1、2018年 山 西 省 中 考 真 题 数 学一 、 选 择 题 (本 大 题 共 10个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 30 分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 ， 请 选 出 并 在 答 题 卡 上 将 该 项 涂 黑 )1.下 面 有 理 数 比 较 大 小 ， 正 确 的 是 ( )A.0 -2B.-5 3C.-2 -3D.1 -4解 析 ： A、 0 -2， 故 此 选 项 错 误 ；B、 -5 3， 正 确 ；C、 -2 -3， 故 此 选 项 错 误 ； D、 1 -4， 故 此 选 项 错 误 .答
2、案 ： B.2.“ 算 经 十 书 ” 是 指 汉 唐 一 千 多 年 间 的 十 部 著 名 数 学 著 作 ， 它 们 曾 经 是 隋 唐 时 期 国 子 监 算 学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ， 不属 于 我 国 古 代 数 学 著 作 的 是 ( )A. B.C.D. 解 析 ： A、 九 章 算 术 是 中 国 古 代 数 学 专 著 ， 作 者 已 不 可 考 ， 它 是 经 历 代 各 家 的 增 补 修 订 ， 而 逐 渐 成 为 现 今 定 本 的 ；B、
3、 几 何 原 本 几 何 原 本 是 古 希 腊 数 学 家 欧 几 里 得 所 著 的 一 部 数 学 著 作 ；C、 海 岛 算 经 是 中 国 学 者 编 撰 的 最 早 一 部 测 量 数 学 著 作 ， 由 刘 徽 于 三 国 魏 景 元 四 年 所 撰 ；D、 周 髀 算 经 原 名 周 髀 ， 是 算 经 的 十 书 之 一 ， 中 国 最 古 老 的 天 文 学 和 数 学 著 作 .答 案 ： B.3.下 列 运 算 正 确 的 是 ( )A.(-a 3)2=-a6B.2a2+3a2=6a2C.2a2 a3=2a6D. 32 632 8b ba a 解 析 ： 分 别 根 据
4、 幂 的 乘 方 、 合 并 同 类 项 法 则 、 同 底 数 幂 的 乘 法 及 分 式 的 乘 方 逐 一 计 算 即 可 判断 .答 案 ： D.4.下 列 一 元 二 次 方 程 中 ， 没 有 实 数 根 的 是 ( )A.x 2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-2解 析 ： 利 用 根 的 判 别 式 =b2-4ac 分 别 进 行 判 定 即 可 .答 案 ： C.5.近 年 来 快 递 业 发 展 迅 速 ， 下 表 是 2018年 1 3 月 份 我 省 部 分 地 市 邮 政 快 递 业 务 量 的 统 计 结果 (单 位 ： 万
5、件 )： 1 3 月 份 我 省 这 七 个 地 市 邮 政 快 递 业 务 量 的 中 位 数 是 ( )A.319.79万 件B.332.68万 件C.338.87万 件D.416.01万 件解 析 ： 首 先 按 从 小 到 大 排 列 数 据 ： 319.79， 302.34， 332.68， 338.87， 416.01， 725.86， 3303.78由 于 这 组 数 据 有 奇 数 个 ， 中 间 的 数 据 是 338.87，所 以 这 组 数 据 的 中 位 数 是 338.87.答 案 ： C.6.黄 河 是 中 华 民 族 的 象 征 ， 被 誉 为 母 亲 河 ， 黄
6、 河 壶 口 瀑 布 位 于 我 省 吉 县 城 西 45 千 米 处 ， 是黄 河 上 最 具 气 势 的 自 然 景 观 .其 落 差 约 30米 ， 年 平 均 流 量 1010立 方 米 /秒 .若 以 小 时 作 时 间单 位 ， 则 其 年 平 均 流 量 可 用 科 学 记 数 法 表 示 为 ( ) A.6.06 104立 方 米 /时B.3.136 106立 方 米 /时C.3.636 106立 方 米 /时D.36.36 105立 方 米 /时解 析 ： 1010 360 24=3.636 106立 方 米 /时 .答 案 ： C.7.在 一 个 不 透 明 的 袋 子 里
7、 装 有 两 个 黄 球 和 一 个 白 球 ， 它 们 除 颜 色 外 都 相 同 ， 随 机 从 中 摸 出 一个 球 ， 记 下 颜 色 后 放 回 袋 子 中 ， 充 分 摇 匀 后 ， 再 随 机 摸 出 一 个 球 .两 次 都 摸 到 黄 球 的 概 率 是( )A. 49 B. 13C. 29D. 19解 析 ： 首 先 根 据 题 意 画 出 树 状 图 ， 由 树 状 图 求 得 所 有 等 可 能 的 结 果 与 两 次 都 摸 到 黄 球 的 情 况 ，然 后 利 用 概 率 公 式 求 解 即 可 求 得 答 案 .注 意 此 题 属 于 放 回 实 验 .答 案 ：
8、 A.8.如 图 ， 在 Rt ABC 中 ， ACB=90 ， A=60 ， AC=6， 将 ABC绕 点 C按 逆 时 针 方 向 旋 转得 到 A B C ， 此 时 点 A 恰 好 在 AB边 上 ， 则 点 B 与 点 B 之 间 的 距 离 为 ( ) A.12B.6C.6 2D.6 3解 析 ： 连 接 B B， 利 用 旋 转 的 性 质 和 直 角 三 角 形 的 性 质 解 答 即 可 . 答 案 ： D.9.用 配 方 法 将 二 次 函 数 y=x2-8x-9化 为 y=a(x-h)2+k 的 形 式 为 ( )A.y=(x-4)2+7B.y=(x-4)2-25C.y=
9、(x+4)2+7D.y=(x+4)2-25解 析 ： 直 接 利 用 配 方 法 进 而 将 原 式 变 形 得 出 答 案 .答 案 ： B.10.如 图 ， 正 方 形 ABCD内 接 于 O， O 的 半 径 为 2， 以 点 A 为 圆 心 ， 以 AC 长 为 半 径 画 弧 交AB的 延 长 线 于 点 E， 交 AD的 延 长 线 于 点 F， 则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 ( ) A.4 -4B.4 -8C.8 -4D.8 -8解 析 ： 利 用 对 称 性 可 知 ： 阴 影 部 分 的 面 积 =扇 形 AEF 的 面 积 - ABD的 面 积 .答 案 ：
10、A.二 、 填 空 题 (本 大 题 共 5 个 小 题 ， 每 小 题 3 分 ， 共 15分 )11.计 算 ： (3 2 +1)(3 2 -1)=_.解 析 ： 根 据 平 方 差 公 式 计 算 即 可 .答 案 ： 17. 12.图 1是 我 国 古 代 建 筑 中 的 一 种 窗 格 ， 其 中 冰 裂 纹 图 案 象 征 着 坚 冰 出 现 裂 纹 并 开 始 消 溶 ，形 状 无 一 定 规 则 ， 代 表 一 种 自 然 和 谐 美 .图 2 是 从 图 1 冰 裂 纹 窗 格 图 案 中 提 取 的 由 五 条 线 段组 成 的 图 形 ， 则 1+ 2+ 3+ 4+ 5=
11、_度 . 解 析 ： 由 多 边 形 的 外 角 和 等 于 360 可 知 ， 1+ 2+ 3+ 4+ 5=360 .答 案 ： 360 .13. 2018 年 国 内 航 空 公 司 规 定 ： 旅 客 乘 机 时 ， 免 费 携 带 行 李 箱 的 长 ， 宽 ， 高 三 者 之 和 不 超过 115cm.某 厂 家 生 产 符 合 该 规 定 的 行 李 箱 .已 知 行 李 箱 的 宽 为 20cm， 长 与 高 的 比 为 8： 11，则 符 合 此 规 定 的 行 李 箱 的 高 的 最 大 值 为 _cm. 解 析 ： 设 长 为 8x， 高 为 11x，由 题 意 ， 得 ：
12、 19x+20 115，解 得 ： x 5，故 行 李 箱 的 高 的 最 大 值 为 ： 11x=55，答 ： 行 李 箱 的 高 的 最 大 值 为 55厘 米 .答 案 ： 55.14.如 图 ， 直 线 MN PQ， 直 线 AB 分 别 与 MN， PQ相 交 于 点 A， B.小 宇 同 学 利 用 尺 规 按 以 下 步骤 作 图 ： 以 点 A 为 圆 心 ， 以 任 意 长 为 半 径 作 弧 交 AN于 点 C， 交 AB 于 点 D； 分 别 以 C， D为 圆 心 ， 以 大 于 12 CD 长 为 半 径 作 弧 ， 两 弧 在 NAB 内 交 于 点 E； 作 射
13、线 AE 交 PQ 于 点 F.若 AB=2， ABP=60 ， 则 线 段 AF的 长 为 _. 解 析 ： 作 高 线 BG， 根 据 直 角 三 角 形 30度 角 的 性 质 得 ： BG=1， AG= 3 ， 可 得 AF的 长 . 答 案 ： 2 3 .15.如 图 ， 在 Rt ABC中 ， ACB=90 ， AC=6， BC=8， 点 D 是 AB的 中 点 ， 以 CD 为 直 径 作 O， O 分 别 与 AC， BC 交 于 点 E， F， 过 点 F 作 O的 切 线 FG， 交 AB于 点 G， 则 FG 的 长 为 _.解 析 ： 先 利 用 勾 股 定 理 求 出
14、 AB=10， 进 而 求 出 CD=BD=5， 再 求 出 CF=4， 进 而 求 出 DF=3， 再 判 断 出 FG BD， 利 用 面 积 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： 125 .三 、 解 答 题 (本 大 题 共 8 个 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 )16.计 算 ： (1)(2 2 )2-|-4|+3-1 6+20.(2) 222 1 11 4 4 2x xx x x x .解 析 ： (1)先 计 算 乘 方 、 绝 对 值 、 负 整 数 指 数 幂 和 零 指 数 幂 ， 再 计 算 乘 法
15、， 最 后 计 算 加 减 运算 可 得 ；(2)先 将 分 子 、 分 母 因 式 分 解 ， 再 计 算 乘 法 ， 最 后 计 算 减 法 即 可 得 . 答 案 ： (1)原 式 =8-4+ 13 6+1=8-4+2+1=7.(2)原 式 = 21 12 11 22x xxx xx = 1 12 2xx x = 2xx .17.如 图 ， 一 次 函 数 y 1=k1x+b(k1 0)的 图 象 分 别 与 x 轴 ， y轴 相 交 于 点 A， B， 与 反 比 例 函 数y2= 2kx (k2 0)的 图 象 相 交 于 点 C(-4， -2)， D(2， 4).(1)求 一 次
16、函 数 和 反 比 例 函 数 的 表 达 式 ； (2)当 x 为 何 值 时 ， y1 0；(3)当 x 为 何 值 时 ， y1 y2， 请 直 接 写 出 x 的 取 值 范 围 .解 析 ： (1)将 C、 D 两 点 代 入 一 次 函 数 的 解 析 式 中 即 可 求 出 一 次 函 数 的 解 析 式 ， 然 后 将 点 D代 入 反 比 例 函 数 的 解 析 式 即 可 求 出 反 比 例 函 数 的 解 析 式 ；(2)根 据 一 元 一 次 不 等 式 的 解 法 即 可 求 出 答 案 .(3)根 据 图 象 即 可 求 出 答 案 该 不 等 式 的 解 集 .答
17、 案 ： (1) 一 次 函 数 y1=k1x+b的 图 象 经 过 点 C(-4， -2)， D(2， 4)， 114 22 4k bk b ，解 得 1 12kb . 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y1=x+2. 反 比 例 函 数 y2= 2kx 的 图 象 经 过 点 D(2， 4)， 4= 22k . k2=8. 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y2= 8x .(2)由 y1 0， 得 x+2 0. x -2. 当 x -2时 ， y1 0.(3)x -4 或 0 x 2.18.在 “ 优 秀 传 统 文 化 进 校 园 ” 活 动 中 ， 学 校 计 划 每 周 二
18、下 午 第 三 节 课 时 间 开 展 此 项 活 动 ，拟 开 展 活 动 项 目 为 ： 剪 纸 ， 武 术 ， 书 法 ， 器 乐 ， 要 求 七 年 级 学 生 人 人 参 加 ， 并 且 每 人 只 能 参加 其 中 一 项 活 动 .教 务 处 在 该 校 七 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 了 100名 学 生 进 行 调 查 ， 并 对 此 进 行统 计 ， 绘 制 了 如 图 所 示 的 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 (均 不 完 整 ). 请 解 答 下 列 问 题 ：(1)请 补 全 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 ；(2)在 参 加 “ 剪
19、 纸 ” 活 动 项 目 的 学 生 中 ， 男 生 所 占 的 百 分 比 是 多 少 ？(3)若 该 校 七 年 级 学 生 共 有 500人 ， 请 估 计 其 中 参 加 “ 书 法 ” 项 目 活 动 的 有 多 少 人 ？(4)学 校 教 务 处 要 从 这 些 被 调 查 的 女 生 中 ， 随 机 抽 取 一 人 了 解 具 体 情 况 ， 那 么 正 好 抽 到 参 加“ 器 乐 ” 活 动 项 目 的 女 生 的 概 率 是 多 少 ？解 析 ： (1)先 求 出 参 加 活 动 的 女 生 人 数 ， 进 而 求 出 参 加 武 术 的 女 生 人 数 ， 即 可 补 全
20、 条 形 统 计图 ， 再 分 别 求 出 参 加 武 术 的 人 数 和 参 加 器 乐 的 人 数 ， 即 可 求 出 百 分 比 ；(2)用 参 加 剪 纸 中 男 生 人 数 除 以 剪 纸 的 总 人 数 即 可 得 出 结 论 ；(3)根 据 样 本 估 计 总 体 的 方 法 计 算 即 可 ；(4)利 用 概 率 公 式 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1)由 条 形 图 知 ， 男 生 共 有 ： 10+20+13+9=52 人 ， 女 生 人 数 为 100-52=48人 ， 参 加 武 术 的 女 生 为 48-15-8-15=10 人 ， 参 加 武 术 的 人
21、 数 为 20+10=30人 ， 30 100=30%，参 加 器 乐 的 人 数 为 9+15=24人 ， 24 100=24%，补 全 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图 如 图 所 示 ：(2)在 参 加 “ 剪 纸 ” 活 动 项 目 的 学 生 中 ， 男 生 所 占 的 百 分 比 是 1010 15 100%=40%. 答 ： 在 参 加 “ 剪 纸 ” 活 动 项 目 的 学 生 中 ， 男 生 所 占 的 百 分 比 为 40%.(3)500 21%=105(人 ).答 ： 估 计 其 中 参 加 “ 书 法 ” 项 目 活 动 的 有 105人 .(4) 15 15
22、 515 10 8 15 48 16 .答 ： 正 好 抽 到 参 加 “ 器 乐 ” 活 动 项 目 的 女 生 的 概 率 为 516 .19.祥 云 桥 位 于 省 城 太 原 南 部 ， 该 桥 塔 主 体 由 三 根 曲 线 塔 柱 组 合 而 成 ， 全 桥 共 设 13对 直 线 型斜 拉 索 ， 造 型 新 颖 ， 是 “ 三 晋 大 地 ” 的 一 种 象 征 .某 数 学 “ 综 合 与 实 践 ” 小 组 的 同 学 把 “ 测量 斜 拉 索 顶 端 到 桥 面 的 距 离 ” 作 为 一 项 课 题 活 动 ， 他 们 制 订 了 测 量 方 案 ， 并 利 用 课 余
23、 时 间 借助 该 桥 斜 拉 索 完 成 了 实 地 测 量 .测 量 结 果 如 下 表 . (1)请 帮 助 该 小 组 根 据 上 表 中 的 测 量 数 据 ， 求 斜 拉 索 顶 端 点 C到 AB的 距 离 (参 考 数 据 ： sin38 0.6， cos38 0.8， tan38 0.8， sin28 0.5， cos28 0.9， tan28 0.5)(2)该 小 组 要 写 出 一 份 完 整 的 课 题 活 动 报 告 ， 除 上 表 的 项 目 外 ， 你 认 为 还 需 要 补 充 哪 些 项 目 (写 出 一 个 即 可 ).解 析 ： (1)过 点 C 作 CD
24、 AB 于 点 D.解 直 角 三 角 形 求 出 DC即 可 ；(2)还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师 ， 活 动 感 受 等答 案 ： (1)过 点 C 作 CD AB 于 点 D.设 CD=x米 ， 在 Rt ADC 中 ， ADC=90 ， A=38 . tan38 =CDAD ， AD= 5tan38 0.8 4CD x x .在 Rt BDC中 ， BDC=90 ， B=28 . tan28 =CDBD ， BD= 2tan 28 0.5CD x x . AD+BD=AB=234， 54 x+2x
25、=234.解 得 x=72.答 ： 斜 拉 索 顶 端 点 C到 AB的 距 离 为 72米 .(2)还 需 要 补 充 的 项 目 可 为 ： 测 量 工 具 ， 计 算 过 程 ， 人 员 分 工 ， 指 导 教 师 ， 活 动 感 受 等 .(答案 不 唯 一 )20. 2018 年 1 月 20 日 ， 山 西 迎 来 了 “ 复 兴 号 ” 列 车 ， 与 “ 和 谐 号 ” 相 比 ， “ 复 兴 号 ” 列 车时 速 更 快 ， 安 全 性 更 好 .已 知 “ 太 原 南 -北 京 西 ” 全 程 大 约 500 千 米 ， “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车平 均 每 小
26、 时 比 某 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 多 行 驶 40 千 米 ， 其 行 驶 时 间 是 该 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 行 驶时 间 的 45 (两 列 车 中 途 停 留 时 间 均 除 外 ).经 查 询 ， “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 ， 中 途 只 有 石 家 庄 一 站 ， 停 留 10分 钟 .求 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要 多长 时 间 .解 析 ： 设 “ 复 兴 号 ” G92次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 的 行 驶 时 间 需 要 x 小 时
27、， 则 “ 和 谐 号 ” 列车 的 行 驶 时 间 需 要 54 x 小 时 ， 根 据 速 度 =路 程 时 间 结 合 “ 复 兴 号 ” G92 次 列 车 平 均 每 小 时 比 某 列 “ 和 谐 号 ” 列 车 多 行 驶 40千 米 ， 即 可 得 出 关 于 x 的 分 式 方 程 ， 解 之 经 检 验 后 即 可 得出 结 论 .答 案 ： 设 “ 复 兴 号 ” G92次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 的 行 驶 时 间 需 要 x 小 时 ， 则 “ 和 谐 号 ” 列 车 的 行 驶 时 间 需 要 54 x小 时 ，根 据 题 意 得 ： 500 500
28、 4054x x ，解 得 ： x= 52 ，经 检 验 ， x= 52 是 原 分 式 方 程 的 解 ， x+ 1 86 3 .答 ： 乘 坐 “ 复 兴 号 ” G92次 列 车 从 太 原 南 到 北 京 西 需 要 83 小 时 . 21.请 阅 读 下 列 材 料 ， 并 完 成 相 应 的 任 务 ：在 数 学 中 ， 利 用 图 形 在 变 化 过 程 中 的 不 变 性 质 ， 常 常 可 以 找 到 解 决 问 题 的 办 消 去 .著 名 美 籍匈 牙 利 数 学 家 波 利 亚 在 他 所 著 的 数 学 的 发 现 一 书 中 有 这 样 一 个 例 子 ： 请 问
29、如 何 在 一 个 三角 形 ABC的 AC 和 BC 两 边 上 分 别 取 一 点 X 和 Y， 使 得 AX=BY=XY.(如 图 )解 决 这 个 问 题 的 操 作步 骤 如 下 ：第 一 步 ， 在 CA 上 作 出 一 点 D， 使 得 CD=CB， 连 接 BD.第 二 步 ， 在 CB 上 取 一 点 Y ， 作 Y Z CA， 交 BD于 点 Z ， 并 在 AB上 取 一 点 A ， 使 Z A =Y Z .第 三 步 ， 过 点 A作 AZ AZ ， 交 BD于 点 Z.第 四 步 ， 过 点 Z 作 ZY AC， 交 BC 于 点 Y， 再 过 点 Y 作 YX ZA
30、， 交 AC于点 X.则 有 AX=BY=XY.下 面 是 该 结 论 的 部 分 证 明 ：证 明 ： AZ A Z ， BA Z = BAZ，又 A BZ = ABZ. BA Z BAZ. Z A BZZA BZ .同 理 可 得 Y Z BZYZ BZ . Z A Y ZZA YZ . Z A =Y Z ， ZA=YZ.任 务 ： (1)请 根 据 上 面 的 操 作 步 骤 及 部 分 证 明 过 程 ， 判 断 四 边 形 AXYZ的 形 状 ， 并 加 以 证 明 ； (2)请 再 仔 细 阅 读 上 面 的 操 作 步 骤 ， 在 (1)的 基 础 上 完 成 AX=BY=XY
31、的 证 明 过 程 ；(3)上 述 解 决 问 题 的 过 程 中 ， 通 过 作 平 行 线 把 四 边 形 BA Z Y 放 大 得 到 四 边 形 BAZY， 从 而确 定 了 点 Z， Y 的 位 置 ， 这 里 运 用 了 下 面 一 种 图 形 的 变 化 是 _.A.平 移 B.旋 转 C.轴 对 称 D.位 似 解 析 ： (1)四 边 形 AXYZ 是 菱 形 .首 先 由 “ 两 组 对 边 相 互 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ” 推 知 四边 形 AXYZ 是 平 行 四 边 形 ， 再 由 “ 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ”
32、证 得 结 论 ；(2)利 用 菱 形 的 四 条 边 相 等 推 知 AX=XY=YZ.根 据 等 量 代 换 得 到 AX=BY=XY.(3)根 据 位 似 变 换 的 定 义 填 空 .答 案 ： (1)四 边 形 AXYZ是 菱 形 .证 明 ： ZY AC， YX ZA， 四 边 形 AXYZ 是 平 行 四 边 形 . ZA=YZ， 平 行 四 边 形 AXYZ 是 菱 形 .(2)证 明 ： CD=CB， 1= 3. ZY AC， 1= 2. 2= 3. YB=YZ. 四 边 形 AXYZ 是 菱 形 ， AX=XY=YZ. AX=BY=XY.(3)通 过 作 平 行 线 把 四
33、 边 形 BA Z Y 放 大 得 到 四 边 形 BAZY， 从 而 确 定 了 点 Z， Y 的 位 置 ，此 时 四 边 形 BA Z Y 四 边 形 BAZY， 所 以 该 变 换 形 式 是 位 似 变 换 . 22.综 合 与 实 践问 题 情 境 ： 在 数 学 活 动 课 上 ， 老 师 出 示 了 这 样 一 个 问 题 ： 如 图 1， 在 矩 形 ABCD中 ， AD=2AB，E是 AB 延 长 线 上 一 点 ， 且 BE=AB， 连 接 DE， 交 BC 于 点 M， 以 DE 为 一 边 在 DE 的 左 下 方 作 正方 形 DEFG， 连 接 AM.试 判 断
34、线 段 AM与 DE 的 位 置 关 系 . 探 究 展 示 ： 勤 奋 小 组 发 现 ， AM垂 直 平 分 DE， 并 展 示 了 如 下 的 证 明 方 法 ：证 明 ： BE=AB， AE=2AB. AD=2AB， AD=AE. 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD BC. EM EBDM AB .(依 据 1) BE=AB， EMDM =1. EM=DM.即 AM 是 ADE的 DE边 上 的 中 线 ，又 AD=AE， AM DE.(依 据 2) AM 垂 直 平 分 DE.反 思 交 流 ：(1) 上 述 证 明 过 程 中 的 “ 依 据 1” “ 依 据 2” 分 别
35、 是 指 什 么 ？ 试 判 断 图 1 中 的 点 A 是 否 在 线 段 GF 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 直 接 回 答 ， 不 必 证 明 ；(2)创 新 小 组 受 到 勤 奋 小 组 的 启 发 ， 继 续 进 行 探 究 ， 如 图 2， 连 接 CE， 以 CE为 一 边 在 CE的左 下 方 作 正 方 形 CEFG， 发 现 点 G 在 线 段 BC的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 你 给 出 证 明 ； 探 索 发 现 ：(3)如 图 3， 连 接 CE， 以 CE 为 一 边 在 CE的 右 上 方 作 正 方 形 CEFG， 可 以 发 现 点 C， 点 B
36、都 在线 段 AE 的 垂 直 平 分 线 上 ， 除 此 之 外 ， 请 观 察 矩 形 ABCD和 正 方 形 CEFG的 顶 点 与 边 ， 你 还 能发 现 哪 个 顶 点 在 哪 条 边 的 垂 直 平 分 线 上 ， 请 写 出 一 个 你 发 现 的 结 论 ， 并 加 以 证 明 .解 析 ： (1) 直 接 得 出 结 论 ； 借 助 问 题 情 景 即 可 得 出 结 论 ；(2)先 判 断 出 BCE+ BEC=90 ， 进 而 判 断 出 BEC= BCG， 得 出 GHC CBE， 判 断 出 AD=BC，进 而 判 断 出 HC=BH， 即 可 得 出 结 论 ；(
37、3)先 判 断 出 四 边 形 BENM 为 矩 形 ， 进 而 得 出 1+ 2=90 ， 再 判 断 出 1= 3， 得 出 ENF EBC， 即 可 得 出 结 论 .答 案 ： (1) 依 据 1： 两 条 直 线 被 一 组 平 行 线 所 截 ， 所 得 的 对 应 线 段 成 比 例 (或 平 行 线 分 线 段成 比 例 ).依 据 2： 等 腰 三 角 形 顶 角 的 平 分 线 ， 底 边 上 的 中 线 及 底 边 上 的 高 互 相 重 合 (或 等 腰 三 角 形 的 “ 三 线 合 一 ” ). 答 ： 点 A在 线 段 GF的 垂 直 平 分 线 上 .理 由 ：
38、 由 问 题 情 景 知 ， AM DE， 四 边 形 DEFG 是 正 方 形 ， DE FG， 点 A在 线 段 GF的 垂 直 平 分 线 上 .(2)证 明 ： 过 点 G 作 GH BC 于 点 H， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB的 延 长 线 上 ， CBE= ABC= GHC=90 ， BCE+ BEC=90 . 四 边 形 CEFG 为 正 方 形 ， CG=CE， GCE=90 ， BCE+ BCG=90 . 2BEC= BCG. GHC CBE. HC=BE， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD=BC. AD=2AB， BE=AB， BC=
39、2BE=2HC， HC=BH. GH 垂 直 平 分 BC. 点 G在 BC的 垂 直 平 分 线 上 .(3)答 ： 点 F 在 BC 边 的 垂 直 平 分 线 上 (或 点 F 在 AD 边 的 垂 直 平 分 线 上 ).证 法 一 ： 过 点 F作 FM BC于 点 M， 过 点 E 作 EN FM于 点 N. BMN= ENM= ENF=90 . 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， 点 E 在 AB的 延 长 线 上 ， CBE= ABC=90 ， 四 边 形 BENM 为 矩 形 . BM=EN， BEN=90 . 1+ 2=90 . 四 边 形 CEFG 为 正 方 形 ，
40、EF=EC， CEF=90 . 2+ 3=90 . 1= 3. CBE= ENF=90 ， ENF EBC. NE=BE. BM=BE. 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ， AD=BC. AD=2AB， AB=BE. BC=2BM. BM=MC. FM 垂 直 平 分 BC. 点 F在 BC边 的 垂 直 平 分 线 上 .23.综 合 与 探 究如 图 ， 抛 物 线 y= 13 x2- 13 x-4与 x轴 交 于 A， B 两 点 (点 A 在 点 B 的 左 侧 )， 与 y 轴 交 于 点 C，连 接 AC， BC.点 P 是 第 四 象 限 内 抛 物 线 上 的 一 个 动 点
41、 ， 点 P 的 横 坐 标 为 m， 过 点 P 作 PM x轴 ， 垂 足 为 点 M， PM交 BC于 点 Q， 过 点 P 作 PE AC交 x轴 于 点 E， 交 BC 于 点 F. (1)求 A， B， C 三 点 的 坐 标 ；(2)试 探 究 在 点 P 运 动 的 过 程 中 ， 是 否 存 在 这 样 的 点 Q， 使 得 以 A， C， Q 为 顶 点 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 .若 存 在 ， 请 直 接 写 出 此 时 点 Q 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 ；(3)请 用 含 m 的 代 数 式 表 示 线 段 QF的 长 ，
42、并 求 出 m 为 何 值 时 QF有 最 大 值 .解 析 ： (1)解 方 程 13 x2- 13 x-4=0 得 A(-3， 0)， B(4， 0)， 计 算 自 变 量 为 0时 的 二 次 函 数 值 得C点 坐 标 ；(2)利 用 勾 股 定 理 计 算 出 AC=5， 利 用 待 定 系 数 法 可 求 得 直 线 BC 的 解 析 式 为 y=x-4， 则 可 设Q(m， m-4)(0 m 4)， 讨 论 ： 当 CQ=CA 时 ， 则 m2+(m-4+4)2=52， 当 AQ=AC时 ， (m+3)2+(m-4)2=52；当 QA=QC 时 ， (m+3) 2+(m-4)2=
43、52， 然 后 分 别 解 方 程 求 出 m 即 可 得 到 对 应 的 Q 点 坐 标 ；(3)过 点 F 作 FG PQ于 点 G， 如 图 ， 由 OBC 为 等 腰 直 角 三 角 形 .可 判 断 FQG为 等 腰 直 角 三角 形 ， 则 FG=QG= 22 FQ， 再 证 明 FGP AOC 得 到 3 4FG PG ， 则 PG= 2 23 FQ， 所 以PQ= 7 26 FQ， 于 是 得 到 FQ= 3 27 PQ， 设 P(m， 13 m2- 13 m-4)(0 m 4)， 则 Q(m， m-4)， 利 用PQ=-13 m 2+ 43 m 得 到 FQ= 3 27 (-
44、 13 m2+ 43 m)， 然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 解 决 问 题 .答 案 ： (1)当 y=0， 13 x2- 13 x-4=0， 解 得 x1=-3， x2=4， A(-3， 0)， B(4， 0)，当 x=0， y=13 x2- 13 x-4=-4， C(0， -4)；(2)AC= 2 23 4 =5，易 得 直 线 BC的 解 析 式 为 y=x-4，设 Q(m， m-4)(0 m 4)， 当 CQ=CA时 ， m2+(m-4+4)2=52， 解 得 m1= 5 22 ， m2=- 5 22 (舍 去 )， 此 时 Q 点 坐 标 为 ( 5 22 ，5 22
45、-4)；当 AQ=AC 时 ， (m+3)2+(m-4)2=52， 解 得 m1=1， m2=-0(舍 去 )， 此 时 Q 点 坐 标 为 (1， -3)；当 QA=QC 时 ， (m+3)2+(m-4)2=52， 解 得 m= 252 (舍 去 )，综 上 所 述 ， 满 足 条 件 的 Q点 坐 标 为 ( 5 22 ， 5 22 -4)或 (1， -3)；(3)解 ： 过 点 F 作 FG PQ于 点 G， 如 图 ， 则 FG x 轴 .由 B(4， 0)， C(0， -4)得 OBC为 等 腰 直 角 三 角 形 . OBC= QFG=45 . FQG为 等 腰 直 角 三 角 形
46、 ， FG=QG= 22 FQ， PE AC， PG CO， FPG= ACO， FGP= AOC=90 ， FGP AOC. FG PGOA CO ， 即 3 4FG PG ， PG= 4 4 2 2 23 3 2 3FG FQ FQ ， PQ=PG+GQ= 2 2 2 7 23 2 6FQ FQ FQ ， FQ= 3 27 PQ，设 P(m， 13 m 2- 13 m-4)(0 m 4)， 则 Q(m， m-4)， PQ=m-4-( 13 m2-13 m-4)=- 13 m2+ 43 m， FQ= 3 27 (- 13 m2+ 43 m)=- 27 (m-2)2+ 4 27 - 27 0， QF 有 最 大 值 . 当 m=2时 ， QF有 最 大 值 .
