1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -相似多边形的性质（带解析） 选择题 如图，在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点 O 在坐标原点，边 OA在 x轴上， OC在 y轴上，如果矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似，且矩形OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，那么点 B的坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ 2， 3） C（ 3， 2）或（ 2， 3） D（ 2， 3）或（ 2， 3） 答案： D 试题分析：由矩形 OABC与矩形 OABC关于点 O 位似，且矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形 OABC与矩
2、形 OABC 的位似比为 1： 2，又由点 B的坐标为（ 4，6），即可求得答案： 解： 矩形 OABC与矩形 OABC 关于点 O 位似， 矩形 OABC 矩形 OABC， 矩形 OABC的面积等于矩形 OABC 面积的 ， 位似比为： 1： 2， 点 B的坐标为（ 4， 6）， 点 B的坐标是：（ 2， 3）或（ 2， 3） 故选 D 考点：相似多边形的性质；坐标与图形性质 点评：此题考查了位似图形的性质此题难度不大，注意位似图形 是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用 如图所示，长为 8cm，宽为 6cm的矩形中，截去一个矩形（图中
3、阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ） A 28cm2 B 27cm2 C 21cm2 D 20cm 答案： B 试题分析：根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得 解：依题意，在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE， 则矩形 ABDC 矩形 FDCE， 则 设 DF=xcm，得到： 解得： x=4.5， 则剩下的矩形面积是： 4.56=27cm2 考点：相似多边形的性质 点评：本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键 将一个矩形纸片 ABCD沿 AD和 BC 的中点的连线对折，要使矩形 AEFB与原矩形相似，则原矩形
4、的长和宽的比应为（ ） A 2： 1 B ： 1 C ： 1 D 1： 1 答案： C 试题分析：设矩形 ABCD的长 AD=x，宽 AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得 解：设矩形 ABCD的长 AD=x，宽 AB=y，则 DM= AD= x 又矩形 DMNC与矩形 ABCD相似 = ，即 = 即 y2= x2 x： y= ： 1 故选 C 考点：相似多边形的性质 点评：本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，注意分清对应边是解决本题的关键 两个五边形相似，一组对应边长分别为 3cm和 4.5cm；若它们的面积和是78cm2，则较大五边形的面积为（ ） A 42cm2 B 52
5、cm2 C 54cm2 D 56cm2 答案： C 试题分析：根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方即可解决 解： 一组对应边长分别为 3cm和 4.5cm， 五边形的相似比为 即 ； 面积之比等于相似比的平方， 面积比为 = 则较大五边形的面积为 78 =54cm2故选 C 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方 填空题 如图，在梯形 ABCD中， AD BC，点 E、 F、 G、 H是两腰上的点，AE=EF=FB， CG=GH=HD，且四边形 EFGH的面积为 6cm2，则
6、梯形 ABCD的面积为 cm2 答案： 试题分析：根据平行线分线段成比例定理可以 得出 EH= ， FG= ，进而利用梯形的面积公式得出梯形 ABCD的面积 解： 在梯形 ABCD中， AD BC，点 E、 F、 G、 H是两腰上的点，AE=EF=FB， CG=GH=HD， 2EH=AD+FG， 2FG=EH+BC， EH= ， FG= ， 四边形 EFGH的面积为 6cm2， （ EH+FG） h=6， 四边形 ADEH的面积和四边形 FBCG的面积和为： （ EH+AD） h+ （ BC+FG） h=12， 则梯形 ABCD的面积为： 18 故答案：为： 18 考点：相似多边形的性质 点评
7、：此题主要考查了相似多边形的性质，根据已知得出 EH= ， FG=，是解决问题的关键 相似多边形对应边之比叫做 ，两个相似多边形的最长边分别为 10cm和20cm，其中一个多边形的最短边为 5cm，则另一个多边形的最短边为 答案：相似比 2.5cm或 10cm 试题分析：根据相似多边形的对应边对应成比例，列式求解注意 “其中一个多边形的最短边为 5cm”，不确定是较大的多边形的短边，还是较小的多边形的短边，分别考虑 解：相似多边形对应边之比叫做相似比， 设最短边为 x，由题意得， 10： 20=5： x，或 10： 20=x： 5， x=10或 2.5 故答案：为：相似比， 2.5cm或 10
8、cm 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边对应成比例 如果两个相似多边形的周长之比为 ，那么它们的面积之比为 答案： 9 试题分析：根据相似多边形的周长的比等于相似比，先求出两多边形的相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答 解： 两个相似多边形的周长之比为 ， 它们的相似比 k= ， 它们的面积之比为 k2=（ ） 2， 即 2： 9 故答案：为： 2： 9 考点：相似多边形的性质 点评：本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键 在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（ 1，0），点 D的
9、坐标为（ 0， 2）延长 CB交 x轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1交 x轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1 按这样的规律进行下去，第 2011个正方形的面积为 答案：（ ） 4020 试题分析：先利用 ASA证明 AOD和 A1BA相似，根据相似三角形对应边成比例可以得到 AB=2A1B，所以正方形 A1B1C1C的边长等于正方形 ABCD边长的，以此类推，后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 ，然后即可求出第 2011个正方形的边长与第 1个正方形的边长的关系，从而求出第 2011个正方形的面积 解：如图， 四边形 ABCD是正方形， ABC= BAD=90
10、， AB=BC， ABA1=90， DAO+ BAA1=18090=90， 又 AOD=90， ADO+ DAO=90， ADO= BAA1， 在 AOD和 A1BA中， ， AOD A1BA， = =2， BC=2A1B， A1C= BC， 以此类推 A2C1= A1C， A3C2= A2C1， 即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的 倍， 第 2011个正方形的边长为（ ） 2010BC， A的坐标为（ 1， 0）， D点坐标为（ 0， 2）， BC=AD= = ， 第 2011个正方形的面积为 （ ） 2010BC2=5（ ） 4020 故答案：为： 5（ ） 4020 考点：相似多
11、边形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质 点评：本题主要考查了相似三角形的性质与正方形的性质，根据规律推出第2011个正方形的边长与第 1个正方形的边长的关系是解题的关键，也是难点，本题综合性较强 如图，将平行四边形 AEFG变换到平行四边形 ABCD，其中 E， G分别是AB， AD的中点，下列叙述正确的有 （填序号，多选不给分，少选可以酌情给分） 这种变换是相似变换； 对应边扩大到原来的 2倍； 各对应角扩大到原来的 2倍； 周长扩大到原来的 2倍； 面积扩大到原来的 4倍 答案： 试题分析：根据相似多边形的性质，平行四边形的性质对各小题分析判断利用排除法求解 解：
12、 这种变换是相似变换，正确； E， G分别是 AB， AD的中点， 对应边扩大到原来的 2倍，正确； 各对应角大小不变，故本小题错误； 根据相似多边形周长的比等于相似比，周长扩大到原来的 2倍，正确； 根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，面积扩大到原来的 4 倍，正确； 综上所述，叙述正确的有 故答案：为： 考点：相似多边形的性质；平行四边形的性质 点评：本题考查了相似多边形的性质，平行四边形的性质，熟记性质是解题的关键 如图，在周长为 9cm的四边形 ABCD中， AC BD于点 O，且AC=BD=3cm，顺次连接 OA、 OB、 OC、 OD的中点得四边形 A1B1C1D1，顺次连接
13、OA1、 OB1、 OC1、 OD1的中点得四边形 A2B2C2D2，依此作下去 ，得四边形 AnBnCnDn，则 AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm2（用含 n的代数式表示） 答案： 试题分析：根据题意可知，每次得到的四边形的各边的长都是上一个四边形各边长的 ，因此第 n 个四边形 AnBnCnDn 和四边形 ABCD 的相似比应该是 ： 1，然后根据相似多边形的性质求解即可 解：由于 A1、 B1、 C1、 D1分别是 OA、 OB、 OC、 OD的中点， 因此 A1B1= AB， B1C1= BC， C1D1= CD， A1D1= AD， 易证得四边形 A1B1C1D1 四边形
14、 ABCD，且相似比为 1： 2，即 ： 1； 同理可证得四边形 AnBnCnDn与四边形 ABCD 的相似比为： ： 1，则面积比为： 1； 四边形 ABCD的周长为 9cm，面积为 ACBD= cm2， 四边形 AnBnCnDn的周长为 cm，面积为 cm2 考点：相似多边形的性质；三角形中位线定理 点评：此题主要考查的是三角形中位线定理和相似多边形的性质，相似多边形的性质与相似三角形的性质类似，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方 如果两个相似多边形的最长边分别为 35cm和 14cm，那么最短边分别为5cm和 cm 答案： 试题分析：利用相似多边形的对应
15、边比相等即可得 解：两个相似多边形的最长边分别为 35cm和 14cm， 则两个多边形的相似比是 35： 14， 设第二个多边形最短边长是 xcm， 则 35： 14=5： x，解得 x=2cm， 最短边分别为 5cm和 2cm 考点 ：相似多边形的性质 点评：本题主要考查了相似多边形的性质，对应边的比相等 在四边形 ABCD与 ABCD中， A= A， B= B， C= C， D= D，且 = ，则四边形 ABCD 四边形 ABCD ，且四边形 ABCD与 ABCD的相似比是 ，四边形 ABCD与 ABCD的面积比是 答案： 试题分析：分别根据相似多边形的定义及性质分别解答 解： 四边形 A
16、BCD与 ABCD的对应角相等，对应边成比例， 四边形 ABCD 四边形 ABCD相似； 两四边形对应边的比是 ， 四边形 ABCD与 ABCD的相似比是 ； 四边形 ABCD与 ABCD的面积比是（ ） 2= 故答案：为： ABCD、 ABCD、 ， 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查的是相似多边形的性质定义及性质，解答此题的关键是熟知以下知识： （ 1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形； （ 2）相似多边形对应边的比叫做相似比； （ 3）相似多边形面积的比等于相似比的平方 两个相似多边形面积之比为 4： 9，周长只差为 4则这两个相似多边形的周长分
17、别是 答案：， 8 试题分析：由两个相似多边形面积之比为 4： 9，即可求得这两个相似多边形的周长比为 2： 3，又由周长差为 4，即可求得答案： 解： 两个相似多边形面积之比为 4： 9， 这两个相似多边形的相似比为 2： 3， 这两个相似多边形的周长比为 2： 3， 设这两个相似多边形的周长分别是 2x， 3x， 周长差为 4， 3x2x=4， 解得： x=4， 这两个相似多边形的周长分别是： 12， 8 故答案：为： 12， 8 考点：相似多边形的性质 点评：此题考查了相似多边形的性质 此题难度不大，注意掌握方程思想的应用 如图，依次连接一个边长为 1的正方形各边的中点，得到第二个正方形
18、，再依次连接第二个正方形各边的中点，得到第三个正方形，按此方法继续下去，则第 n个正方形的面积是 答案： 试题分析：观察可得，后一个正方形的对角线是前一个正方形的边长，根据正方形的面积等于边长的平方，也可以利用对角线乘积的一半求解，所以后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半，依此类推即可求解 解：第 1个正方形的边长是 1，所以面积是 1， 第 2个正方形的对角线是第一个正方形的边长，是 1，所以面 积是 11= ， 第 3个正方形的对角线是第 2个正方形的边长，所以面积是 = ， 依此类推，后一个正方形的面积是前一个正方形的面积的一半， 第 n个正方形的面积是 故答案：为： 考点：相
19、似多边形的性质；三角形中位线定理；正方形的性质 点评：本题是对图形变化规律的考查，根据正方形的面积等于边长的平方，或者是对角线乘积的一半得出后一个正方形的面积等于前一个正方形的面积的一半是解题的关键，也是解答本题的难点 如图，如果以正方形 ABCD的对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF，再以对角线 AE为边作第三个正方形 AEGH，如此下去 ，已知正方形 ABCD的面积 S1为 1，按上述方法所作的正方形的面积依次为 s2， s3， ， sn（ n为正整数），那么第 9个正方形的面积 S9= 答案： 试题分析：根据正方形的性质可知，当面积为 1 时，边长为 1，对角线长为 ，以 为边的对
20、角线长为 2，依次可推出第 4个正方形边长 2 ，第 5个边长为4，第 6个边长为 4 ，第 7边长个为 8，第 8边长个为 8 ，知道边长可求出面积 解：以正方形的对角线为边长就是在原来边长的基础上都乘以 就是下一个正方形的边长 因为第一个边长为 1，所以 第 9个正方形的边长为 16， S9=1616=256 故答案：为： 256 考点：相似多边形的性质；正方形的性质 点评：本题考查的是相似多边形的性质及正方形的性质，要求学生能够根据勾股定理得到前后正方形的边长之间的关系，进一步得到面积之间的关系，从而找到规律 甲、乙两农户各有两块土地（如图所示），今年这两个农户决定共同投资开发一个新的项
21、目，需要将这四块土地换成一块土地，而这块地的宽为 a+c 米，为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同，交换后的土地的长应该是 米 答案： a+b 试题分析：由图可得四块土地的面积为 a2+bc+ac+ab，此式可分解因式为（ a+b）（ a+c），据此可得解 解：由题意得，四块土地的面积为 a2+bc+ac+ab， 所换的土地的面积 =a2+bc+ac+ab=a（ a+b） +c（ a+b） =（ a+b）（ a+c）， 这块地的宽为 a+c米， 这块地的长为 a+b 故答案：为： a+b 考点：相似多边形的性质 点评：此题主要考查分解因式的应用，读懂题意，列出代数式是关键 已知一个五边形的
22、各边长顺次为 1， 3， 5， 7， 9，与其相似的另一个五边形的周长为 75，这个五边形的最大边长为 答案： 试题分析：相似多边形的周长比等于相似比，据此求解 解： 以 1， 3， 5， 7， 9为边长的五边形的周长为 1+3+5+7+9=25， 这两个五边形的相似比为： 25： 75=1： 3， 这个五边形的最大边长为 93=27 故答案：为： 27 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形 ABCD沿 EF 对开后，再把矩形 EFCD沿 MN 对开，依此类推，若各种开本的矩形都相
23、 似，那么 等于 答案： 试题分析：根据矩形 ABCD的面积是矩形 ABFE面积的 2倍，得出相似图形面积比是相似比的平方，进而得出 的值 解： 矩形 ABCD的面积是矩形 ABFE面积的 2倍， 各种开本的矩形都相似， （ ） 2= ， = 故答案：为： 考点：相似多边形的性质 点评：此题主要考查了多边形的相似的性质，得出相似图形面积比是相似比的平方是解决问题的关键 在 13的矩形内不重叠地放两个与大矩形相似的小矩形，且每个小矩形的每条边与大矩形的一条边平行 （ ）如图 放置时，两个小矩形周长和（两个小矩形重叠的边要重复计算）为 （ ）怎样放置才能使两个小矩形周长和最大？在图 中画出图形，其
24、最大值为 答案： 试题分析：（ ）根据相似多边形对应边成比例列式求出小矩形的宽，然后根据周长公式进行计算即可得解； （ ）根据放置方式的不同，分 两个小矩形都 “竖放 ”时，与（ ）相同， 两个小矩形都 “横放 ”，再分都横向放置，一上一下放置两种情况，先表示出一个矩形的长与宽，再根据大矩形是 13的规格表示出另一个矩形的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式整理，即 可得解； 两个小矩形一个 “横放 ”，一个“竖放 ”，先表示出一个矩形的长与宽，再表示出另一个矩形的长与宽，然后根据矩形的周长公式列式整理，然后根据大矩形是 13 的规格求出 a 的取值范围，再根据一次函数的增减性解答 解：（ ）设
25、小矩形的宽为 x， 小矩形与大矩形相似， = ， 解得 x= ， 所以，两个小矩形周长和 =22（ 1+ ） = ； （ ） 两个矩形的放置方式情况有如下几种： 两个小矩形都 “竖放 ”，在这种放法下，周长和最大的两个小矩形边长分别为1和 ，周长和的最大值为 ； 两个小矩形都 “横放 ”， 这时两个小矩形的周长和的最大值为： 2（ a+3a） +21a+3（ 1a） =8a+2（ 1a+33a） =8a+88a=8； 两个小矩形一个 “横放 ”，一个 “竖放 ”，这时两个小矩形的周长和为： 2（ a+3a） +2（ 3a+ ） =8a+62a+2 a=8+ ， 因为 0 3a1，即 0 a ，
26、 故当 a= 时，此时两个小矩形的周长和最大为 8+ = 故答案：为： ； 考点：相似多边形的性质；矩形的性质 点评：本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，（ 2）要根据放置方式的不同进行讨论求解 巡警小王在犯罪现场发现一只脚印，他把随身携带的一张百元钞票放在脚印旁进行拍照，照片送到刑事科，他们测得照片中的脚印和钞票的长度分别为5cm和 3.1cm，一张百元钞票的实际长度大约为 15.5cm，请问脚印的实际长度为 cm 答案： 试题分析：根据题意可知： ，所以设脚印的实际长度为 xcm，列方程求解即可 解：设脚印的实际长度为 xcm， 根据题意得： ，
27、 解得： x=25 脚印 的实际长度为 25cm 故答案：为： 25 考点：相似多边形的性质 点评：此题考查了相似多边形的性质注意抓住是解此题的关键 解答题 如图所示，四边形 ABCD 四边形 ABCD，求未知边 x的长度和 的大小 答案： x=18 =90 试题分析：由相似多边形的性质可得， AD： AB=AD： AB， C= C，根据图中表明的数字求解即可 解：由题意得： ， x=18， C=360（ 63+129+78） =90，四边形 ABCD 四边形 ABCD， C= C=90， 即 =90 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例
28、 如图，把矩形 ABCD对折，折痕为 MN，矩形 DMNC与矩形 ABCD相似，已知 ，求 AB的长 答案： 试题分析：先根据 求出 MD的长，再根据矩形 DMNC与矩形 ABCD相似得出矩形对应边的比例式，求出 AB的长即可 解： AD= ， MD=NC= ， 矩形 DMNC与矩形 ABCD相似， = ，即 = ， AB=1 考点：相似多边形的性质 点评：本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例 如图：矩形 ABCD的长 AB=30，宽 BC=20 （ 1）如图（ 1）若沿矩形 ABCD四周有宽为 1的环形区域，图中所形成的两个矩形 ABCD与 ABCD相似吗？请说明理由；
29、（ 2）如图（ 2）， x为多少时，图中的两个矩形 ABCD与 ABCD相似？ 答案：（ 1）不相似，理由见 （ 2） 1.5或 9 试题分析：（ 1）要说明相似只要说明对应边的比相等，对应角相等； （ 2）如果两个矩形 ABCD与 ABCD相似，对应边的比相等就可以求出 x的值 解：（ 1）不相似， AB=30， AB=28， BC=20， BC=18， 而 ；（ 4分） （ 2）矩形 ABCD与 ABCD相似，则 = ， 则： = ， 解得 x=1.5，（ 7分） 或 = ， 解得 x=9（ 10分） 考点：相似多边形的性质 点评：本题主要考查了相似多边形的判定，对应边的比相等，对应角的比
30、相等，两个条件必须同时成立 八年级数学学习合作小组在学过图形的相似这一章后，发现可将相似三角形的定义、判定以及性质拓展到矩形、菱形的相似中去如：我们可以定义： “长和宽之比相等的矩形是相似矩形 ”相似矩形也有以下的性质：相似矩形的对角线之比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方等等请你参与这个学习小组，一同探索这类问题： （ 1）写出判定菱形相似的一种判定方法：若有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例），则这两个菱形相似； （ 2）如图，将菱形 ABCD沿着直线 AC 向右平移后得到菱形 ABCD，试证明：四边形 AFCE是菱形，且菱形 ABCD 菱形 AFCE； （ 3）若
31、AC= ，菱形 AFCE的面积是菱形 ABCD面积的一半，求平移的距离AA的长 答案： 试题分析：相似多边形的面积的比等于相似比的平方，因而已知面积的比，就可以求出边长的比，求出 AC的长就可以解决 解：（ 1）有一组角对应相等（或两组对角线对应成比例）；（ 3分） （ 2）利用 AD AE， AB AF，得 DAB= DAB 再利用（ 1）的结论，得到证明；（ 6分） （ 3） 菱形 ABCD 菱形 AFCE，菱形 AFCE的面积是菱形 ABCD面积的 一半， 菱形 ABCD与菱形 AFCE的面积比为 2： 1， 对应边之比为 ： 1，即 AC： AC= ： 1，（ 7分） AC= ， AC=1，（ 9分） AA= 1（ 10分） 考点：相似多边形的性质；平移的性质 点评：
