O 相切； (2)设 OE 交 O 于点 F，若 DF=1， BC=2 ，求由劣弧 BC、线

20、段 CE和 BE 所围成的图形面积S. 解析 ： (1)首先连接 OC，易证得 COEBOE(SAS) ，即可得 OCE=OBE=90 ，证得 BE 与O 相切； (2)首先设 OC=x，则 OD=OF-DF=x-1，易求得 OC 的长，即可得 BOC=120 ，又由 S=S 四边形 OBEC-S扇形 OBC求得答案 . 答案 ： (1)连接 OC， CE 是 O 的切线， OB=OC ， ODBC ， EOC=EOB ， 在 EOC 和 EOB 中， ， COEBOE(SAS) ， OCE=OBE=90 ， 即 OBBE ， BE 与 O 相切； (2)ODBC ， CD= BC= 2 =

21、， 设 OC=x，则 OD=OF-DF=x-1， 在 RtOCD 中， OC2=OD2+CD2， x 2=(x-1)2+( )2，解得： x=2， OC=2 ， COD=60 ， BOC=120 ， CE=OCtan60=2 ， S=S 四边形 OBEC-S 扇形 OBC=2SOCE -S 扇形 OBC=2 22 - 2 2=4 - . 24.(10 分 )甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行 .并以各自的速度匀速行驶，甲车途经 C 地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达 B 地；乙车从 B 地直接到达 A 地，如图是甲、乙两车和 B 地的距离 y(千米 )与甲车出发时间 x(小

22、时 )的函数图象 . (1)直接写出 a， m， n 的值； (2)求出甲车与 B 地的距离 y(千米 )与甲车出发时间 x(小时 )的函数关系式 (写出自变量 x的取值范围 )； (3)当两车相距 120 千米时，乙车行驶了多长时间？ 解析 ： (1)根据甲车休息 1 小时列式求出 m，再根据乙车 2 小时距离 B地 120 千米求出速度，然后求出 a， 根据甲的速度列式求出到达 B 地行驶的时间再加上休息的 1 小时即可得到 n 的值； (2)分休息前，休息时，休息后三个阶段，利用待定系数法求一次函数解析式 答案 ； (3)求出甲车的速度，然后分 相遇前两人的路程之和加上相距的 120 千

23、米等于总路程列出方程求解即可； 相遇后，两人行驶的路程之和等于总路程加 120 千米，列出方程求解即可 . 答案 ： (1) 甲车途经 C 地时休息一小时， 2.5 -m=1， m=1.5 ， 乙车的速度 = = ，即 =60，解得 a=90， 甲车的速度为： = ，解得 n=3.5；所以， a=90， m=1.5， n=3.5； (2)设甲车的 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b(k0) ， 休息前， 0x 1.5，函数图象经过点 (0， 300)和 (1.5， 120)， 所以 ，解得 ，所以， y=-120x+300， 休息时， 1.5x 2.5， y=120， 休息后， 2.5x

24、3.5 ，函数图象经过 (2.5， 120)和 (3.5， 0)， 所以， ，解得 ，所以， y=-120x+420. 综上， y 与 x 的关系式为 y= ； (3)设两车相距 120 千米时，乙车行驶了 x 小时， 甲车的速度为： (300-120)1.5=120 千米 /时， 若相遇前，则 120x+60x=300-120，解得 x=1， 若相遇后，则 120(x-1)+60x=300+120，解得 x=3， 所以，两车相距 120 千米时，乙车行驶了 1 小时或 3 小时 . 25.(12 分 )如图 1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，将此三角板绕点

25、 A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边 BC， DC 于点 E， F，连接 EF. (1)猜想 BE、 EF、 DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)在图 1 中，过点 A 作 AMEF 于点 M，请直接写出 AM 和 AB 的数量关系； (3)如图 2，将 RtABC 沿斜边 AC 翻折得到 RtADC ， E， F 分别是 BC， CD 边上的点， EAF=BAD ，连接 EF，过点 A 作 AMEF 于点 M，试猜想 AM与 AB之间的数量关系 .并证明你的猜想 . 解析 ： (1)延长 CB 到 Q，使 BQ=DF，连接 AQ，根据四边形 ABCD 是正

26、方形求出 AD=AB，D=DAB=ABE=ABQ=90 ，证 ADFABQ ，推出 AQ=AF， QAB=DAF ，求出EAQ=EAF ，证 EAQEAF ，推 出 EF=BQ 即可； (2)根据 EAQEAF ， EF=BQ 得出 BQAB= FEAM ，求出即可； (3)延长 CB 到 Q，使 BQ=DF，连接 AQ，根据折叠和已知得出 AD=AB， D=ABE=90 ，BAC=DAC= BAD ，证 ADFABQ ，推出 AQ=AF， QAB=DAF ，求出 EAQ=FAE ，证 EAQEAF ，推出 EF=EQ 即可 . 答案 ： (1)EF=BE+DF，证明：如答图 1，延长 CB

27、到 Q，使 BQ=DF，连接 AQ， 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB ， D=DAB=ABE=ABQ=90 ， 在 ADF 和 ABQ 中 ， ， ADFABQ(SAS) ， AQ=AF ， QAB=DAF ， DAB=90 ， FAE=45 ， DAF+BAE=45 ， BAE+BAQ=45 ，即 EAQ=FAE ， 在 EAQ 和 EAF 中 ， EAQEAF ， EF=EQ=BE+BQ=BE+DF. (2)AM=AB，理由是： EAQEAF ， EF=EQ， EQAB= FEAM ， AM=AB. (3)AM=AB，证明：如答图 2，延长 CB 到 Q，使 BQ=DF，连接 A

28、Q， 折叠后 B 和 D 重合， AD=AB ， D=ABE=90 ， BAC=DAC= BAD ， 在 ADF 和 ABQ 中， ， ADFABQ(SAS) ， AQ=AF ， QAB=DAF ， FAE= BAD ， DAF+BAE=BAE+BAQ=EAQ= BAD ，即 EAQ=FAE ， 在 EAQ 和 EAF 中， ， EAQEAF(SAS) ， EF=EQ ， EAQEAF ， EF=EQ， EQAB= FEAM ， AM=AB. 26.(14 分 )如图，抛物线 y=- x2+mx+n 经过 ABC 的三个顶点，点 A 坐标为 (0， 3)，点 B 坐标为 (2， 3)，点 C

29、在 x 轴的正半轴上 . (1)求该抛物线的函数关系表达式及点 C 的坐标； (2)点 E 为线段 OC 上一动点，以 OE 为边在第一象限内作正方形 OEFG，当正方形的顶点 F 恰好落在线段 AC 上时，求线段 OE 的长； (3)将 (2)中的正方形 OEFG 沿 OC 向右平移，记平移中的正方形 OEFG 为正方形 DEFG，当点 E和点 C 重合时停止运动 .设平移的距离为 t，正方形 DEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M， DG 所在的直线与 AC 交于点 N，连接 DM，是否存在这样的 t，使 DMN 是等腰三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由； (4)在上述

30、平移过程中，当正方形 DEFG 与 ABC 的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积 S 与平移距离 t 的函数关系式及自变量 t 的取值范围；并求出当 t 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？ 解析 ： (1)利用待定系数法求出抛物线的解析式，令 y=0 解方程，求出点 C 的坐标； (2)如答图 1 所示，由 CEFCOA ，根据比例式列方程 求出 OE 的长度； (3)如答图 2 所示，若 DMN 是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论； (4)当正方形 DEFG 与 ABC 的重叠部分为五边形时，如答图 3 所示 .利用 S=S 正方形 DEFG-S 梯形MEDN-SFJ

31、K 求出 S 关于 t 的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值 . 答案 ： (1) 抛物线 y=- x2+mx+n 经过点 A(0， 3)， B(2， 3)， ，解得： ， 抛物线的解析式为： y=- x2+ x+3. 令 y=0，即 - x2+ x+3=0，解得 x=6 或 x=-4， 点 C 位于 x 轴正半轴上， C(6 ， 0). (2)当正方形的顶点 F 恰好落在线段 AC 上时，如答图 1 所示： 设 OE=x，则 EF=x， CE=OC-OE=6-x. EFOA ， CEFCOA ， ，即 ，解得 x=2.OE=2. (3)存在满足条件的 t.理由如下：如答图 2 所示， 易

32、证 CEMCOA ， ，即 ，得 ME=2- t. 过点 M 作 MHDN 于点 H，则 DH=ME=2- t， MH=DE=2. 易证 MHNCOA ， ，即 ，得 NH=1.DN=DH+HN=3 - t. 在 RtMNH 中， MH=2， NH=1，由勾股定理得： MN= .DMN 是等腰三角形： 若 DN=MN，则 3- t= ，解得 t=6- ； 若 DM=MN，则 DM2=MN2，即 22+(2- t)2=( )2，解得 t=2 或 t=6(不合题意，舍去 )； 若 DM=DN，则 DM2=DN2，即 22+(2- t)2=(3- t)2，解得 t=1. 综上所述，当 t=1、 2

33、或 6- 时， DMN 是等腰三角形 . (4)当正方形 DEFG 与 ABC 的重叠部分为五边形时，如答图 3 所示： 设 EF、 DG 分别与 AC 交于点 M、 N，由 (3)可知： ME=2- t， DN=3- t. 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，将点 B(2， 3)、 C(6， 0)代入得： ，解得 ， y= x+ . 设直线 BC 与 EF 交于点 K， x K=t+2， y K= xK+ = t+3， FK=y F-yK=2-( t+3)= t-1； 设直线 BC 与 GF 交于点 J， yJ=2 ， 2= xJ+ ，得 xJ= ， FJ=x F-xJ=t+2- =t- . S=S 正方形 DEFG-S 梯形 MEDN-SFJK =DE2- (ME+DN)DE - FKFJ =22- (2- t)+(3- t)2 - ( t-1)(t- )= t2+2t- . 过点 G 作 GHy 轴于点 H，交 AC 于点 I，则 HI=2， HJ= ， t 的取值范围是： 2 t . S 与 t 的函数关系式为： S= t2+2t- (2 t ). S= t2+2t- = (t- )2+1， 0，且 2 ， 当 t= 时， S 取得最大值，最大值为 1.