1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -公式法（带解析） 选择题 分解因式（ x1） 22（ x1） +1的结果是（ ） A（ x1）（ x2） B x2 C（ x+1） 2 D（ x2） 2 答案： D 试题分析：首先把 x1看做一个整体，观察发现符合完全平方公式，直接利用完全平方公式进行分解即可 解：（ x1） 22（ x1） +1=（ x11） 2=（ x2） 2 故选： D 考点：因式分解 -运用公式法 点评：此题主要考查了因式分解 运用公式法，关键是熟练掌握完全平方公式：a22ab+b2=（ ab ） 2 把（ m+n） 2（ mn） 2分解因式，其结果为（ ） A 4n2 B 2
2、4 C 4mn D 4mn 答案： C 试题分析：本题旨在考查应用平方差公式进行因式分解的能力，（ m+n）相当于公式中的 a，（ mn）相当于公式中的 b 解：（ m+n） 2（ mn） 2， =（ m+n） +（ mn） （ m+n） （ mn） ， =2m 2n， =4mn 故选 C 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法分解因式，应用平方差公式进行因式分解，要注意分清谁是公式中的 a和 b，这样才能正确分解 下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ） x2+y2 x2+y2 x2y2 x2+xy+y2 x2+2xyy2 x2+4xy4y2 A 2个 B 3个 C 4个 D
3、5个 答案： A 试题分析：因式分解可套用公式分别是公式 a2b2=（ a+b）（ ab）和公式a22ab+b2=（ ab） 2，所给出的 6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解 解： x2+y2两平方项符号相同，不能运用公式； x2+y2=（ y+x）（ yx），两平方项符号相反，能运用平方差公式； x2y2两平方项符号相同，不能运用公式； x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式； x2+2xyy2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式； x2+4xy4y2=（ x24xy+4y2） =（ xy） 2，整理后可以利用完全平方公式 所以 两项能用公式法分
4、解因式 故选 A 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了用公式法进行因式分解的能力，进行因式分解时，需准确记忆公式的结果特点，以避免滥用公式而出错 下列因式分解中，正确的有（ ） 4aa3b2=a（ 4a2b2）； x2y2xy+xy=xy（ x2）； a+abac=a（ abc）； 9abc6a2b=3abc（ 32a）； x2y+ xy2= xy（ x+y） A 0个 B 1个 C 2个 D 5个 答案： B 试题分析：根据因式分解的定义对各选项分析判断后利用排除法求解 解：在 中，还能继续运用平方差公式，最后结果为： a（ 2+ab）（ 2ab）； 在 中，显然漏了一项，最后结果
5、应为 xy（ x3）； 在 中，注意各项符号的变化，最后结果应为： a（ 1b+c）； 在 中，显然两项的公因式应为： 3ab； 在 中，正确运用了提公因式法故正确的有一个 故选 B 考点：因式分解 -运用公式法；因式分解的意义 点评：注意在运用提公因式法的时候，不要出现类似 、 、 的错误，特别注意符号的变化和不要漏项 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 x的指数，他只知道该数为不大于 10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x4y2（ “”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（ ） A 2种 B 3种 C 4种 D 5种 答案： D 试题分析：能利用平方
6、差公式分解因式，说明漏掉的是平方项的指数，只能是偶数，又只知道该数为不大于 10的正整数，则该指数可能是 2、 4、 6、 8、 10五个数 解：该指数可能是 2、 4、 6、 8、 10五个数 故选 D 考点：因式分解 -运用公式法 点评：能熟练掌握平方差公式的特点，是解答这道题的关键，还要知道不大于就是小于或等于 下列分解因式中： a2b22ab+1=（ ab1） 2； x2y2=（ x+y）（ xy）； x2+4y2=（ 2y+x）（ 2yx）； x2+2xyy2=（ x+y） 2，其中正确的有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析：此题可根据平方差公式及完
7、全平方公式进行判断即可得出结果 解： a2b22ab+1=（ ab1） 2，正确； x2y2=（ x+y）（ xy），正确； x2+4y2=（ 2y+x）（ 2yx），正确； x2+2xyy2=（ x+y） 2，错误，应改为 x2+2xyy2=（ xy） 2； 故选 C 考点：因式分解的意义；因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了因式分解的应用，关键是对平方差公式及完全平方公式的掌握 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A x24=（ x+2）（ x2） B 1（ x+2） 2=（ x+1）（ x+3） C 2m2n8n3=2n（ m24n2） D 答案： A 试题分析：根据平方差公式，提公
8、因式法分解因式，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解 解： A、 x24=（ x+2）（ x2），正确； B、应为 1（ x+2） 2=（ 1x）（ x+3），故本选项错误； C、应为 2m2n8n3=2n（ m24n2） =2n（ m+2n）（ m2n），故本选项错误； D、应为 x2x+ =（ x ） 2，故本选项错误 故选 A 考点：因式分解 -运用公式法；因式分解的意义 点评：要注意在因式分解时要分解到无法继续分解为止并且注意分解因式是整式的变形，变形前后都是整式 若 a+b=4，则 a2+2ab+b2的值是（ ） A 8 B 16 C 2 D 4 答案： B 试题分析：首先
9、将 a2+2ab+b2运用完全平方公式进行因式分解，再代入求值 解： a+b=4， a2+2ab+b2=（ a+b） 2=42=16 故选 B 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子结构特征需记熟记牢 将整式 9x2分解因式的结果是（ ） A（ 3x） 2 B（ 3+x）（ 3x） C（ 9x） 2 D（ 9+x）（ 9x） 答案： B 试题分析：利用平方差公式： a2b2=（ a+b）（ ab）分解即可能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反 解： 9x2=（ 3x）（ 3+x） 故选 B 考点：因式分解 -运用公
10、式法 点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，这个多项式符合平方差公式的特点，宜采用平方差公式分解用公式法分解时要注意公式的结构特点 若多项式 x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则 m的值可以是（ ） A 4 B 4 C 2 D 4 答案： D 试题分析：利用完全平方公式（ a+b） 2=（ ab） 2+4ab、（ ab） 2=（ a+b）24ab计算即可 解： x2+mx+4=（ x2） 2， 即 x2+mx+4=x24x+4， m=4 故选 D 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题要熟记有关完 全平方的几个变形公式，本题考查对完全平方公式的变形应用能力 填空题 分解因式： x（
11、x1） 3x+4= 答案：（ x2） 2 试题分析：首先去括号、合并同类项，再运用完全平方公式分解因式 解： x（ x1） 3x+4， =x2x3x+4， =x24x+4， =（ x2） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：此题考查的是运用公式法进行因式分解，需注意本题应先对所求的代数式进行整理，然后再运用完全平方公式因式分解 已知一个长方形的面积是 a2b2（ a b），其中长边为 a+b，则短边长是 答案： ab 试题分析：根据长方形的面积和已知边长，利用多项式的除法法则计算即可求出另一边长 解：（ a2b2） （ a+b） =（ a+b）（ ab） （ a+b） =ab 故答案：为
12、ab 考点：因式分解 -运用公式法；整式的除法 点评：本题主要考查多项式的除法，利用平方差公式分解因式是解题的关键，也是难点 在多项式 m2+9； m29； 2aba2b2； a2b2+2ab； （ a+b）210（ a+b） +25中，能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号） 答案： 试题分析：根据平方差公式的特点：有两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断后求解 根据完全平方公式结构特征：两数的平方和加上或减去它们乘积的 2倍，对各选项验证即可 解： m2+9可直接应用平方差公式分解； m29是两数的平方和的相反数，不能因式分解； 2aba2b2符合完全平方
13、公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解； a2b2+2ab不符合完全平方公式的特点，不能用完全平方公式进行因式分解； 将（ a+b）看作一个整体，（ a+b） 210（ a+b） +25 符合完全平方公式的特点，能用完全平方公式进行因式分解 故能用平方差公式因式分解的有 ；能用完全平方公式因式分解的有 （填序号） 故答案：为： ； 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了用平方差公式和完全平方公式分解因式，熟记平方差公式和完全平方公式的结构特点是解题的关键 若将（ 2x） n81分解成（ 4x2+9）（ 2x+3）（ 2x3），则 n的值是 答案： 试题分析：因式分解与整式乘法是互逆运
14、算，可以将分解的结果进行乘法运算，得到原多项式 解：（ 4x2+9）（ 2x+3）（ 2x3） =（ 4x2+9）（ 4x29） =16x481=（ 2x） 481 故答案：为 4 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了平方差公式，两次利用平方差公式计算后根据指数相等求解即可 已知 |x2y1|+x2+4xy+4y2=0，则 x+y= 答案： 试题分析：已知等式左边后三项利用完全平方公式变形后，根据两非负数之和为 0，两非负数分别为 0得到关于 x与 y的方程组，求出方程组的解得到 x与 y的值，即可求出 x+y的值 解： |x2y1|+x2+4xy+4y2=|x2y1|+（ x+2y
15、） 2=0， ， 解得： ， 则 x+y= = 故答案：为： 考点：因式分解 -运用公式法；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 点评：此题考查了因式分解 运用公式法，以及非负数的性质：绝对值与偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 解答题 设 a1=3212， a2=5232， ， an=（ 2n+1） 2（ 2n1） 2（ n为大于 0的自然数） （ 1）探究 an是否为 8的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论； （ 2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是 “完全平方数 ”试找出 a1， a2， ， an， 这一列数中从小到大排列的前 4个完全平方数，并指出当n满足
16、什么条件时， an为完全平方数（不必说明理由） 答案：（ 1）两个连续奇数的平方差是 8的倍数 （ 2） n为一个完全平方数的 2倍时 试题分析：（ 1）利用平方差公式，将（ 2n+1） 2（ 2n1） 2化简，可得结论； （ 2）理解完全平方数的概念，通过计算找出规律 解：（ 1） an=（ 2n+1） 2（ 2n1） 2=4n2+4n+14n2+4n1=8n，（ 3分） 又 n为非零的自然数， an是 8的倍数（ 4分） 这个结论用文字语言表述为：两个连续奇数的平方差是 8的倍数（ 5分） 说明：第一步用完全平方公式展开各（ 1），正确化简（ 1分） （ 2）这一列数中从小到大排列的前 4
17、个完全平方数为 16， 64， 144， 256（ 7分） n为一个完全平方数的 2倍时， an为完全平方数（ 8分） 说明：找完全平方数时，错一个扣（ 1），错 2个及以上扣（ 2分） 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法分解因式，属于结论开放性题目，通过一系列的式子，找出一般规律，考查了同学们的探究发现 的能力 （ 1）分解因式： x2+2x+1= （ 2）若 =40，则 的余角是 答案：（ 1） （ x+1） 2 （ 2） 50度 试题分析：（ 1）符合完全平方公式，运用完全平方公式分解即可 （ 2）根据互余的两个角的和等于 90得出 解：（ 1） x2+2x+1=（ x
18、+1） 2； （ 2） =40， 的余角是 9040=50 考点：因式分解 -运用公式法；余角和补角 点评：本题（ 1）考查了利用完全平方公式分解因式，完全平方式是两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差； （ 2）考查如何求一个角的余角如果两个角的和等于 90，那么这两个角互为余角 分解因式： （ 1）（ m+2n） 2（ mn） 2（ 2） 4（ a+b） （ a+b） 24 答案：（ 1） 3n（ 2m+n） （ 2） （ a+b2） 2 试题分析：（ 1）有 2项符号相反的平方项，运用平方差公式分解即可； （ 2）二次项的系数为负，应先提取负号，再运用完全平方公式分解即可 解：（ 1）（
19、 m+2n） 2（ mn） 2， =（ m+2n+mn）（ m+2nm+n）， =3n（ 2m+n）； （ 2） 4（ a+b） （ a+b） 24， =（ a+b） 24（ a+b） +4， =（ a+b2） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：考查因式分解里公式法的运用，有 2项，应考虑运用平方差公式分解，有三项应考虑运用完全平方公式法分解；运用完全平方公式时一般应把平方项的符号整理为正 答案：（ +n） 2 试题分析：直接用完全平方公式因式分解 解： =（ +n） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式结构特点是解题的关键 阅读下列材料，并
20、解答相应问题： 对于二次三项式 x2+2ax+a2 这样的完全平方式 ，可以用公式法将它分解成（ x+a）2的形式，但是对于二次三项式 x2+2ax3a2，就不能直接应用完全平方公式了，我们可以在二次三项式 x2+2ax3a2中先加上一项 a2，使其成为完全平方式，再减去 a这项，使整个式子的值不变，于是有： x2+2ax3a2=x2+2ax+a2a23a2 =（ x+a） 2（ 2a） 2 =（ x+2a+a）（ x+a2a） =（ x+3a）（ xa） （ 1）像上面这样把二次三项式分解因式的数学方法是 （ 2）这种方法的关键是 （ 3）用上述方法把 m26m+8分解因式 答案：（ 1）
21、配方法 （ 2） 配成完全平方式 （ 3）（ m2）（ m4） 试题分析：本题考查用配方法进行因式分解的能力，完全平方公式的结构特征是两数的平方和加上或减去它们乘积的 2倍，因此对一些不完全符合完全平方公式的代数式，可在保证代数式不变的情况下通过加项或减项的方法配成完全平方公式 解：（ 1）配方法； （ 2）配成完全平方式； （ 3） m26m+8=m26m+3232+8， =（ m3） 21， =（ m3+1）（ m31）， =（ m2）（ m4） 考点：因式分解 -运用公式法 点评： 本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式，并能灵活变形应用是解题的关键因此要牢记完全平方公式结构特征 把
22、下列各式分解因式 （ 1）（ x2+y2） 24x2y2；（ 2） 3x312x2y+12xy2 答案：（ 1）（ x+y） 2（ xy） 2 （ 2） 3x（ x2y） 试题分析：（ 1）先用平方差公式进行分解，进而用完全平方公式分解即可； （ 2）提取公因式 3x后用完全平方公式分解即可 解：（ 1）（ x2+y2） 24x2y2， =（ x2+y2+2xy）（ x2+y22xy）， =（ x+y） 2（ xy） 2； （ 2） 3x312x2y+12xy2， =3x（ x24xy+4y2）， =3x（ x2y） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法分解因式，因式分解的
23、步骤为：一提公因式；二用公式；有 2项，应考虑运用平方差公式分解，有三项应考虑运用完全平方公式法分解，注意因式分解应分解到不能分解为止 请看下面的问题：把 x4+4分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢 19世纪的法国数学家苏菲 热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和（ x2） 2+（ 22） 2的形式，要使用公式就必须添一项 4x2，随即将此项 4x2减去，即可得x4+4=x4+4x2+44x2=（ x2+2） 24x2=（ x2+2） 2（ 2x） 2=（ x2+2x+2）（ x22x+2） 人们为了纪念苏菲 热门给出这一解法，就把它叫做 “热门定理 ”，请
24、你依照苏菲 热门的做法，将下列各式因式分解 （ 1） x4+4y4；（ 2） x22axb22ab 答案：（ 1）（ x2+2y2+2xy）（ x2+2y22xy） （ 2）（ x+b）（ x2ab） 试题分析：这是要运用添项法因式分解，首先要看明白例题才可以尝 试做以下题目 解：（ 1） x4+4y4=x4+4x2y2+4y24x2y2， =（ x2+2y2） 24x2y2， =（ x2+2y2+2xy）（ x2+2y22xy）； （ 2） x22axb22ab， =x22ax+a2a2b22ab， =（ xa） 2（ a+b） 2， =（ xa+a+b）（ xaab）， =（ x+b）（
25、x2ab） 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了添项法因式分解，难度比较大 阅读理解 我们知道：多项式 a2+6a+9可以写成（ a+3） 2的形式，这就是将多项式 a2+6a+9因式分解当一个多项式（如 a2+6a+8）不能写成两数和（或差）的平方的形式时，我们通常采用下面的方法： a2+6a+8=（ a+3） 21=（ a+2）（ a+4） 请仿照上面的方法，将下列各式因式分解： （ 1） x26x27；（ 2） a2+3a28；（ 3） x2（ 2n+1） x+n2+n 答案：（ 1）（ x+3）（ x9） （ 2）（ a4）（ a+7） （ 3）（ xn1）（ xn） 试题分
26、析：根据题目的条件，先将多项式凑成完全平方的形式，再根据实际情况解答 解：（ 1） x26x27， =x26x+936， =（ x3） 262， =（ x36）（ x3+6）， =（ x+3）（ x9）； （ 2） a2+3a28， =a2+3a+（ ） 2（ ） 228， =（ a+ ） 2 ， =（ a+ ）（ a+ + ）， =（ a4）（ a+7）； （ 3） x2（ 2n+1） x+n2+n， =x2（ 2n+1） x+（ n+ ） 2（ n+ ） 2+n2+n， =（ xn ） 2（ ） 2， =（ xn ）（ xn + ）， =（ xn1）（ xn） 考点：因式分解 -运用公式法
27、 点评：本题考查了公式法分解因式，是信息给予题，主要渗透配方思想，读懂题目信息是解题的关键 把下列各式分解因式： （ 1） a214ab+49b2 （ 2） a（ x+y） （ ab）（ x+y）； （ 3） 121x2144y2； （ 4） 3x412x2 答案：（ 1）（ a7b） 2 （ 2） b（ x+y） （ 3）（ 11x+12y）（ 11x12y） （ 4）3x2（ x+2）（ x2） 试题分析：（ 1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可； （ 2）提取公因式（ x+y）即可； （ 3）直接利用平方差公式因式分解即可； （ 4）先提取公因式 3x2，然后再利用平方差公式因式分解
28、即可 解：（ 1） a214ab+49b2=a227ab+（ 7b） 2=（ a7b） 2 （ 2） a（ x+y） （ ab）（ x+y） =（ x+y）（ aa+b） =b（ x+y）； （ 3） 121x2144y2； =（ 11x） 2（ 12y） 2=（ 11x+12y）（ 11x12y） （ 4） 3x412x2=3x2（ x24） =3x2（ x+2）（ x2） 考点：因式分解 -运用公式法；因式分解 -提公因式法 点评：本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时 候首先考虑提公因式法，然后考虑采用公式法，分解一定要彻底 因式分解： 4（ a+b） -（ a+b） 2-
29、4 答案： -（ a+b-2） 2 试题分析：首先提取 “-”号，原式变为 -（ a+b） 2-4（ a+b） +4，观察发现符合完全平方公式，故再用完全平方公式进行分解即可 解：原式 =-（ a+b） 2-4（ a+b） +4=-（ a+b-2） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：此题主要考查了公式法分解因式，在分解因式时，首先注意观察式子特点，然后再寻找分解方法 因式分解： x2y2x2（ y1） 2 答案： x2（ 2y1） 试题分析：先提公因式 x2，再利用平方差公式进行二次分解即可 解：原式 =x2y2（ y1） 2 =x2y+（ y1） y（ y1） =x2（ y+y1）（
30、yy+1） =x2（ 2y1） 考点：因式分解 -运用公式法 点评：此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止 x416 答案：（ x2+4）（ x+2）（ x2） 试题分析：本题是二项式，并且都可化成平方形式，符号相反，可 考虑应用平方差公式分解， 解： x416 =（ x2+4）（ x24） =（ x2+4）（ x+2）（ x2） 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法分解因式，其中平方差公式的特点是：系数能平方，指数要成双，减号在中央，即多项式是二项式，两项的符号相反，
31、且每一项可以写出完全平方的形式熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键 （ a2+1） 24a2 答案：（ a21） 试题分析：首先利用完全平方公式化简后再利用公式法因式分解即可 解：（ a2+1） 24a2=a4+2a2+14a2 =a42a2+1 =（ a21） 2 考点：因式分解 -运用公式法 点评：本题考查了公式法因式分解的知识，解题的关键是利用完全平方公式展开后再分解 992+299+1 答案： 试题分析：原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果 解： 992+299+1=（ 99+1） 2=1002=10000 考点：因式分解 -运用公式法 点评：此题考查了因式分解 运用公式法，
32、熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 （ 1）先化简，再求值：（ 2a25a） 2（ 3a5+a2）其中 a=1； （ 2）若 |m|=4， |n|=3，且知 m n，求代数式 m2+2mn+n2的值 答案：（ 1） 21 （ 2） 1或 49 试题分析：（ 1）把原式第二个括号外的系数 2乘到括号里边，然后利用去括号法则：括号外边是正数，去掉正号和括号，括号里各项不变号；括号外边是负号，去掉负号和括号，括号里各项都变号，去括号后合并同类项得到最简结果，最后把 a=1代入化简后的式子中即可求出值； （ 2）根据绝对值的意义，求出 m与 n的值，由 m小于 n，得到 m只能等于 4，n可以等于 3
33、或 3，把所求式子先利用完全平方公式变形后，将 m与 n的值代入即可求出值 解：（ 1）（ 2a25a） 2（ 3a5+a2） =（ 2a25a） （ 6a10+2a2） =2a25a6a+102a2=1011a， 当 a=1时，原式 =1011a=1011（ 1） =21； （ 2） |m|=4， |n|=3， m=4， n=3，又 m n， m=4， n=3或 m=4， n=3， 当 m=4， n=3时， m2+2mn+n2=（ m+n） 2=1； 当 m=4， n=3时， m2+2mn+n2=（ m+n） 2=49， 则 m2+2mn+n2=1或 49 考点：整式的加减 化简求值；绝对值；因式分解 -运 用公式法 点评：此题考查了整式的化简求值，涉及的知识有：去括号法则，绝对值的意义，合并同类项，以及完全平方公式的运用，其中对于先化简再求值的题型必须先把所求的式子利用去括号，合并同类项化为最简，然后再代值
