1、2013年初中数学单元提优测试卷与答案 -相似的判定填空题（带解析） 填空题 如图， E是 ABCD 的边 CD上一点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，且 AD=4， = ，则 CF的长为 答案： 试题分析： 四边形 ABCD是平行四边形， BC=AD=4， AB CD， FEC FAB， = = ， = ， CF= BC= 4=2 故答案：为： 2 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用 如图， Rt ABC中， ACD=90，直线 EF BD，交 AB于点 E，交 AC
2、 于点 G，交 AD于点 F若 S AEG= S 四边形 EBCG，则 = 答案： 试题分析： EF BD AEG= ABC， AGE= ACB， AEG ABC，且 S AEG= S 四边形 EBCG S AEG： S ABC=1： 4， AG： AC=1： 2， 又 EF BD AGF= ACD， AFG= ADC， AGF ACD，且相似比为 1： 2， S AFG： S ACD=1： 4， S AFG= S 四边形 FDCG S AFG= S ADC AF： AD=GF： CD=AG： AC=1： 2 ACD=90 AF=CF=DF CF： AD=1： 2 考点：相似三角形的判定与性质
3、 点评：本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积的比等于相似比的平方 如图，在正方形 ABCD中， E为 AB边的中点， G、 F分别为 AD、 BC 边上的点若 AG=1， BF=2， GEF=90，则 GF 的长为 答案： 试题分析： 四边 形 ABCD是正方形， A= B=90， AGE+ AEG=90， BFE+ FEB=90， GEF=90， GEA+ FEB=90， AGE= FEB， AEG= EFB AEG BFE， 从而推出对应边成比例： ， 又 AE=BE， AE2=AG BF=2， 推出 AE= （舍负）， GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+
4、2+2+4=9， GF 的长为 3 故答案：为： 3 考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质 点评：此题考查相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解易错点：如果学生没有发现相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对 如图，已知 AB BD， ED BD， C是线段 BD的中点，且 AC CE， ED=1，BD=4，那么 AB= 答案： 试题分析： AB BD， ED BD B= D=90， A+ ACB=90 AC CE，即 ECD+ ACB=90 A= ECD ABC CDE AB=4 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题主要考查相似三角形的判 定、相似三角形的性质等知
5、识 如图， D、 E分别是 ABC的边 AB， AC 上的点， DE BC， =2，则S ADE： S ABC= 答案： :9 试题分析： DE BC， ADE ABC， AD： DB=2： 1， AD： AB=2： 3 S ADE： S ABC=4： 9 考点：平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质 点评：本题是考查比例性质和相似三角形面积比等于相似比的平方 在 Rt ABC中， C为直角， CD AB于点 D BC=3， AB=5，写出其中的一对相似三角形是 和 ；并写出它的面积比 答案： CAD； 9： 16 试题分析： C=90， CD AB CDB ADC BC： AC=3： 4
6、 面积比为 9： 16 （答案：不唯一，也可以填： CDB ACB，面积比为 9： 25； ACD ABC，面积比为 16： 25） 考点：相似三角形的判定与性质 点评：此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方；找准相似三角形的对应边是解题的关键 如图所示是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿 BC 方向平移得到 DEF如果 AB=8cm， BE=4cm， DH=3cm，则图中阴影部分面积为 cm2 答案： 试题分析：由平移的性质知， DE=AB=8， CF=BE=4， DEC= B=90 EH=DEDH=5cm HC DF ECH EFD = = = ， 又
7、 BE=CF， EC= ， EF=EC+CF= ， S 阴影 =S EFDS ECH= DE EF EC EH=26cm2 考点：相似三角形的判定与性质；平移的性质 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形的面积公式和平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 如图，已知 Rt ABC中， C=90， AC=4cm， BC=3cm，现将 ABC进行折叠，使顶点 A、 B重合，则折痕 DE= cm 答案： .875 试题分析：在直角 ABC中 AB= = =5cm则AE=AB2=2.5cm 设 DE=x，易得 ADE
8、 ABC， 故有 = ； = ； 解可得 x=1.875 故答案：为： 1.875 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质 点评：本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系 如图，把 PQR沿着 PQ的方向平移到 PQR的位置，它们重叠部分的面积是 PQR面积的一半，若 PQ= ，则此三角形移动的距离PP= 答案： 试题分析：由平移的性质知， PQ=PQ= ， RQ RQ， PQH PQR S PQH： SPQR=PQ2： PQ2=1： 2， PQ=1， PP= 故答案：为 考点：相似三角形
9、的判定与性质；平移的性质 点评：本题利用了平移的性质： 平移不改变图形的形状和大小； 经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等 如图，在 ABC中， D、 E分别是 AB和 AC 的中点， F是 BC 延长线上一点， DF 平分 CE于点 G， CF=1，则 BC= ， ADE与 ABC的周长之比为 ， CFG与 BFD的面积之比为 答案：； 1:2； 1:6 试题分析： D、 E分别是 AB和 AC 的中点 DE BC， DE= BC ADE ABC， GED GCF DE=CF=1 CF= BC， ADE与 ABC的周长之比为 DE： BC=1： 2； ADE与
10、 ABC的面积之比为 1： 4； ADE与四边形 DECB的面积之比为 1： 3； ADE与 DEG的面积之比为 2： 1； CFG与 BFD的面积之比为 1： 6 考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，要注意三角形面积比的求解方法， 相似三角形的面积比是相似比的平方； 若三角形的高相等 ，则面积比是两个三角形的底边比 如图，在 ABC中， D为 AC 边上的中点， AE BC， ED交 AB于 G，交BC 延长线于 F若 BG： GA=3： 1， BC=10，则 AE的长为 _ 答案： 试题分析： AE BC AEG BFG BG： GA=3
11、： 1=BF： AE D为 AC 边上的中点 AE： CF=1： 1 AE=CF BF： AE=（ CF+BC）： AE=3： 1 （ AE+10）： AE=3： 1 解得： AE=5 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题主要利用三角形的相似及中点的性质求 AE的值 如图（ 1），用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图（ 2）所示的四边形 ABCD、若 AE=4， CE=3BE，那么这个四边形的面积是 _ 答案： 试题分析： 形状相同、大小不等的三块直角三角形木板， ABE ECD DEA， B= C= AED=90， BE： CD=AB： EC， 四边形 ABCD为矩形
12、 AB=CD， AB2=BE EC， CE=3BE， AB= BE， AE=4， BE=2， AB=2 ， BC=BE+CE=4BE=8， 这个四边形的面积是 S=ABBC=2 8=16 故填： 16 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理 点评：此题考查了直角三角形的性质和相似三角形的性质，同时也考查了勾股定理，解题时要注意认识图形 如图，已知 AB=1， AB=2， AB AB， BC BC，则 S ABC：S ABC= 答案： :4 试题分析： AB AB， BC BC， AB： AB=OB： OB=BC： BC， ABC= ABC， ABC ABC， AB=1， AB=2， 相似比为
13、1： 2， 相似三角形的面积的比等于相似比的平方， S ABC： SABC=1： 4 故填空答案： 1： 4 考点：相似三角形的判定与性质 点评：此题主要考查相似三角形的面积的比等于相似比的平方这条性质 在矩形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点 O，过点 O 作 OE BC，垂足为 E，连接 DE交 AC 于点 P，过 P作 PF BC，垂足为 F，则 的值是 _ 答案： 试题分析： OB=OD= BD， OE BC， CD BC， OBE DBC， OE： CD=1： 2， OE CD， OEP CDP， ， PF DC， EPF EDC， ， CE= BC， = 故答案：为 考点：
14、相似三角形的判定与性质；矩形的性质 点评：本题考查对相似三角形性质的理解相似三角形对应边的比相等 如图， ABC与 AEF中， AB=AE， BC=EF， B= E， AB交 EF 于D给出下列结论： AFC= C； DE=CF； ADE FDB； BFD= CAF 其中正确的结论是 答案： 试题分析：在 ABC与 AEF中 AB=AE， BC=EF， B= E AEF ABC，所以 AF=AC，则 AFC= C； 由 B= E， ADE= FDB，可知： ADE FDB； 由于 EAF= BAC，所以 EAD= CAF， 由 ADE FDB可得 EAD= BFD， 所以 BFD= CAF 综
15、上可知： 正确 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 点评：本题是一道基础题，但考查的知识点较多，需要根据条件仔细观察图形，认真解答 如图，已知平行四边形 ABCD， E是 BD上的点， BE： ED=1： 2， F、 G分别是 BC、 CD上的点， EF CD， EG BC，若 S 平行四边形 ABCD=1，则 S 平行四边形EFCG= 答案： 试题分析： 四边形 ABCD是平行四边形， BD为对角线， ABD CDB， S ABD=S CBD= S 平行四边形 ABCD= 1= ， EF DC， BFE BCD， BE： ED=1： 2， BE： BD=1： 3， S BE
16、F： S BCD=1： 9， S BEF= = ， 同理可得： S DEG= = ， S 平行四边形 EFCG= = 故答案：为： 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 点评：本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定以及相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方 如图，矩形 ABCD 中， AB=2， AD=4， AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，则 EF= 答案： 试题分析： 过 D作 DK 平行 EF 交 CF于 K， 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC， ABC= DCB=90， AD=BC=4， AB=CD=2， AD BC， EF
17、DK， DEFK 为平行四边形， EF=DK， EF AC， DK AC， DPC=90， DCB=90， CDK+ DCP=90， DCP+ ACB=90， CDK= ACB， DCK= ABC=90， CDK BCA， = ， 即 = ， CK=1， 根据勾股定理得： EF=DK= ， 故答案：为： 考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出 EO 长，用的数学思想是方程思想 在 ABC 中， P 是 AB上的动点（ P 异于 A、 B），过点 P 的直线截 A
18、BC，使截得的三角形与 ABC相似，我们不妨称这种直线为过点 P的 ABC的相似线，简记为 P（ lx）（ x为自然数） （ 1）如图 ， A=90， B= C，当 BP=2PA时， P（ l1）、 P（ l2）都是过点P的 ABC的相似线（其中 l1 BC， l2 AC），此外，还有 条； （ 2）如图 ， C=90， B=30，当 = 时， P（ lx）截得的三角形面积为 ABC面积的 答案：（ 1） 1； （ 2） 或 或 试题分析：（ 1）存在另外 1 条相似线 如 图 1所示，过点 P作 l3 BC 交 AC 于 Q，则 APQ ABC； 故答案：为： 1； （ 2）设 P（ lx）
19、截得的三角形面积为 S， S= S ABC，则相似比为 1： 2 如图 2所示，共有 4条相似线： 第 1条 l1，此时 P为斜边 AB中点， l1 AC， = ； 第 2条 l2，此时 P为斜边 AB中点， l2 BC， = ； 第 3条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 = ， = = ； 第 4条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且 = ， = = ， = 故答案：为： 或 或 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题引入 “相似线 ”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏 如图， n个边长为 1的相邻正方形的一边均在同
20、一直线上，点 M1， M2，M3， M n分别为边 B1B2， B2B3， B3B4， ， BnBn+1的中点， B1C1M1的面积为S1， B2C2M2的面积为 S2， BnCnMn的面积为 Sn，则 Sn= （用含 n的式子表示） 答案： 试题分析： n个边长为 1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点 M1， M2，M3， M n分别为边 B1B2， B2B3， B3B4， ， BnBn+1的中点， S1= B 1C1B 1M1= 1 = ， S B1C1M2= B 1C1B 1M2= 1 = ， S B1C1M3= B 1C1B 1M3= 1 = ， S B1C1M4= B 1C1B 1
21、M4= 1 = ， S B1C1Mn= B 1C1B 1Mn= 1 = ， BnCn B1C1， BnCnMn B1C1Mn， S BnCnMn： S B1C1Mn=（ ） 2=（ ） 2， 即 Sn： = ， Sn= 故答案：为： 考点：相似三角形的判定与性质 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键 如图，在平面直角坐标系中，点 A在 x轴上， ABO 是直角三角形， ABO=90，点 B的坐标为（ 1， 2），将 ABO 绕原点 O 顺时针旋转 90得到 A1B1O，则过
22、A1， B两点的直线式为 答案： y=3x+5 试题分析：如图，过点 B作 BC x轴于点 C， 点 B的坐标为（ 1， 2）， OC=1， BC=2， ABO=90， BAC+ AOB=90， 又 BAC+ ABC=90， AOB= ABC， Rt ABC Rt BOC， = ， 即 = ， 解得 AC=4， OA=OC+AC=1+4=5， 点 A（ 5， 0）， 根据旋转变换的性质，点 A1（ 0， 5）， 设过 A1， B两点的直线式为 y=kx+b， 则 ， 解得 所以过 A1， B两点的直线式为 y=3x+5 故答案：为： y=3x+5 考点：待定系数法求一次函数式；坐标与图形变化
23、-旋转；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查了待定系数法求一次函数式，旋转变换的性质，作辅助线构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出 AC 的长度，然后得到点 A的坐标是解题的关键 如图，小红作出了边长为 1的第 1个正三角形 A1B1C1，算出了正 A1B1C1的面积，然后分别取 A1B1C1三边的中点 A2B2C2，作出了第二个正三角形 A2B2C2，算出第 2个正 A2B2C2的面积，用同样的方法作出了第 3个正 A3B3C3，算出第 3个正 A3B3C3的面积，依此方法作下去，由此可得第 n次作出的正 AnBnCn的面积是 答案 ： 试题分析：过 A1作 A1D B1C1于
24、 D， 等边三角形 A1B1C1， B1D= ， 由勾股定理得： A1D= ， A1B1C1的面积是 1 = ， C2、 B2、 A2分别是 A1B1、 A1C1、 B1C1的中点， B2C2= B1C1， A2B2= A1B1， A2C2= A1C1， 即 = = = ， A2B2C2 A1B1C1，且面积比是 1： 4， = 同理 A3B3C3 A2B2C2，且面积比是 1： 4， = = = = 故答案：为： 考点：三角形中位线定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形，三角形的中位线的应用，解此题的关键是根据求出结果得出规律 =
25、，题目比较典型，但有一定的难度 在直角坐标系中，正方形 A1B1C1O1、 A2B2C2C1、 、 AnBnCnCn1按如图所示的方式放置，其中点 A1、 A2、 A3、 、 An均在一次函数 y=kx+b的图象上，点C1、 C2、 C3、 、 Cn均在 x轴上若点 B1的坐标为（ 1， 1），点 B2的坐标为（ 3， 2），则点 An的坐标为 答案：（ 2n11， 2n1） 试题分析： B1的坐标为（ 1， 1），点 B2的坐标为（ 3， 2）， 正方形 A1B1C1O1边长为 1，正方形 A2B2C2C1边长为 2， A1的坐标是（ 0， 1）， A2的坐标是：（ 1， 2）， 代入 y=
26、kx+b得 ， 解得： 则直线的式是： y=x+1 A1B1=1，点 B2的坐标为（ 3， 2）， A1的纵坐标是 1， A2的纵坐标是 2 在直线 y=x+1中，令 x=3，则纵坐标是： 3+1=4=22； 则 A4的横坐标是： 1+2+4=7，则 A4的纵坐标是： 7+1=8=23； 据此可以得到 An的纵坐标是： 2n1，横坐标是： 2n11 故点 An的坐标为（ 2n11， 2n1） 故答案：是：（ 2n11， 2n1） 考点：一次函数综合题；相似三角形的判定与性质 点评：本题主要考查了待定系数法求函数式，正确得到点的坐标的规律是解题的关键 如图，在 ABC中， AB=AC， D、 E
27、是 ABC内两点， AD平分 BAC， EBC= E=60，若 BE=6cm， DE=2cm，则 BC= 答案： cm 试题分析：延长 ED交 BC 于 M，延长 AD交 BC 于 N，作 DF BC， AB=AC， AD平分 BAC， AN BC， BN=CN， EBC= E=60， BEM为等边三角形， EFD为等边三角形， BE=6cm， DE=2cm， DM=4cm， BEM为等边三角形， EMB=60， AN BC， DNM=90， NDM=30， NM=2cm， BN=4cm， BC=2BN=8cm 故答案：为： 8cm 考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的
28、判定与性质 510329 点评：此题主要考查了相似三角形的性质以及 等腰三角形的性质和等边三角形的性质，根据得出 MN 的长是解决问题的关键 有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD则 AB与 BC 的数量关系为 答案： AB=2BC 试题分析：过 A作 AE BC 于 E、作 AF CD于 F， 甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2倍， AE=2AF， 纸条的两边互相平行， 四边形 ABCD是平行四边形， ABC= ADC， AD=BC， AEB= AFD=90， ABE ADF， = = ，即 = 故答案：为： AB=2BC
29、 考点：相似三角形的判定与性质 点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键 如图， n+1个上底、两腰长皆为 1，下底长为 2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形 P1M1N1N2面积为 S1，四边形 P2M2N2N3的面积为 S2， ，四边形 PnMnNnNn+1的面积为 Sn，通过逐一计算 S1， S2， ，可得Sn= 答案： 试题分析：如图，根据题意，小梯形中， 过 D作 DE BC 交 AB于 E， 上底、两腰长皆为 1，下底长为 2， AE=21=1， AED是等边三角形， 高 h=1sin60= ， S 梯形 = （ 1+2）
30、 = ， 设四边形 PnMnNnNn+1的上方的小三角形的高为 x， 根据小三角形与 AMnNn相似， ANn=2n， 由相似三角形对应边上高的比等于相似比，可知 ， 解得 x= = ， Sn=S 梯形 1 ， = 考点：相似三角形的判定与性质；等腰梯形的性质 510329 点评：解答本题关键在于看出四边形 PnMnNnNn+1的面积等于一个小梯形的面积减掉它上方的小三角形的面积，而小三角形的面积可以利用相似三角形的性质求出，此题也就解决了 正方形 ABCD边长为 a，点 E、 F分别是对角线 BD上的两点，过点 E、 F分别作 AD、 AB的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于 答
31、案： 试题分析：如图， FH CD， BHF= C=90（同位角相等）； 在 BFH和 BDC中， BFH BDC， = ， 同理，得 = ， 又 AD=CD， GF=FH， BGF= BHF=90， BF=BF， BGF BHF， S BGF=S BHF， 同理，求得多边形 GFEJ与多边形 HFEI的面积相等，多边形 JEDA与多边形IEDC的面积相等， 图中阴影部分的面积是正方形 ABCD面积的一半，即 = 考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质 点评：解答本题时主要运用了正方形的性质，相似三角形的判定以及相似三角形的性质所以，在以后的解题中合理的利用已学的定理与性质会降低题的难度
32、如图，在 ABC中， AB=AC，点 E、 F分别在 AB和 AC 上， CE与 BF 相交于点 D，若 AE=CF， D为 BF 的中点， AE： AF 的值为 答案： 试题分析：解：过 F作 FH AB交 CE于 H， FH AB， HFD= EBD， D为 BF 的中点， BD=DF， 在 BED和 FHD中 ， BED FHD（ SAS）， FH=BE， FH AB， CFH CAE， HF： AE=CF： AC， AC=AB， CF=AE， AF=BE=HF 设 AC=AB=1， AE=x，则 = 即为 ， 解得 x= ， AF= ， AE： AF= 考点：相似三角形的判定与性质 点
33、评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解题的关键 如图，在 ABC中， D、 E分别是 AB、 AC 上的点， DE BC，且 AD=AB，则 ADE的周长与 ABC的周长的比为 答案： 试题分析： DE BC， ADE ABC； C ADE： C ABC=AD： AB=1： 3； 即 ADE的周长与 ABC的周长的比为 考点：相似三角形的判定与性质 点评：此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段（包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等）的比等于相似比，面积比等于相似比的平方 如图，三角板 ABC的两直角边
34、AC， BC 的长分别是 40cm和 30cm，点 G在斜边 AB上，且 BG=30cm，将这个三角板以 G为中心按逆时针旋转 90，至ABC的位置，那么旋转后两个三角板重叠部分（四边形 EFGD）的面积为 cm2 答案： 试题分析：由勾股定理得 AB= = =50， 又 BG=30， AG=ABBG=20， 由 ADG ABC 得， = = ，即 = = ， 解得 DG=15， AD=25， AD=AGDG=AGGD=2015=5， 由 ADE ABC，可知 = = ， 由 AGF ACB，可知 根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知 S 四边形 EFGD=SAFGSADE= SABC
35、SABC= 4030=144cm2 考点：旋转的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质 点评：本题考查了旋转图形的面积不变，勾股定理、相似三角形的性质的运用 如图：正方形 ABCD中，过点 D作 DP 交 AC 于点 M、交 AB于点 N，交CB的延长线于点 P，若 MN=1， PN=3，则 DM的长为 _ 答案： 试题分析：设 DM=x， PB=y，正方形 ABCD的边长是 Z，则 DN=x+1 AD PC ADM CPM， PNB DNA = = ， = = +1， = 1， 3x=4（ x+1） x2x， x=2或 2（舍去）， x=2 考点：正方形的性质；相似三角形的判定与性质 点评：本题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定方法的综合运用
