1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -平方差公式（带解析） 选择题 下列计算中： x（ 2x2x+1） =2x3x2+1； （ a+b） 2=a2+b2； （ x4） 2=x24x+16； （ 5a1）（ 5a1） =25a21； （ ab） 2=a2+2ab+b2 正确的个数有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： A 试题分析：根据单项式乘多项式，应用单项式去乘多项式的每一项；完全平方公式展开应是三项；（ a+b）（ ab） =a2b2；按照相应的方法计算即可 根据单项式乘多项式，应用单项式去乘多项式的每一项；完全平方公式展开应是三项；（ a+b）（ ab） =a2b2
2、；按照相应的方法计算即可 考点：平方差公式；完全平方公式 点评：此题主要考查了整式乘法，平方差公式及完全平方公式的运用 计算（ ab）（ a+b）（ a2+b2）（ a4b4）的结果是（ ） A a8+2a4b4+b8 B a82a4b4+b8 C a8+b8 D a8b8 答案： B 试题分析：这几个式子中，先把前两个式子相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数相乘时符合平方差公式得到 a2b2，再把这个式子与a2+b2相乘又符合平方差公式，得到 a4b4，与最后一个因式相乘，可以用完全平方公式计算 解：（ ab）（ a+b）（ a2+b2）（ a4b4）， =（ a2b2）（
3、a2+b2）（ a4b4）， =（ a4b4） 2， =a82a4b4+b8 故选 B 考点：平方差公式；完全平方公式 点评：本题主要考查了平方差公式的运用，本题难点在于连续运用平方差公式后再利用完全平方公式求解 填空题 如图，边长为 m+4的正方形纸片剪出一个边长为 m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为 4，则另一边长为 _ 答案： m+4 试题分析：根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解 解：设拼成的矩形的另一边长为 x， 则 4x=（ m+4） 2m2=（ m+4+m）（ m+4m）， 解得 x=2m+4 故答案：为： 2m+
4、4 考点：平方差公式的几何背景 点评：本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键 一只蚂蚁从原点出发，在数轴上爬行，向右爬行 12个单位长度后，向左爬行 22个单位长度；再向右爬行 32个单位长度后，向左爬行 42个单位长度这样一直爬下去，最后向右爬行 92个单位长度后，向左爬行 102个单位长度，到达A点则 A点表示的数是 _ 答案： -55 试题分析：规定向右为正，向左为负，根据题意列出算式，再利用平方差公式计算 解：规定向右为正，向左为负，依题意，得 1222+3242+9 2102， =（ 12）（ 1+2） +（ 34）（ 3+4） + （ 910）
5、（ 9+10）， =（ 1+2+3+4+9+10 ）， =55 故本题答案：为 55 考点：平方差公式；正数和负数 点评：本题考查了平方差公式的实际应用，关键是列出算式，分组使用平方差公式 计算： 1222+3242+99 21002= _ 答案： -5050 试题分析：分组使用平方差公式，再利用自然数求和公式解题 解：原式 =（ 1222） +（ 3242） + （ 9921002） =（ 12）（ 1+2） +（ 34）（ 3+4） + （ 99100）（ 99+100） =（ 1+2） （ 3+4） （ 99+100） =（ 1+2+3+4+99+100 ） =5050 故本题答案：为：
6、 5050 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式的运用，注意分组后两数的差都为 1，所有两数的和组成自然数求和 = _ 答案： 试题分析：在原式的分子前面乘以（ 21）构造能用平方差公式的结构，连续使用平方差公式即可 解： （ 2+1）（ 22+1）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）， =（ 21）（ 2+1）（ 22+1）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）， =（ 221）（ 22+1）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）， =（ 241）（ 24+1）（ 28+1）（ 216+1）， =（ 281）（ 28+1）（ 216+1）， =（ 2161）（ 2
7、16+1）， =2321 =1 故本题答案：为 1 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式的运用，构造使用平方差公式的结构是解题的关键 记 x=（ 1+2）（ 1+22）（ 1+24）（ 1+28） （ 1+2n），且 x+1=2128，则 n= 答案： 试题分析：先在前面添加因式（ 21），再连续利用平方差公式计算求出 x，然后根据指数相等即可求出 n值 解：（ 1+2）（ 1+22）（ 1+24）（ 1+28） （ 1+2n）， =（ 21）（ 1+2）（ 1+22）（ 1+24）（ 1+28） （ 1+2n）， =（ 221）（ 1+22）（ 1+24）（ 1+28） （ 1+2n
8、）， =（ 2n1）（ 1+2n）， =22n1， x+1=22n1+1=22n， 2n=128， n=64 故填 64 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式，关键是乘一个因式（ 21）然后就能依次利用平方差公式计算了 已知两个正方形的边长的和为 20cm，它们的面积的差为 40cm2，则这两个正方形的边长分别是 _ cm 答案：和 9 试题分析：根据两个正方形的边长的和为 20cm，假设其中一个边长为 x，表示出另一边为 20x，进而利用正方形面积求出 解： 两个正方形的边长的和为 20cm， 假设其中一边长为 x，另一边为 20x，且 x 20x， 它们的面积的差为 40cm2，
9、x2（ 20x） 2=40， （ x+20x）（ x20+x） =40， 20（ 2x20） =40， 20x20=2， x=11， 另一边边长为 9 则这两个正方形的边长分别是： 11和 9 故答案：为： 11和 9 考点：平方差公式 点评：此题主要考查了平方差公式的应用以及正方形的性质，根据题意表示出正方形边长是解决问题的关键 （ x2y+z）（ x+2yz） =（ x _ ）（ x+ _ ） 答案：（ 2yz） （ 2yz） 试题分析：本题考查了平方差公式的运算，整体思想的利用是利用公式的关键，可把式子中 2yz看作整体运算 解：根据平方差公式的运算，可把 2yz看作整体， 故原式（ x
10、2y+z）（ x+2yz） =x（ 2yz） x+（ 2yz） ， 故答案：为（ 2yz），（ 2yz） 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式，整体思想的利用是利用公式的关键，难度适中 （ xy）（ x+y）（ x2+y2）（ x4+y4）（ x8+y8） = _ 答案： x16y16 试题分析：根据平方差公式，依次计算即可求得答案： 解：（ xy）（ x+y）（ x2+y2）（ x4+y4）（ x8+y8）， =（ x2y2）（ x2+y2）（ x4+y4）（ x8+y8）， =（ x4y4）（ x4+y4）（ x8+y8）， =（ x8y8）（ x8+y8）， =x16y16 故答
11、案：为： x16y16 考点：平方差公式 点评：此题考查了平方差公式的应用注意平方差公式为：（ a+b）（ ab）=a2b2 计算： ，则 a= 答案： 试题分析：把等式右边逆运用平方差公式整理，然后根据对应项相等即可求解 解： x2 =（ x+ ）（ x ）， a= 故答案：为： 考点：平方差公式 点评：本题主要考查了平方差公式，逆运用平方差公式整理成两个的数和乘以这两个数的差的形式是解题的关键，要注意对应项不要找错 解答题 如图，边长为 a的大正方形内有一个边长为 b的小正方形 （ 1）阴影部分面积是 _ （ 2）小欣把阴影部分的两个四边形拼成如图所示的长方形，则这个长方形的宽是 _ 面积
12、是 _ （ 3）由此可验证出的结论是 _ 答案：（ 1） a2b2 （ 2） ab （ a+b）（ ab） （ 3）（ a+b）（ ab） =a2b2 试题分析 ：（ 1）边长为 a的正方形的面积减去边长为 b的正方形的面积即可； （ 2）根据图形求出长方形的长和宽，根据面积公式求出即可； （ 3）根据阴影部分的面积相等求出即可 解：（ 1）图中阴影部分的面积是： a2b2， 故答案：为： a2b2 （ 2）由图象可知：这个长方形的宽是： ab，长方形的面积是：（ a+b）（ ab）， 故答案：为： ab，（ a+b）（ ab） （ 3）根据阴影部分的面积相等， （ a+b）（ ab） =a2
13、b2， 故答案：为：（ a+b）（ ab） =a2b2 考点：平方差公式的几何背景 点评：本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是能根据面积公式求出各个部分的面积，题型较好，难度适中，是一道不错的题目，通过此题能培养学生的观察能力 （ 1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 _ （用式子表达） （ 2）运用你所得到的公式，计算（ a+2bc）（ a2bc） 答案：（ 1）（ a+b）（ ab） =a2b2 （ 2） a22ac+c24b2 试题分析：（ 1）首先利用平行四边形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到 答案： （ 2）利
14、用平方差公式就可简单的计算注意将 ac看作一个整体 解：（ 1）（ a+b）（ ab） =a2b2（ 2分）； 故答案：为：（ a+b）（ ab） =a2b2 （ 2）（ a+2bc）（ a2bc）， =（ ac） +2b（ ac） 2b， =（ ac） 2（ 2b） 2， =a22ac+c24b2（ 8分） 考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景 点评：本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键注意可以从第 2个图形得出平行四边形的高 大家已经知道，完全平方公式和平方差公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，例
15、如： 2x（ x+y）=2x2+2xy就可以用图的面积表示 （ 1）请写出图（ 2）所表示的代数恒等式： _ ； （ 2）请写出图（ 3）所表示的代数恒等式： _ ； （ 3）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（ x+y）（ x+3y） =x2+4xy+3y2 答案：（ 1） 2x2+3xy+y2 （ 2）（ x+2y）（ 2x+y） =2x2+5xy+2y2 （ 3）x2+4xy+3y2 试题分析：（ 1）图（ 2）中，大长方形边长为（ x+y），（ 2x+y），图形中包括了两个边长为 x的正方形，三个边长为 x、 y的长方形，一个边长为 y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （ 2）
16、图（ 3）中，大长方形边长为（ x+2y），（ 2x+y），图形中包括了两个边长为 x的正方形，五个边长为 x、 y的长方形，二个边长为 y的正方形，根据面积关系得出代数恒等式； （ 3）根据题意，画出边长为（ x+y），（ x+3y）的长方形，再将图形划分，利用面积关系说明等式 解：（ 1）由图（ 2）的面积关系可知，（ x+y）（ 2x+y） =2x2+3xy+y2； 故答案：为： 2x2+3xy+y2； （ 2）由图（ 3）的面积关系可知，（ x+2y）（ 2x+y） =2x2+5xy+2y2； 故答案：为：（ x+2y）（ 2x+y） =2x2+5xy+2y2； （ 3）以边长为（ x
17、+y），（ x+3y）画长方形，如图所示， 由图可知，（ x+y）（ x+3y） =x2+4xy+3y2 考点：平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景 点评：解：（ 1）由图（ 2）的面积关系可知，（ x+y）（ 2x+y） =2x2+3xy+y2； 故答案：为： 2x2+3xy+y2； （ 2）由图（ 3）的面积关系可知，（ x+2y）（ 2x+y） =2x2+5xy+2y2； 故答案：为：（ x+2y）（ 2x+y） =2x2+5xy+2y2； （ 3）以边长为（ x+y），（ x+3y）画长方形，如图所示， 由图可知，（ x+y）（ x+3y） =x2+4xy+3y2 “*”是规定
18、的一种运算法则： a*b=a2b 求 5*（ 1）的值； 若 3*x=2，求 x的值； 若（ 4） *x=2+x，求 x的值 答案： 26 7 7 试题分析：本题可根据提供的运算规则，将各问中的数依次代入求解即可 解：（ 1）根据题意可得原式 =52（ 1） =26； （ 2）由给出的运算法则可得原式 =32x=2， 解得 x=7； （ 3）根据题意可得原式 =（ 4） 2x=16x， 16x=2+x， 解得 x=7 考点：解一元一次方程；整式的混合运算 点评：本题考查了整数的运算以及解一元一次方程等知识，要注意套用给出的运算规则时 a， b代表的值是多少 利用图形来表示数量或数量关系，也可以
19、利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合我们刚学过的从面积到乘法公式就很好地体现了这一思想方法，你能利用数形结合的思想解决下列问题吗？ 如图，一个边长为 1的正方形，依次取正方形的 ，根据图示我们可以知道：第一次取走 后还剩 ，即 =1 ；前两次取走 + 后还剩 ，即+ =1 ；前三次取走 + + 后还剩 ，即 + + =1 ； 前 n次取走后，还剩 _ ，即 _ = _ 利用 上述计算： （ 1） = _ （ 2） = _ （ 3） 22223242526 22011+22012（本题写出解题过程） 答案： ， + + + =1 ； （ 1） 1 （ 2）
20、1 （ 3） 6 试题分析：（ 1）根据题意画出图形，依次取正方形面积的 ， ， 找出规律即可； （ 2）根据题意画出图形，依次取正方形面积的 ， ， 找出规律即可； （ 3）根据同底数幂的乘法进行计算即可 解： 第一次取走 后还剩 ，即 =1 ； 前两次取走 + 后还剩 ，即 + =1 ； 前三次取走 + + 后还剩 ，即 + + =1 ； 前 n次取走后，还剩 ，即 + + + =1 ； 故答案：为： ， + + + =1 ； （ 1）如图所示： 由图可知， + + + =1 故答案：为： 1 ； （ 2）如图是一个边长为 1的正方形，根据图示 由图可知， + + + =1 ， 故答案：为
21、： 1 ； （ 3） 22223242526 22011+22012 =222012（ 22010+22009+22008+2 1） +22012 =222012（ 122010） +22012 =222012+4+22012 =6 考点：整式的混合运算 点评：本题考查的是整式的加减，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键 利用平方差公式计算 99992 答案： 试题分析：把原式先减 1利用平方差公式计算，然后再加 1，计算即可 解： 99992=999921+1， =（ 9999+1） （ 99991） +1， =100009998+1， =99980001 考点：平方差公式 点
22、评：本题主要考查了平方差公式的使用能力，先减 1构造成公式结构是利用公式的关键，也是难点 求值：（ 2+1） （ 22+1） （ 24+1） （ 28+1） （ 216+1） 232 答案： -1 试题分析：在（ 2+1） （ 22+1） （ 24+1） （ 28+1） （ 216+1） 232前面添上（ 21），即 =（ 21） （ 2+1） （ 22+1） （ 24+1） （ 28+1） （ 216+1） 232，再利用平方差公式进行计算求解即可 解：（ 2+1） （ 22+1） （ 24+1） （ 28+1） （ 216+1） 232， =（ 21） （ 2+1） （ 22+1） （ 2
23、4+1） （ 28+1） （ 216+1） 232， =（ 2321） 232， =1 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式，构造出公式结构是解题的关键，难点在于添加因式（ 21） 计算 6（ 7+1）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1） +1的值 答案： 16 试题分析：在本题中可把 6看成是（ 71），再根据平方差公式一步步得出结果 解： 6（ 7+1）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1） +1， =（ 71）（ 7+1）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1） +1， =（ 721）（ 72+1）（ 74+1）（ 78+1） +1， =（ 741）（ 74+1）（
24、78+1） +1， =（ 781）（ 78+1） +1， =（ 7161） +1， =716 考点：平方差公式 点评：本题中把 6看成（ 71），再根据平方差公式一步步计算得出结果，难度适中 试判断 的值与 的大小关系，并证明你的结论 答案： 证明见 答案： 试题分析：由平方差公式，（ 1+ ）（ 1 ） =1 ，（ 1 ）（ 1+ ） =1，依此类推，从而得出结果 解：原式 =（ 1 ）（ 1+ ）（ 1+ ）（ 1+ ）（ 1+ ） =（ 1 ）（ 1+ ）（ 1+ ）（ 1+ ） =（ 1 ）（ 1+ ）（ 1+ ） =（ 1 ）（ 1+ ） =1 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方
25、差公式的反复应用，是基础知识要熟练掌握 已知 a+b=2，求代数式 a2b2+4b的值 答案： 试题分析：首先根据平方差公式将原式化为：（ a+b）（ ab） +4b，又由a+b=2，代入化简即可求得原式为 2a+2b，再提取公因式 2，即可求得结果 解： a+b=2， a2b2+4b=（ a+b）（ ab） +4b=2（ ab） +4b =2a2b+4b=2a+2b=2（ a+b） =4 考点：平方差公式 点评：此题考查了平方差公式的应用题目比较简单，注意整体思想的应用 计算：（ a2b+3c）（ a+2b3c） 答案： a24b2+12bc9c2 试题分析：首先将原式变为： a（ 2b3c
26、） a+（ 2b3c） ，然后利用平方差公式，即可得到 a2（ 2b3c） 2，继而求得答案： 解：（ a2b+3c）（ a+2b3c） =a（ 2b3c） a+（ 2b3c） =a2（ 2b3c） 2=a2（ 4b212bc+9c2） =a24b2+12bc9c2 考点：平方差公式；完全平方公式 点评：此题考查了平方差公式的应用此题难度适中，注意首先把原式变形为：a（ 2b3c） a+（ 2b3c） 是解此题的关键 利用平方差公式计算： 2009200720082 （ 1）一变：利用平方差公式计算： （ 2）二变：利用平方差公式计算： 答案：（ 1） -1 （ 2） 1 试题分析：（ 1）利
27、用平方差公式，将数据 20082006=（ 2007+1） （ 20071）进行分解为平方差公式形式，即可求出； （ 2）利用平方差公式，将数据 20082006=（ 2007+1） （ 20071）进行分解为平方差公式形式，即可求出； 解： 2009200720082 =（ 2008+1） （ 20081） 20082 =1 （ 1） = =2007； （ 2） = =1 考点：平方差公式 点评：此题主要考查了进行平方差公式运算的性质，利用平方差公式时两式必须其中两项相同，另两项互为相反数是解决问题的关键 简便计算： （ 1） 1234521234412346 （ 2） 3.76542+0.
28、46923.7654+0.23462 答案：（ 1） 1 （ 2） 16 试题分析：（ 1）原式第二项变形后，利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果； （ 2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果 解：（ 1）原式 =123452（ 123451） （ 12345+1） =123452（ 1234521）=123452123452+1=1； （ 2）原式 =3.76542+20.23463.7654+0.23462=（ 3.7654+0.2346） 2=42=16； 考点：平方差公式；完全平方公式 点评：此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键 200222
29、0012+2000219992+19982+2 212 答案： 试题分析：首先利用平方差公式分解各式，可得（ 2002+2001）（ 20022001）+（ 2000+1999）（ 20001999） + （ 2+1）（ 21），然后再求 1到 2002的和即可 解：原式 =（ 2002+2001）（ 20022001） +（ 2000+1999）（ 20001999） +（ 2+1）（ 21） =2002+2001+2000+1999+1998+2+1 = =2005003 考点：平方差公式 点评：此题考查了平方差公式分解因式的应用此题难度适中，注意观察、分析，得到规律是解此题的关键 你能求
30、（ x1）（ x99+x98+x97+x+1 ）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手先分别计算下列各式的值： （ x1）（ x+1）=x21； （ x1）（ x2+x+1） =x31； （ x1）（ x3+x2+x+1） =x41； 由此我们可以得到：（ x1）（ x99+x98+x97+x+1 ） = _ ； 请你利用上面的结论，完成下面的计算： 299+298+297+2+1 答案： x1001 21001 试题分析：根据所给式子从而总结出规律是（ x1）（ x99+x98+x97+x+1 ）=x1001 将 299+298+297+2+1 写成（ 21）（ 299
31、+298+297+2+1 ）的形式进行计算即可 解：由题意得：（ x1）（ x99+x98+x97+x+1 ） =x1001 根据以上分析 299+298+297+2+1= （ 21）（ 299+298+297+2+1 ） =21001 考点：平方差公式 点评：此题主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律，难度一般 观察下列各式： （ x1）（ x+1） =x21， （ x1）（ x2+x+1） =x31， （ x1）（ x3+x2+x+1） =x41， （ x1）（ x4+x3+x2+x+1） =x51， （
32、1）根据前面各式的规律可得：（ x1）（ xn+xn1+x 2+x+1） = _ （其中 n为正整数） （ 2）根据（ 1）求 1+2+22+23+2 62+263的值，并求出它的个位数字 答案：（ 1） xn+11 （ 2） 5 试题分析：（ 1）根据各式的规律即可用 n表示出结果； （ 2）将所求式子乘以 1，即 21，利用上述规律即可得到结果；再由 21=2，22=4， 23=8， 24=16， 25=32， ，个位数字分别为 2， 4， 8， 6循环，且644=16，即可得出结果的个位数字 解：（ 1）根据各式的规律可得：（ x1）（ xn+xn1+x 2+x+1） =xn+11； （
33、 2）根据各式的规律得： 1+2+22+23+2 62+263=（ 21）（ 263+262+2 3+22+2+1） =2641， 21=2， 22=4， 23=8， 24=16， 25=32， ，且 644=16， 264个位上数字为 6， 则 1+2+22+23+2 62+263的个位数字为 5 故答案：为：（ 1） xn+11（ 2） 5 考点：平方差公式 点评：此题考查了平方差公式的应用，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键 已知： a2b2=（ ab）（ a+b）； a3b3=（ ab）（ a2+ab+b2）； a4b4=（ ab）（ a3+a2b+ab2+b3）；按此规律，则： （ 1） a5b5=（ ab）（ _ ）； （ 2）若 a =2，你能根据上述规律求出代数式 a3 的值吗？ 答案： 试题分析：（ 1）根据题意，按同一个字母的降幂排列直至不含这个字母为止； （ 2）根据规律，先把代数式 a3 分解因式，再代入计算即可 解：（ 1） a4+a3b+a2b2+ab3+b4； （ 2） a3 =（ a ）（ a2+1+ ）， =（ a ）（ a22+ +3）， =（ a ） （ a ） 2+3， =2（ 4+3）， =27， =14 考点：平方差公式 点评：本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键
