1、 2013 年辽宁省鞍山市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 2 分，满分 16分 ) 1.(2 分 )3-1等于 ( ) A. 3 B. - C. -3 D. 解析： 3-1= . 答案： D. 2.(2 分 )一组数据 2， 4， 5， 5， 6 的众数是 ( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 在 2， 4， 5， 5， 6 中， 5 出现了两次，次数最多，故众数为 5. 答案： C. 3.(2 分 )如图，已知 D、 E 在 ABC 的边上， DEBC ， B=60 ， AED=40 ，则 A 的度数为 ( ) A. 100 B. 90 C. 80 D.
2、70 解析： DEBC ， AED=40 ， C=AED=40 ， B=60 ， A=180 -C -B=180 -40 -60=80 . 答案： C. 4.(2 分 )要使式子 有意义，则 x 的取值范围是 ( ) A. x 0 B. x -2 C. x2 D. x2 解析： 根据题意得， 2-x0 ，解得 x2 . 答案： D. 5.(2 分 )已知：如图， OA， OB 是 O 的两条半径，且 OAOB ，点 C 在 O 上，则 ACB 的度数为 ( ) A. 45 B. 35 C. 25 D. 20 解析： OAOB ， AOB=90 ， ACB= AOB=45 . 答案： A. 6.
3、(2 分 )已知 b 0，关于 x 的一元二次方程 (x-1)2=b 的根的情况是 ( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 解析： (x-1)2=b 中 b 0， 没有实数根， 答案 ： C. 7.(2 分 )甲、乙、丙、丁四位选手各 10 次射击成绩的平均数和方差如下表： 则这四人中成绩发挥最稳定的是 ( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解析： 因为 S 甲 2 S 丁 2 S 丙 2 S 乙 2，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙 . 答案： B. 8.(2 分 )如图所示的抛物线是二次函数 y=ax2+bx
4、+c(a0 )的图象，则下列结论： abc 0； b+2a=0 ； 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (4， 0)； a+c b； 3a+c 0. 其中正确的结论有 ( ) A. 5 个 B. 4 个 C. 3 个 D. 2 个 解析： 开口向上， a 0， 与 y 轴交于负半轴， c 0， 对称轴 x=- 0， b 0， abc 0；故 正确； 对称轴 x=- =1， b+2a=0 ；故 正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为 (-2， 0)，对称轴为： x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为 (4， 0)；故 正确； 当 x=-1 时， y=a-b+c 0， a+c b，故 错误； a -b
5、+c 0， b+2a=0， 3a+c 0；故 正确 . 答案： B. 二、填空题 (共 8 小题，每小题 2 分，满分 16分 ) 9.(2 分 )分解因式： m2-10m= . 解析： m2-10m=m(m-10)， 答案 ： m(m-10). 10.(2 分 )如图， A+B+C+D= 度 . 解析： 由四边形内角和等于 360 ，可得 A+B+C+D=360 度 . 答案 ： 360. 11.(2 分 )在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限 . 解析： 在一次函数 y=kx+2 中， y 随 x 的增大而增大， k 0， 2 0， 此函数的
6、图象经过一、二、三象限，不经过第四象限 . 答案 ：四 . 12.(2 分 )若方程组 ，则 3(x+y)-(3x-5y)的值是 . 解析： ， 3 (x+y)-(3x-5y)=37 -(-3)=21+3=24. 答案 ： 24. 13.(2 分 )ABC 中， C=90 ， AB=8， cosA= ，则 BC 的长 . 解析： cosA= ， AC=AB cosA=8 =6， BC= = =2 . 答案 ： 2 . 14.(2 分 )刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a， b)进入其中时，会得到一个新的实数： a2+b-1，例如把 (3， -2)放入其中
7、，就会得到32+(-2)-1=6.现将实数对 (-1， 3)放入其中，得到实数 m，再将实数对 (m， 1)放入其中后，得到实数是 . 解析： 根据所给规则： m=(-1)2+3-1=3， 最后得到的实数是 32+1-1=9. 15.(2 分 )如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的 ，另一根露出水面的长度是它的 .两根铁棒长度之和为 220cm，此时木桶中水的深度是 cm. 解析： 设较长铁棒的长度为 x(cm)，较短铁棒的长度为 y(cm). 因为两根铁棒之和为 220cm，故可列 x+y=220， 又知两棒未露出水面的长度相等，故可知 x= y，
8、据此可列： ，解得： ，因此木桶中水的深度为 120 =80(cm). 答案： 80 16.(2 分 )如图， D 是 ABC 内一点， BDCD ， AD=6， BD=4， CD=3， E、 F、 G、 H 分别是 AB、AC、 CD、 BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 . 解析： BDCD ， BD=4， CD=3， BC= = =5， E 、 F、 G、 H 分别是 AB、 AC、 CD、 BD 的中点， EH=FG= AD， EF=GH= BC， 四边形 EFGH 的周长 =EH+GH+FG+EF=AD+BC， 又 AD=6 ， 四边形 EFGH 的周长 =6+5=11. 答
9、案 ： 11. 三、计算题 (共 2 小题，每小题 6 分，满分 12分 ) 17.(6 分 )先化简，再求值： ，其中 x= . 解析： 将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为后解答 . 答案 ：原式 = ( - )-1= -1= -1=-1. 当 x= 时，原式 = -1， = -1= -1. 18.(6 分 )某商场购进一批单价为 4 元的日用品 .若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数 y(件 )与价格 x(元 /件 )之间满足一次函数关系 . (1)试求 y 与 x 之间的函数关系式； (2)当销售价格定
10、为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？ 解析： (1)利用待定系数法求得 y 与 x 之间的一次函数关系式； (2)根据 “ 利润 =(售价 -成本 ) 售出件数 ” ，可得利润 W 与销售价格 x 之间的二次函数关系式，然后求出其最大值 . 答案 ： (1)由题意，可设 y=kx+b(k0 )， 把 (5， 30000)， (6， 20000)代入得： ，解得： ， 所以 y 与 x 之间的关系式为： y=-10000x+80000； (2)设利润为 W 元，则 W=(x-4)(-10000x+80000) =-10000(x-4)(x-8) =-10000(x2-12x+3
11、2) =-10000(x-6)2-4 =-10000(x-6)2+40000 所以当 x=6 时， W 取得最大值，最大值为 40000 元 . 答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为 40000 元 . 19.(6 分 )小明和小亮玩一种游戏：三张大小，质地都相同的卡片上分别标有数字 1， 2， 3，现将标有数字的一面朝下，小明从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后小亮从中任意抽取一张，计算小明和小亮抽得的两个数字之和，如果和为奇数，则小明胜，若和为偶数则小亮胜 . (1)用列表或画树状图等方法，列出小明和小亮抽得的数字之和所有可能出现的情况 . (2)请判断该游
12、戏对双方是否公平？并说明理由 . 解析： (1)依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率 . (2)游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可 答案 ：法一，列表 法二，画树形图 (1)从上面表中 (树形图 )可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是： 2， 3， 4， 5， 6； (2)因为和为偶数有 5 次，和为奇数有 4 次，所以 P(小明胜 )= ， P(小亮胜 )= ， 所以：此游戏对双方不公平 . 20.(6分 )如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜度由 45 降为 30 ，已知原滑滑板 AB 的长为 5
13、 米，点 D、 B、 C 在同一水平地面上 .求：改善后滑滑板会加长多少？(精确到 0.01)(参考数据： =1.414， =1.732， =2.449) 解析： 在 RtABC 中，根据 AB=5 米， ABC=45 ，求出 AC 的长度，然后在 RtADC 中，解直角三角形求 AD 的长度，用 AD-AB 即可求出滑板加长的长度 . 答案 ：在 RtABC 中， AB=5 ， ABC=45 ， AC=ABsin45=5 = ， 在 RtADC 中， ADC=30 ， AD= =5 =51.414=7.07 ，AD-AB=7.07-5=2.07(米 ). 答：改善后滑滑板约会加长 2.07
14、米 . 21.(6 分 )如图，已知线段 a 及 O ，只用直尺和圆规，求作 ABC ，使 BC=a， B=O ，C=2B (在指定作图区域作图，保留作图痕迹，不写作法 ) 解析： 先作一个角等于已知角，即 MBN=O ，在边 BN 上截取 BC=a，以射线 CB 为一边， C为顶点，作 PCB=2O ， CP 交 BM 于点 A， ABC 即为所求 . 答案 ：如图所示： . 22.(6 分 )如图， E， F 是四边形 ABCD 的对角线 AC 上两点， AF=CE， DF=BE， DFBE . 求证： (1)AFDCEB ； (2)四边形 ABCD 是平行四边形 . 解析： (1)利用两
15、边和它们的夹角对应相等的两三角形全等 (SAS)，这一判定定理容易证明AFDCEB . (2)由 AFDCEB ，容易证明 AD=BC且 ADBC ，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 . 答案 ： (1)DFBE ， DFE=BEF . 又 AF=CE ， DF=BE， AFDCEB (SAS). (2)由 (1)知 AFDCEB ， DAC=BCA ， AD=BC， ADBC . 四边形 ABCD 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ). 23.(6 分 )如图，点 A、 B 在 O 上，直线 AC 是 O 的切线， OCOB ，连接 AB 交 OC 于点 D
16、. (1)AC 与 CD 相等吗？为什么？ (2)若 AC=2， AO= ，求 OD 的长度 . 解析： (1)AC=CD，理由为：由 AC 为圆的切线，利用切线的性质得到 OAC 为直角，再由 OC与 OB 垂直，得到 BOC 为直角，由 OA=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再利用对顶角相等及等角的余角相等得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； (2)由 ODC=OD+DC， DC=AC，表示出 OC，在直角三角形 OAC 中，利用勾股定理即可求出 OD的长 . 答案 ： (1)AC=CD，理由为： OA=OB ， OAB=B ， 直线 AC 为圆 O 的切线， OAC=OAB+DA
17、C=90 ， OBOC ， BOC=90 ， ODB +B=90 ， ODB=CDA ， CDA+B=90 ， DAC=CDA ，则 AC=CD； (2)在 RtOAC 中， AC=CD=2， AO= ， OC=OD+DC=OD+2， 根据勾股定理得： OC2=AC2+AO2，即 (OD+2)2=22+( )2，解得： OD=1. 24.(6 分 )如图所示，已知一次函数 y=kx+b(k0 )的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A、 B 两点，且与反比例函数 y= (m0 )的图象在第一象限交于 C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为 D.若OA=OB=OD=1. (1)求点 A、 B、 D
18、 的坐标； (2)求一次函数和反比例函数的解析式 . 解析： (1)根据 OA=OB=OD=1 和各坐标轴上的点的特点易得到所求点的坐标； (2)将 A、 B 两点坐标分别代入 y=kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式，由 C 点在一次函数的图象上可确定 C 点坐标，将 C 点坐标代入 y= 可确定反比例函数的解析式 . 答案 ： (1)OA=OB=OD=1 ， 点 A、 B、 D 的坐标分别为 A(-1， 0)， B(0， 1)， D(1， 0)； (2) 点 A、 B 在一次函数 y=kx+b(k0 )的图象上， ，解得 ， 一次函数的解析式为 y=x+1. 点 C 在一次函数 y
19、=x+1 的图象上，且 CDx 轴， 点 C的坐标为 (1， 2)， 又 点 C 在反比例函数 y= (m0 )的图象上， m=2 ； 反比例函数的解析式为 y= . 25.(10 分 )如图，在正方形 ABCD 中， E 是 AB 上一点， F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE. (1)求证： CE=CF； (2)若点 G 在 AD 上，且 GCE=45 ，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？ 解析： (1)由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证 CEBCFD ，从而证出 CE=CF. (2)由 (1)得， CE=CF， BCE+ECD=DCF+ECD 即 ECF=BCD=9
20、0 又 GCE=45 所以可得 GCE=GCF ，故可证得 ECGFCG ，即 EG=FG=GD+DF.又因为 DF=BE，所以可证出GE=BE+GD 成立 . 答案 ： (1)在正方形 ABCD 中， ， CBECDF (SAS).CE=CF . (2)GE=BE+GD 成立 . 理由是： 由 (1)得： CBECDF ， BCE=DCF ， BCE+ECD=DCF+ECD ，即 ECF=BCD=90 ， 又 GCE=45 ， GCF=GCE=45 . ， ECGFCG (SAS).GE=GF .GE=DF+GD=BE+GD . 26.(10 分 )如图，已知一次函数 y=0.5x+2 的图
21、象与 x 轴交于点 A，与二次函数 y=ax2+bx+c的图象交于 y 轴上的一点 B，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2. (1)求二次函数 y=ax2+bx+c 的解析式； (2)设一次函数 y=0.5x+2 的图象与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的另一交点为 D，已知 P 为 x轴上的一个动点，且 PBD 为直角三角形，求点 P 的坐标 . 解析： (1)根据 y=0.5x+2交 x 轴于点 A，与 y 轴交于点 B，即可得出 A， B 两点坐标，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2.得出可
22、设二次函数y=ax2+bx+c=a(x-2)2，进而求出即可； (2)根据当 B 为直角顶点，当 D 为直角顶点，以及当 P 为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可 . 答案 ： (1)y=0.5x+2 交 x 轴于点 A， 0=0.5x+2 ， x= -4，与 y 轴 交于点 B， x=0 ， y=2B 点坐标为： (0， 2)， A (-4， 0)， B(0， 2)， 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴只有唯一的交点 C，且 OC=2， 可设二次函数 y=a(x-2)2或 y=a(x+2)2， 把 B(0， 2)代入得： a=0.5， 二次函数的解析式： y=0
23、.5x2-2x+2 或 y=0.5x2+2x+2(对称轴在 y 轴左侧，舍去 )； (2)( )当 B 为直角顶点时，过 B 作 BP1AD 交 x 轴于 P1点 ， 由 RtAOBRtBOP 1 = ， = ，得： OP1=1， P 1(1， 0)， ( )作 P2DBD ，连接 BP2， 将 y=0.5x+2 与 y=0.5x2-2x+2 联立求出两函数交点坐标： D 点坐标为： (5， 4.5)，则 AD= ， 当 D 为直角顶点时 ， DAP 2=BAO ， BOA=ADP 2， ABOAP 2D， = ， = ，解得： AP2=11.25， 则 OP2=11.25-4=7.25，故 P2点坐标为 (7.25， 0)； ( )当 P 为直角顶点时，过点 D 作 DEx 轴于点 E，设 P3(a， 0) ， 则由 RtOBP 3RtEP 3D 得： ， ， 方程无解， 点 P3不存在， 点 P 的坐标为： P1(1， 0)和 P2(7.25， 0).
