1、第 1 页共 13 页 2010 年四川省高考数学（文史类）试题 第卷 本试卷共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、选择题 1、设集合 3, 5, 6,8A= ,集合 4,5,7,8B = ,则 ABI 等于（ ） （A） 3, 4, 5, 6, 7, 8 (B) 3, 6 (C) 4,7 （D） 5,8 2、函数2logy x= 的图象大致是（ ） （A） (B) (C) (D) 3、抛物线28y x= 的焦点到准线的距离是（ ） （A）1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 4、一个单位有职工 800 人，其中具有高级职
2、称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职称的 200 人，其余人员 120 人。为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40 的样本，则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ） （A）12,24,15,9 (B)9,12,12,7 (C)8,15,12,5 (D)8 ,16,10,6 5、函数2() 1f xxmx=+的图象关于直线 1x= 对称的充要条件是（ ） （A） 2m= （B） 2m= （C） 1m= （D） 1m= 6、设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，216,BCABACABAC=+=uuur uuur uuur uuur
3、uuur,则AM =uuuur( ) (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 7、将函数 sinyx= 的图象上所有的点向右平行移动10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）所得图象的解析式是（ ） （A） sin(2 )10yx= （B） sin(2 )5yx= （C）1sin( )210yx= （D）1sin( )220yx= 8、某工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品，由乙车间加工出 B 产品。甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品，每千克 A 产品获利 40 元；乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克
4、B 产品，每千克 B 产品获利 50 元。甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱第 2 页共 13 页 原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（ ） （A）甲车间加工原料 10 箱，乙车间加工原料 60 箱； （B）甲车间加工原料 15 箱，乙车间加工原料 55 箱； (C) 甲车间加工原料 18 箱，乙车间加工原料 50 箱； (D) 甲车间加工原料 40 箱，乙车间加工原料 30 箱； 9、由 1,2,3,4,5,组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是（ ） （A）36 (B) 32 (C)28 (D)2
5、4 10、椭圆22221( 0)xyabab+=的右焦点为 F,其右准线与 x 轴交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点 F,则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A）2(0, 2(B)1(0, 2(C)2 1,1) (D)1,1)211、设 0ab，则211()aab a a b+的最小值是（ ） （A）1 (B) 2 (C)3 (D) 4 12、半径为 R 的球 O的直径 AB 垂直于平面 ，垂足为 B， BCD 是平面 内边长为 R 的正三角形，线段 AC、AD 分别与球面交于点 M、N，那么 M、N 两点间的球面距离是（ ） （A）17arccos25R （B）1
6、8arccos25R (C)13R (D) 415R 第卷 本卷共 10 小题，共 90 分 二、填空题 ：本大题共 4 小题，共 16 分， 把答案填在题中横线上。 13、42()xx 的展开式中的常数项为 （用数字作答） 14、直线 250xy+=与圆228xy+=相交于 A、B 两点，则 AB = 15、二面角 l 的大小是 60， ,AB B l，AB 与 l所成的角为 30，则 AB 与平面 所成角的正弦值是 16、设 S 为复数集 C 的非空子集，若对任意 的 ,x yS ,都有 ,x yx yxy S+ ,则称 S 为封闭集，下列命题： 集合 3,Sabab=+ 为整数 为封闭集
7、； 若 S 为封闭集，则一定有 0 S ； 封闭集一定是无限集； 若 S 为封闭集，则满足 STR的任意集合 T 也是封闭集。 第 3 页共 13 页 其中真命题是 （写出所有真命题的序号） 三、解答题 ：本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17、(本小题满分 12 分)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶：字样即为中奖，中奖概率为16，甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料， （）求三位同学都没的中奖的概率； （）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率。 18、(本小题满分 12 分)已知正方体
8、 ABCD A B C D 中，点 M 是棱 AA 的中点，点 O是对角线 BD 的中点， （）求证：OM 为异面直线 AA 与 BD 的公垂线； （）求二面角 M BC B 的大小； 第 4 页共 13 页 19、(本小题满分 12 分) ()证明两角和的余弦公式(): cos( ) cos cos sin sinC + =； 由()C +推导两角和的正弦公式(): sin( ) sin cos cos sinS + =+。 （）已知4cos5 = ，3(, )2 ，1tan , ( , )32 = 求 cos( ) + 。 第 5 页共 13 页 20、 （本小题满分 12 分）已知等差数
9、列 na 的前 3 项和为 6,前 8 项和为4. （）求数列 na 的通项公式； （）设1(4 ) ( 0, )nnnbaqqnN= ，求数列 nb 的前 n 项和nS 。 第 6 页共 13 页 21、(本小题满分 12 分)已知定点 ( 1,0), (2,0)AF ,定直线1:2lx= ，不在 x轴上的动点 P 与点F 的距离是它到直线 l的距离的 2 倍，设点 P 的轨迹为 E，过点 F 的直线交 E 于 B、C 两点，直线 AB、AC 分别交 l于点 M、N. ()求 E 的方程； （） 试判断以线段 MN 为直径的圆是否过点 F,并说明理由。 第 7 页共 13 页 22、(本小题
10、满分 14 分)设1() ( 0, 1), ()1xxaf xaagxa+=且 是 ()f x 的反函数， （）求 ()gx （）当 2,6x 时，恒有2() log(1)(7)atgxx x 成立，求 t的取值范围。 （）当102a= = =uruurur uurur uur 。 由图可知二面角 M BC B 的平面角为锐角， 故二面角 M BC B的大小为1arccos3。 （12 分） 19、解析 ： （）如图，在直角标系 xoy内作单位圆 O，并作出角 , 与 ，使角 的始边为 Ox 轴，交 O于点1P ,终边交 O于点2p ；角 的始边为2OP ,终边交 O于3P ,角 的始边为1O
11、P ,终边交 O于4P . 则12(1,0), (cos ,sin )PP ， 3(cos(),sin()P + 4(cos( ),sin( )P 由13 24PP PP= 及两点间距离公式得 22cos( ) 1 sin ( ) + +22cos( ) cos sin( ) sin = + 展开并整理，得 22 ( ) 22(coscos sinsin)cos += ， cos( ) cos cos sin sin += （4 分） 由易得， cos( ) sin ,sin( ) cos22 = = ， sin( ) cos ( ) cos( ) ( ) += + = +cos( )cos(
12、 ) sin( )sin( )22 = cos cos sinsin = + sin( ) cos cos sinsin += + （6 分） （）由已知4cos5 = ，3(, )2 ，3sin5 = ； 由1tan , ( , )32 = ，得310 10cos ,sin10 10= = ， 4 3 10 3 10 3 10cos( ) cos cos sin sin ( ) ( ) ( )5 10 5 10 10 += = = 。 （12 分） 20、解析： （ ）设 na 的公差为 d ，由已知得11336828 4adad+=+ =。解得13, 1ad=， 第 11 页共 13 页
13、故 3( 1) 4nan n= = （5 分） （）由()的解答可得1nnbnq= ，于是 012 2 1123 (1)nnnSqqq nqnq = + + + + +L 当 1q 时，上式两边同乘以 q可得112312 3 (1)nnnqS q q q n q n q= + +L 上述两式相减可得12 11(1) 11nnnnqqSnq qq q nqq=L 11( 1)1nnnqnqq+ +=所以 121( 1)(1)nnnnqnqSq+ +=，当 1q = 时(1)1232nnnSn+=+ +=L 。 综上所述，12(1),( 1)2(1) 1,( 1)(1)n nnnnqSnq n q
14、qq+=+ + （12 分） 21、解析： （）设 (, )Pxy，则221(2) 2( )2xyx += ，化简得： 221( 0)3yxy= （4 分） （）由当直线 BC 与 x 轴不垂直时，设 BC 的方程为 (2)( 0)ykx k= ，与双曲线方程221( 0)3yxy=联立消去 y 得22 2 2(3 ) 4 (4 3) 0kx kx k +=， 由题意知230k且 0 ，设11 2 2(, ),(, )B xy Cxy，则212243kxxk+=，2122433kxxk+=， 2212 1 2 12 1 2( 2)( 2) 2( ) 4yy k x x k xx x x= +2
15、2222438433kkkkk+= +2293kk=。 12,1xx ，所以直线 AB 的方程为11(1)1yyxx= +，因此 M 点的坐标为1131(, )22( 1)yx +。 1133(, )22( 1)yFMx=+uuuur，同理可得2233(, )22( 1)yFNx=+uuur第 12 页共 13 页 因此221222122281933 93()() 0434224(1)(1)44( 1)33kyykFM FNkkxxkk=+ =+ =+ uuuur uuur 当直线 BC 与 x 轴垂直时， 设 BC 的方程为 2x = ， 则 (2,3), (2, 3)BC ,AB 的方程为
16、 1y x=+，因此 M 的坐标为13(,)22M ，33(,)22FM =uuuur,同理得33(,)22FN = uuur,因此 3333()()() 02222FM FN =+=uuuur uuur。 综上 0FM FN=uuuur uuur， FM FNuuuur uuur，即 FM FN ,故以线段 MN 为直径的圆过点 F. (12 分) 22、解析： （）由题意得101xyay=+， 故1() log , ( , 1) (1, )1axgx xx=+U ， （3 分） （） 由1() log1axgxx=+2log(1)(7)atx x 得 当 1a 时，11xx+20(1)(7
17、)txx，又 因为 2,6x ，所以 20(1)(7)tx x ， 综上，当 1a 时， 05t 。 （9 分） （）设11ap=+，则 1P ， 第 13 页共 13 页 当 1n= 时，12(1) 1 3 51afap+=+， 当 2n 时，设 2,kkN时，则 12212() 1 11 (1 ) 1 .kkk kKK Kafka p Cp Cp Cp+=+ =+ +所以1224441()1 1 1(1) 1kkfkCC kk kk+ =+ =+， 从而44(2) (3) ( ) 1 121f ffnn nn+L 。 所以， (1) (2) (3) ( ) (1) 1 4fff fnfn n+L 综上， 总有 (1) (2) (3) ( ) 4fff fnn+L 。（14 分）
