1、2017年 上 海 市 宝 山 区 中 考 一 模 数 学一 、 选 择 题 ： (本 大 题 共 6 题 ， 每 题 4 分 ， 满 分 24 分 )1.已 知 A=30 ， 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.sinA= 12B.cosA= 12C.tanA= 12D.cotA= 12 解 析 ： 根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 进 行 判 断 即 可 A=30 ， sinA= 12 ， cosA= 32 ， tanA= 33 ， cotA= 3 .答 案 ： A.2.如 果 C 是 线 段 AB 的 黄 金 分 割 点 C， 并 且 AC CB， AB=1， 那 么 A
2、C的 长 度 为 ( )A. 23B. 12 C. 5 12D. 3 2 5解 析 ： C是 线 段 AB的 黄 金 分 割 点 C， AC CB， 52 25 1 1AC AB .答 案 ： C.3.二 次 函 数 y=x 2+2x+3 的 定 义 域 为 ( )A.x 0B.x为 一 切 实 数C.y 2D.y为 一 切 实 数解 析 ： 二 次 函 数 y=x2+2x+3 的 定 义 域 为 x 为 一 切 实 数 . 答 案 ： B4.已 知 非 零 向 量 ar、 br之 间 满 足 3a br r， 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A.ar的 模 为 3B.ar与 br的 模
3、 之 比 为 -3： 1C.ar与 br平 行 且 方 向 相 同D.ar与 br平 行 且 方 向 相 反解 析 ： 根 据 向 量 的 长 度 和 方 向 ， 可 得 答 案 . A、 由 3a br r， 得 3a br r ， 故 A 错 误 ；B、 由 3a br r， 得 3a br r ， |ar|： |br|=3： 1， 故 B 错 误 ；C、 由 3a br r， 得 ar与 br方 向 相 反 ， 故 C错 误 ；D、 由 3a br r， 得 ar与 br平 行 且 方 向 相 反 ， 故 D 正 确 .答 案 ： D.5.如 果 从 甲 船 看 乙 船 ， 乙 船 在
4、甲 船 的 北 偏 东 30 方 向 ， 那 么 从 乙 船 看 甲 船 ， 甲 船 在 乙 船 的( )A.南 偏 西 30 方 向 B.南 偏 西 60 方 向C.南 偏 东 30 方 向D.南 偏 东 60 方 向解 析 ： 根 据 题 意 正 确 画 出 图 形 进 而 分 析 得 出 从 乙 船 看 甲 船 的 方 向 .如 图 所 示 ：可 得 1=30 ， 从 甲 船 看 乙 船 ， 乙 船 在 甲 船 的 北 偏 东 30 方 向 ， 从 乙 船 看 甲 船 ， 甲 船 在 乙 船 的 南 偏 西 30 方 向 .答 案 ： A.6.二 次 函 数 y=a(x+m)2+n的 图
5、 象 如 图 ， 则 一 次 函 数 y=mx+n的 图 象 经 过 ( ) A.第 一 、 二 、 三 象 限B.第 一 、 二 、 四 象 限C.第 二 、 三 、 四 象 限D.第 一 、 三 、 四 象 限解 析 ： 抛 物 线 的 顶 点 在 第 四 象 限 ， -m 0， n 0， m 0， 一 次 函 数 y=mx+n 的 图 象 经 过 二 、 三 、 四 象 限 .答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： (本 大 题 共 12 小 题 ， 每 题 4 分 ， 满 分 48分 ) 7.已 知 2a=3b， 则 ab .解 析 ： 比 例 的 基 本 性 质 ： 两 外 项 之
6、积 等 于 两 内 项 之 积 . 2a=3b， 32ab .答 案 ： 32 .8.如 果 两 个 相 似 三 角 形 的 相 似 比 为 1： 4， 那 么 它 们 的 面 积 比 为 .解 析 ： 根 据 相 似 三 角 形 的 性 质 ： 相 似 三 角 形 的 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 即 可 解 得 . 两 个 相 似 三 角 形 的 相 似 比 为 1： 4， 它 们 的 面 积 比 为 1： 16. 答 案 ： 1： 16.9.如 图 ， D 为 ABC 的 边 AB 上 一 点 ， 如 果 ACD= ABC 时 ， 那 么 图 中 是 AD 和 AB 的 比
7、例 中 项 . 解 析 ： 根 据 两 角 分 别 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似 ， 可 得 ACD ABC 的 关 系 ， 根 据 相 似 三 角 形的 性 质 ， 可 得 答 案 .在 ACD与 ABC中 ， ACD= ABC， A= A， ACD ABC， AD ACAC AB ， AC 是 AD和 AB的 比 例 中 项 .答 案 ： AC.10.如 图 ， ABC中 C=90 ， 若 CD AB于 D， 且 BD=4， AD=9， 则 tanA= . 解 析 ： 先 证 明 BDC CDA， 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 CD 的 长 度 ， 然 后 根
8、据 锐 角 三 角 函数 的 定 义 即 可 求 出 tanA 的 值 . BCD+ DCA= DCA+ A=90 ， BCD= A， CD AB， BDC= CDA=90 ， BDC CDA， CD 2=BD AD， CD=6， tan 23CDA AD .答 案 ： 23 .11.计 算 ： 2 3 5a b b r r r .解 析 ： 可 根 据 向 量 的 加 法 法 则 进 行 计 算 ， 可 得 答 案 . 2 3 5 2 6 5 2a b b a b b a b r r r r r r r r. 答 案 ： 2a br r.12.如 图 ， G为 ABC的 重 心 ， 如 果
9、AB=AC=13， BC=10， 那 么 AG的 长 为 . 解 析 ： 延 长 AG 交 BC 于 D， 根 据 重 心 的 概 念 得 到 BAD= CAD， 根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出BD， 根 据 勾 股 定 理 和 重 心 的 性 质 计 算 即 可 .延 长 AG交 BC 于 D， G 为 ABC的 重 心 ， BAD= CAD， AB=AC， BD= 12 BC=5， AD BC，由 勾 股 定 理 得 ， AD= 2 2AB BD =12， G 为 ABC的 重 心 ， AG= 23 AD=8.答 案 ： 8.13.二 次 函 数 y=5(x-4) 2+3
10、向 左 平 移 二 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 一 个 单 位 长 度 ， 得 到 的 函 数解 析 式 是 .解 析 ： 按 照 “ 左 加 右 减 ， 上 加 下 减 ” 的 规 律 求 解 即 可 .y=5(x-4)2+3 向 左 平 移 二 个 单 位 长 度 ， 再 向 下 平 移 一 个 单 位 长 度 得 y=5(x-4+2)2+3-1， 即y=5(x-2)2+2.答 案 ： y=5(x-2)2+2.14.如 果 点 A(1， 2)和 点 B(3， 2)都 在 抛 物 线 y=ax 2+bx+c 的 图 象 上 ， 那 么 抛 物 线 y=ax2+bx+c的 对
11、称 轴 是 直 线 .解 析 ： 根 据 函 数 值 相 等 的 点 到 抛 物 线 对 称 轴 的 距 离 相 等 可 求 得 其 对 称 轴 . 点 A(1， 2)和 点 B(3， 2)都 在 抛 物 线 y=ax2+bx+c 的 图 象 上 ， 其 对 称 轴 为 1 3 22x .答 案 ： x=2. 15.已 知 A(2， y1)、 B(3， y2)是 抛 物 线 2 312y x 的 图 象 上 两 点 ， 则 y1 y2.(填不 等 号 )解 析 ： 由 题 意 得 ： 抛 物 线 的 对 称 轴 是 ： 直 线 x=1， 2 0， 当 x 1 时 ， y随 x的 增 大 而 减
12、 小 ， 2 3， y 1 y2.答 案 ： .16.如 果 在 一 个 斜 坡 上 每 向 上 前 进 13 米 ， 水 平 高 度 就 升 高 了 5 米 ， 则 该 斜 坡 的 坡 度 i= .解 析 ： 设 在 一 个 斜 坡 上 前 进 13米 ， 水 平 高 度 升 高 了 5 米 ， 此 时 水 平 距 离 为 x 米 ，根 据 勾 股 定 理 ， 得 x2+52=132，解 得 ： x=12，故 该 斜 坡 坡 度 i=5： 12=1： 2.4.答 案 ： 1： 2.4.17.数 学 小 组 在 活 动 中 继 承 了 学 兄 学 姐 们 的 研 究 成 果 ， 将 能 够 确
13、 定 形 如 y=ax 2+bx+c的 抛 物 线的 形 状 、 大 小 、 开 口 方 向 、 位 置 等 特 征 的 系 数 a、 b、 c 称 为 该 抛 物 线 的 特 征 数 ， 记 作 ： 特 征数 a、 b、 c， (请 你 求 )在 研 究 活 动 中 被 记 作 特 征 数 为 1、 -4、 3的 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 .解 析 ： 特 征 数 为 1、 -4、 3， 抛 物 线 解 析 式 为 y=x2-4x+3=(x-2)2-1， 抛 物 线 顶 点 坐 标 为 (2， -1).答 案 ： (2， -1).18.如 图 ， D 为 直 角 ABC 的 斜 边
14、 AB 上 一 点 ， DE AB 交 AC 于 E， 如 果 AED 沿 DE 翻 折 ， A恰 好 与 B 重 合 ， 联 结 CD 交 BE于 F， 如 果 AC=8， tanA= 12 ， 那 么 CF： DF= . 解 析 ： DE AB， tanA= 12 ， DE= 12 AD， Rt ABC中 ， AC=8， tanA= 12 ， BC=4， 2 2 4 5AB AC BC ，又 AED沿 DE翻 折 ， A恰 好 与 B重 合 ， AD=BD=2 5 ， DE= 5 ， Rt ADE中 ， 2 2 5AE AD DE ， CE=8-5=3， Rt BCE中 ， 2 23 4
15、5BE ，如 图 ， 过 点 C 作 CG BE 于 G， 作 DH BE于 H， 则 Rt BDE中 ， 2 5 25 5DH ，Rt BCE中 ， 3 4 125 5CG ， CG DH， CFG DFH， 12 652 5CF CGDF DH .即 CF： DF=6： 5.答 案 ： 6： 5.三 、 解 答 题 ： (本 大 题 共 7 小 题 ， 满 分 78 分 ) 19.计 算 ： 0cot 45 cos30 2017tan 60 2sin 45 .解 析 ： 原 式 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 ， 以 及 零 指 数 幂 法 则 计 算 即 可 得 到 结 果
16、答 案 ： 原 式 3 3 33 21 1 22 2 223 2 1 12 .20.如 图 ， 在 ABC中 ， 点 D、 E 分 别 在 边 AB、 AC上 ， 如 果 DE BC， 且 DE= 23 BC. (1)如 果 AC=6， 求 CE的 长 .解 析 ： (1)根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 可 得 AE 的 长 ， 根 据 线 段 的 和 差 ， 可 得 答 案 .答 案 ： (1)由 DE BC， 得 ADE ABC， AE DEAC BC .又 DE= 23 BC 且 AC=6， 得AE= 23 AC=4，CE=AC-AE=6-4=2.(2)设 AB
17、 auuur r， AC buuur r， 求 向 量 DEuuur(用 向 量 ar、 br表 示 ). 解 析 ： (2)根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质 ， 可 得 AE， AD 的 长 ， 根 据 向 量 的 减 法 运 算 ， 可 得 答案 .答 案 ： (2)如 图 ，由 DE BC， 得 ADE ABC， AE DEAC BC . 又 AC=6且 DE= 23 BC， 得AE= 23 AC， AD= 23 AB.2 23 3AE AC b uuur uuur r， 2 23 3AD AB a uuur uuur r.2 23 3DE AE AD b a uuur
18、 uuur uuur r r.21.如 图 ， AB、 CD分 别 表 示 两 幢 相 距 36米 的 大 楼 ， 高 兴 同 学 站 在 CD 大 楼 的 P 处 窗 口 观 察 AB大 楼 的 底 部 B 点 的 俯 角 为 45 ， 观 察 AB大 楼 的 顶 部 A 点 的 仰 角 为 30 ， 求 大 楼 AB 的 高 . 解 析 ： 过 点 P 作 AB 的 垂 线 ， 垂 足 为 E， 根 据 题 意 可 得 出 四 边 形 PDBE 是 矩 形 ， 再 由 EPB=45可 知 BE=PE=36m， 由 AE=PE tan30 得 出 AE的 长 ， 进 而 可 得 出 结 论
19、答 案 ： 如 图 ， 过 点 P作 AB 的 垂 线 ， 垂 足 为 E， PD AB， DB AB， 四 边 形 PDBE 是 矩 形 ， BD=36m， EPB=45 ， BE=PE=36m， AE=PE tan30 =36 33 =12 3 (m)， AB=AB+BE=(12 3 +36)m.答 ： 建 筑 物 AB 的 高 为 (36+12 3 )米 . 22.直 线 l： 34 6y x 交 y 轴 于 点 A， 与 x 轴 交 于 点 B， 过 A、 B 两 点 的 抛 物 线 m 与 x 轴的 另 一 个 交 点 为 C， (C在 B 的 左 边 )， 如 果 BC=5， 求
20、 抛 物 线 m 的 解 析 式 ， 并 根 据 函 数 图 象 指出 当 m的 函 数 值 大 于 0 的 函 数 值 时 x 的 取 值 范 围 .解 析 ： 先 根 据 函 数 的 解 析 式 求 出 A、 B 两 点 的 坐 标 ， 再 求 出 点 C 的 坐 标 ， 利 用 待 定 系 数 法 求出 抛 物 线 m的 解 析 式 ， 画 出 其 图 象 ， 利 用 数 形 结 合 即 可 求 解 .答 案 ： 34 6y x 交 y 轴 于 点 A， 与 x轴 交 于 点 B， x=0时 ， y=6， A(0， 6)， y=0时 ， x=8， B(8， 0)， 过 A、 B 两 点
21、的 抛 物 线 m 与 x 轴 的 另 一 个 交 点 为 C， (C 在 B 的 左 边 )， BC=5， C(3， 0).设 抛 物 线 m的 解 析 式 为 y=a(x-3)(x-8)，将 A(0， 6)代 入 ， 得 24a=6， 解 得 a= 14 ， 抛 物 线 m的 解 析 式 为 y= 14 (x-3)(x-8)， 即 2 114 1 64y x x ；函 数 图 象 如 图 ： 当 抛 物 线 m的 函 数 值 大 于 0 时 ， x的 取 值 范 围 是 x 3或 x 8.23.如 图 ， 点 E 是 正 方 形 ABCD的 对 角 线 AC 上 的 一 个 动 点 (不
22、与 A、 C重 合 )， 作 EF AC交 边BC于 点 F， 联 结 AF、 BE 交 于 点 G.(1)求 证 ： CAF CBE； 解 析 ： (1)利 用 AA 证 明 CEF CAB， 再 列 出 比 例 式 利 用 SAS证 明 CAF CBE.答 案 ： (1)证 明 ： 四 边 形 ABCD是 正 方 形 ， ABC=90 ， EF AC， FEC=90 = ABC，又 FCE= ACB， CEF CAB， CF CBCE CA ，又 ACF= BCE， CAF CBE.(2)若 AE： EC=2： 1， 求 tan BEF的 值 .解 析 ： (2)证 出 BAF= BEF，
23、 设 EC=1， 则 EF=1， FC= 2 ， AC=3， 由 勾 股 定 理 得 出AB=BC= 22 AC= 3 22 ， 得 出 BF=BC-FC= 22 ， 由 三 角 函 数 即 可 得 出 结 果 .答 案 ： (2) CAF CBE， CAF= CBE， BAC= BCA=45 ， BAF= BEF，设 EC=1， 则 EF=1， FC= 2 ， AE： EC=2： 1， AC=3， AB=BC= 22 AC= 3 22 ， BF=BC-FC= 22 ， tan BEF=tan BAF= BFAB = 13 .24.如 图 ， 二 次 函 数 y=ax2- 32 x+2(a 0
24、)的 图 象 与 x 轴 交 于 A、 B 两 点 ， 与 y 轴 交 于 点 C， 已知 点 A(-4， 0). (1)求 抛 物 线 与 直 线 AC 的 函 数 解 析 式 .解 析 ： (1)把 点 A 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 ， 就 可 求 得 抛 物 线 的 解 析 式 ， 根 据 A， C 两 点 的坐 标 ， 可 求 得 直 线 AC的 函 数 解 析 式 . 答 案 ： (1) A(-4， 0)在 二 次 函 数 y=ax2- 32 x+2(a 0)的 图 象 上 ， 0=16a+6+2，解 得 a= 12 ， 抛 物 线 的 函 数 解 析 式 为
25、2 21 32 2y x x ； 点 C的 坐 标 为 (0， 2)，设 直 线 AC 的 解 析 式 为 y=kx+b， 则0 42 k bb ， 解 得 212kb ， 直 线 AC 的 函 数 解 析 式 为 ： 2 21y x .(2)若 点 D(m， n)是 抛 物 线 在 第 二 象 限 的 部 分 上 的 一 动 点 ， 四 边 形 OCDA的 面 积 为 S， 求 S关于 m 的 函 数 关 系 .解 析 ： (2)先 过 点 D 作 DH x 轴 于 点 H， 运 用 割 补 法 即 可 得 到 ： 四 边 形 OCDA 的 面 积 = ADH的 面 积 +四 边 形 OCD
26、H的 面 积 ， 据 此 列 式 计 算 化 简 就 可 求 得 S 关 于 m的 函 数 关 系 .答 案 ： (2) 点 D(m， n)是 抛 物 线 在 第 二 象 限 的 部 分 上 的 一 动 点 ， D(m， 21 32 22m m )， 过 点 D作 DH x轴 于 点 H，则 DH= 21 32 22m m ， AH=m+4， HO=-m， 四 边 形 OCDA 的 面 积 = ADH的 面 积 +四 边 形 OCDH的 面 积 ， 12S AH DH OH DH g g 2 21 14 2 23 1 32 2 2 2 2m m m m m m ， 化 简 ， 得 3 21 1
27、4 4 4 4mS m m (-4 m 0).(3)若 点 E 为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ， 点 F 为 x 轴 上 任 意 一 点 ， 当 以 A、 C、 E、 F 为 顶 点 的 四 边 形是 平 行 四 边 形 时 ， 请 直 接 写 出 满 足 条 件 的 所 有 点 E 的 坐 标 .解 析 ： (3)由 于 AC 确 定 ， 可 分 AC是 平 行 四 边 形 的 边 和 对 角 线 两 种 情 况 讨 论 ， 得 到 点 E与 点C的 纵 坐 标 之 间 的 关 系 ， 然 后 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 ， 就 可 得 到 满 足 条 件 的 所 有 点 E
28、的 坐 标 .答 案 ： (3) 若 AC 为 平 行 四 边 形 的 一 边 ， 则 C、 E 到 AF 的 距 离 相 等 ， |y E|=|yC|=2， yE= 2.当 yE=2时 ， 解 方 程 21 32 2 2 2x x 得 ，x1=0， x2=-3， 点 E的 坐 标 为 (-3， 2)；当 y E=-2时 ， 解 方 程 21 32 2 2 2x x 得 ，x1= 3 412 ， x2= 3 412 ， 点 E的 坐 标 为 ( 3 412 ， -2)或 ( 3 412 ， -2)； 若 AC为 平 行 四 边 形 的 一 条 对 角 线 ， 则 CE AF， y E=yC=2
29、 点 E的 坐 标 为 (-3， 2).综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 点 E 的 坐 标 为 (-3， 2)、 ( 3 412 ， -2)、 ( 3 412 ， -2).25.如 图 (1)所 示 ， E 为 矩 形 ABCD的 边 AD 上 一 点 ， 动 点 P、 Q 同 时 从 点 B 出 发 ， 点 P 以 1cm/秒 的 速 度 沿 折 线 BE-ED-DC 运 动 到 点 C 时 停 止 ， 点 Q 以 2cm/秒 的 速 度 沿 BC 运 动 到 点 C 时 停止 .设 P、 Q 同 时 出 发 t 秒 时 ， BPQ 的 面 积 为 ycm 2.已 知 y 与 t
30、的 函 数 关 系 图 象 如 图 (2)(其中 曲 线 OG 为 抛 物 线 的 一 部 分 ， 其 余 各 部 分 均 为 线 段 ).(1)试 根 据 图 (2)求 0 t 5 时 ， BPQ的 面 积 y关 于 t 的 函 数 解 析 式 ； 解 析 ： (1)观 察 图 象 可 知 ， AD=BC=5 2=10， BE=1 10=10， ED=4 1=4， AE=10-4=6 在 Rt ABE中 ， 2 2 2 210 6 8AB BE AE ， 如 图 1 中 ， 作 PM BC 于 M.由 ABE MPB， 得PB PMBE AB ， 求 出 PM， 根 据 BPQ的 面 积 y
31、 12 BQ PM 计 算 即 可 问 题 .答 案 ： (1)观 察 图 象 可 知 ， AD=BC=5 2=10， BE=1 10=10， ED=4 1=4， AE=10-4=6在 Rt ABE中 ， 2 2 2 210 6 8AB BE AE ，如 图 1中 ， 作 PM BC于 M. ABE MPB， PB PMBE AB ， 10 8t PM ， 45PM t ，当 0 t 5时 ， BPQ的 面 积 21 12 2 4 42 5 5y BQ PM t t g g g g .(2)求 出 线 段 BC、 BE、 ED的 长 度 ；解 析 ： (2)观 察 图 象 (1)(2)， 即
32、 可 解 决 问 题 .答 案 ： (2)由 (1)可 知 BC=BE=10， ED=4. (3)当 t 为 多 少 秒 时 ， 以 B、 P、 Q 为 顶 点 的 三 角 形 和 ABE相 似 ；解 析 ： (3)分 三 种 情 形 讨 论 P在 BE上 ， P 在 DE 上 ， P 在 CD 上 ， 分 别 求 解 即 可 .答 案 ： (3) 当 P 在 BE 上 时 ， 点 C在 C处 时 ， BE=BC=10， 当 AE=AP=6时 ， PQB与 ABE 相 似 ， t=6. 当 点 P 在 ED 上 时 ， 观 察 图 象 可 知 ， 不 存 在 . 当 点 P 在 DC 上 时
33、 设 PC=a，当 PC BCAE AB 时 ， 106 8a ， a=152 ， 此 时 t=10+4+(8-152 )=14.5， t=14.5s时 ， PQB与 ABE相 似 . (4)如 图 (3)过 E作 EF BC 于 F， BEF 绕 点 B 按 顺 时 针 方 向 旋 转 一 定 角 度 ， 如 果 BEF 中 E、F的 对 应 点 H、 I恰 好 和 射 线 BE、 CD的 交 点 G 在 一 条 直 线 ， 求 此 时 C、 I两 点 之 间 的 距 离 .解 析 ： (4)由 BIH= BCG=90 ， 推 出 B、 I、 C、 G 四 点 共 圆 ， 推 出 BGH=
34、 BCI， 由 GBH CBI， 可 得 IC BIGH BH ， 由 此 只 要 求 出 GH即 可 解 决 问 题 .答 案 ： (4)如 图 3 中 ， 设 EG=m， GH=n， DE BC， EG DEGB BC ， 410 10mm ， m= 203 ，则 BG= 503 .在 Rt BIG中 ， BG 2=BI2+GI2， ( 503 )2=62+(8+n)2， n=-8+8 343 或 -8-8 343 (舍 弃 )， BIH= BCG=90 ， B、 I、 C、 G 四 点 共 圆 ， BGH= BCI， GBF= HBI， GBH= CBI， GBH CBI， (也 可 以 先 证 明 BFI GFC， 想 办 法 推 出 GFB CFI， 推 出 BGH=BCI) IC BIGH BH ， 68 108 343IC ， 8 34 245 5IC .
