1、2011-2012学年北京市西城区九年级一模数学卷（带解析） 选择题 计算： ( ) A 1 B 3 C 3 D 5 答案： A 如图，在 ABC中， ACB 90， AC BC 2 E、 F分别是射线 AC、CB上的动点，且 AE BF， EF 与 AB交于点 G， EH AB于点 H，设 AE x，GH y，下面能够反映 y与 x之间函数关系的图象是 ( ) 答案： C 如图， AB是 O 的直径， AB 4， AC 是弦， AC ， AOC为 ( ) A 120 B 130 C 140 D 150 答案： A 已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为 ，下列说法不正确的是 ( ) A连续抛一枚
2、均匀硬币 2次必有 1次正面朝上 B连续抛一枚均匀硬币 10次都可能正面朝上 C大量反复抛一枚均匀硬币，平均每 100次出现下面朝上 50次 D通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的 答案： A 如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有 ( ) A 2个 B 3个 C 4个 D 6个 答案： C 因式分解 的结果是 ( ) A B C D 答案： A 已知，如图， AD 与 BC 相交于点 O， AB CD，如果 B 20， D 40，那么 BOD为 ( ) A 40 B 50 C 60 D 70 答案： C 我市深入实施环境污染整治，某经济
3、开发区的 40家化工企业中已关停、整改 32家，每年排放的污水减少了 167000吨将 167000用科学记数法表示为 ( ) A B C D 答案： C 填空题 函数 自变量的取值范围是 _ 答案： x3 如图，点 在双曲线 上，点 与点 关于 轴对称，则此双曲线的式为 答案： 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 ABC的顶点 B， C的坐标分别为(1， 0)， (3， 0)，过坐标原点 O 的一条直线分别与边 AB， AC 交于点 M， N，若OM MN，则点 M的坐标为 _ 答案： (， ) 如图，点 A1， A2， A3， A4， ， An在射线 OA上，点 B1， B2， B3，
4、，Bn1在射线 OB上，且 A1B1 A2B2 A3B3 An1Bn1，A2B1 A3B2 A4B3 AnBn1， A1A2B1， A2A3B2， ， An1AnBn1为阴影三角形，若 A2B1B2， A3B2B3的面积分别为 1、 4，则 A1A2B1的面积为_；面积小于 2011的阴影三角形共有 _个 答案： ； 6 计算题 计算： 答案：原式 解答题 （ 1）解不等式： ； （ 2）解方程组 答案：（ 1）解： ， ，所以 （ 2）两方程相加，可求得 x=2,把 x=2代入任一方程中，可求得 y=1,即方程组的解为 如图，在 ABC中，点 D是 BC 上一点， B DAC 45 （ 1）
5、如图 1，当 C 45时，请写出图中一对相等的线段；_ （ 2）如图 2，若 BD 2， BA ，求 AD的长及 ACD的面积 答案：（ 1）由题意知： ABC、 ABD、 ACD为等腰直角三角形，图中相等的线段有 AB AC 或 AD BD CD； （ 2） AD ， S ACD 解：首先过过点 A作 AE BC，交 BD与点 E，这样在直角三角形 ABE中，利用 B DAC 45， BD 2， BA ，可以求出 BE= ,AE= 的长，在三角形 AED中，利用勾股定理可得到 AD= 过 C作垂线 CG垂直于 AD的延长线与点 G，则 AED CGD， ,由于 DAC 45， AG=CG,A
6、G=AD+DG,可以设 CG=x,那么所以利用面积公式 已知一元二次方程 x2 ax a-2 0 （ 1）求证：不论 a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根； （ 2）设 a 0，当二次函数 y x2 ax a-2的图象与 x轴的两个交点的距离为时，求出此二次函数的式； （ 3）在（ 2）的条件下，若此二次函数图象与 x轴交于 A、 B两点，在函数图象上是否存在点 P，使得 PAB的面积为 ，若存在求出 P点坐标，若不存在请说明理由 答案：（ 1）因为 a2-4(a-2) (a-2)2 4 0， 所以不论 a为何实数，此方程总有两个不相等的实数根 （ 2）设 x1、 x2是 y x2 ax
7、a-2 0的两个根，则 x1 x2 -a， x1 x2 a-2，因两交点的距离是 ， 所以 |x1-x2| 即： (x1-x2)2 13 变形为： (x1 x2)2-4x1 x2 13所以： (-a)2-4(a-2) 13 整理得： (a-5)(a 1) 0解方程得： a 5或 -1 又因为： a 0，所以： a -1 所以：此二次函数的式为 y x2-x-3 （ 3）设点 P的坐标为 (x0， y0)，因为函数图象与 x轴的两个交点间的距离等于， 所以： AB 所以： S PAB AB |y0| 所以： 即： |y0| 3，则 y0 3 当 y0 3时， x02-x0-3 3，即 (x0-3
8、)(x0 2) 0 解此方程得： x0 -2或 3 当 y0 -2时， x02-x0-3 -3，即 x0(x0-1) 0 解此方程得： x0 0或 1 综上所述，所以存在这样的 P 点， P 点坐标是 (-2， 3)， (3， 3)， (0， -3)或 (1， -3) 已知：如图 1，矩形 ABCD 中， AB 6， BC 8， E、 F、 G、 H 分别是 AB、BC、 CD、 DA四条边 上的点 (且不与各边顶点重合 )，设 m EF+FG+GH+HE，探索 m的取值范围 （ 1）如图 2，当 E、 F、 G、 H分别是 AB、 BC、 CD、 DA四边中点时， m_ （ 2）为了解决这个
9、问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图 3，将整个图形以CD为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得 m的取值范围 请在图 1中补全小贝同学翻折后的图形； m的取值范围是 _ 答案：（ 1）由题意得 AE= AB,AH= AD,根据勾股定理得 EH=5，同理可求得 HG=GF=FE=5,即 m=20； （ 2）如图所示 (虚线可以不画 )， 20m 28 如图，已知 ，以 为直径， 为圆心的半圆交 于点 ，点 为弧 CF 的中点，连接 交 于点 ， 为 ABC 的角平分线，且 ，垂足为点 （ 1）求证： 是半圆 的切线； （ 2）若 ， ，求 的长 答案：（ 1）连结 CE
10、， BEC=90，点 为弧 CF的中点 ,所以 ECF= EBC , 且 所以 AD CE,所以 ECF= MAD= EBC, 为 ABC的角平分线 ,得 MAD= BAH= EBC, ABH+ BAH=90,所以 ABH+ EBC =90，（ 2） ， 由（ 1）知， ， 在 中， 于 ， 平分 ， ， 由 ，得 ， 如图，等腰梯形 ABCD中， AD BC， AD AB CD 2， C 60， M是 BC 的中点 （ 1）求证： MDC是等边三角形； （ 2）将 MDC绕点 M旋转，当 MD(即 MD)与 AB交于一点 E， MC(即 MC)同时与 AD交于一点 F时，点 E， F和点 A
11、构成 AEF试探究 AEF的周长是否存在最小值如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出 AEF周长的最小值 答案：（ 1）证明：过点 D作 DP BC，于点 P，过点 A作 AQ BC 于点 Q， C B 60 CP BQ AB， CP BQ AB， 又 ADPQ 是矩形， AD PQ， 故 BC 2AD， 由已知，点 M是 BC 的中点， BM CM AD AB CD， 即 MDC中， CM CD， C 60， 故 MDC是等边三角形 （ 2）解： AEF的周长存在最小值，理由如下： 连接 AM，由（ 1）平行四边形 ABMD是菱形， MAB， MAD和 MCD是等边三角形， BMA BM
12、E AME 60， EMF AMF AME 60， BME AMF， 在 BME与 AMF中， BM AM， EBM FAM 60， BME AMF(ASA)， BE AF， ME MF， AE AF AE BE AB， EMF DMC 60，故 EMF是等边三角形， EF MF， MF的最小值为点 M到 AD的距离 ，即 EF 的最小值是 ， AEF的周长 AE AF EF AB EF， AEF的周长的最小值为 2 ， 所以存在， AEF的周长的最小值为 2 某批发商以每件 50 元的价格购进 800 件 T 恤第一个月以单价 80 元销售，售出了 200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售
13、出 200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低 1元，可多售出 10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的 T恤一次性清仓销售，清仓时单价为 40元设第二个月单价降低 x元 （ 1）填表 (不需要化简 ) 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价 (元 ) 80 40 销售量 (件 ) 200 （ 2）如果批发商希望通过销售这批 T恤获利 9000元，那么第二个月的单价应是多少元？ 答案：（ 1）由题意得 80-x， 200 10x， 800-200-(200 10x)； （ 2）根据题意，总价 -成本 =利润，列方程 得 80200 (80-
14、x)(200 10x) 40800-200-(200 10x)-50800 9000 整理，得 x2-20x 100 0，解这个方程得 x1 x2 10， 当 x 10时， 80-x 70 50 所以第二个月的单价应是 70元 在某市举办的 “读好书，讲礼仪 ”活动中，东华学校积极行 动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书下面是七年级（ 1）班全体同学捐献图书的情况统计图： 请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （ 1）该班有学生多少人？ （ 2）补全条形统计图； （ 3）七（ 1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？ 答案：（ 1）因为捐 2本的
15、人数是 15人，占 30，所以该班人数为 50 （ 2）根据题意知，捐 4本的人数为： 50-(10 15 7 5) 13 (如图 ) （ 3）七（ 1）班全体同学所捐献图书的中位数是 3(本 )，众数是 2本 先化简： ；若结果等于 ，求出相应 x的值 答案：原式 ； 由 ，可，解得 x 如图，分别以 Rt ABC的直角边 AC 及斜边 AB向外作等边 ACD、等边 ABE已知 BAC 30o， EF AB，垂足为 F，连结 DF （ 1）求证： AC EF； （ 2）求证：四边形 ADFE是平行四边形 答案：（ 1） 在等边 ABE中， EF AB， AF= AE= AB, 又 Rt AB
16、C， BAC 30o， BC= AB, BC=AF Rt ABC Rt EAF（ AAS） 即 AC=EF （ 2）因 为 EF AB， ， AFE=90 ACD是等边三角形， DAC=60 ， DAB=90 AFE= DAB， AD/EF BAC=30 ， CB= AB EF AB， AF= AB=CB AF=CB.AD=AC, DAB= ACB=90 Rt ABC Rt DFA ADF= CAB=30 ， DAB+ BAE=90 +60 =150 ADF+ DAE=180 AE/DF 四边形 ADFE是平行四边形 已知：如图， 点坐标为 ， 点坐标为 （ 1）求过 两点的直线式； （ 2）
17、过 点作直线 与 轴交于点 ，且使 ，求 的面积 答案：（ 1）把两点代入 y=kx+b中，求得 k=2,b=3,即过 两点的直线式为 ； （ 2）设 点坐标为 ，依题意得 ，所以 点坐标分别为 ， ， 所以 的面积为 或 巳知二次函数 y a(x2-6x 8)(a 0)的图象与 x轴分别交于点 A、 B，与 y轴交于点 C点 D是抛物线的顶点 （ 1）如图 连接 AC，将 OAC沿直线 AC 翻折，若点 O 的对应点 0恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数 a的值； （ 2）如图 ，在正方形 EFGH中，点 E、 F的坐标分别是 (4， 4)、 (4， 3)，边HG位于边 EF 的右侧小林同学
18、经过探索后发现了一个正确的命题： “若点 P是边 EH或边 HG上的任意一点，则四条线段 PA、 PB、 PC、 PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 (即这四条线段不能构成平行四边形 ) “若点 P是边 EF 或边 FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程； （ 3）如图 ，当点 P 在抛物线对称轴上时，设点 P 的纵坐标 l是大于 3 的常数，试问：是否存在一个正数 a，使得四条线段 PA、 PB、 PC、 PD与一个平行四边形的四条边对应相 等 (即这四条线段能构成平行四边形 )？请说明理由 答案：（ 1）令 y 0，由 解得 ； 令 x 0，解得 y
19、 8a 点 A、 B、 C的坐标分别是 (2， 0)、 (4， 0)、 (0， 8a)， 该抛物线对称轴为直线 x 3 OA 2 如图 ，设抛物线对称轴与 x轴交点为 M，则 AM 1 由题意得： ， OAM 60 ，即 （ 2）若点 P是边 EF 或边 FG上的任意一点，结论同样成立 ( )如图 ，设点 P是边 EF 上的任意一点 (不与点 E重合 )，连接 PM 点 E(4， 4)、 F(4， 3)与点 B(4， 0)在一直线上，点 C在 y轴上， PBPB 又 PDPMPB， PAPMPB， PBPA， PBPC， PBPD 此时线段 PA、 PB、 PC、 PD不能构成平行四边形 (
20、)设 P是边 FG上的任意一点 (不与点 G重合 )， 点 F的坐标是 (4， 3)，点 G的坐标是 (5， 3) FB 3， ， 3PBPB （ 3）存在一个正数 a，使得线段 PA、 PB、 PC能构成一个平行四边形 如图 ， 点 A、 B时抛物线与 x轴交点，点 P在抛物线对称轴上， PA PB 当 PC PD时，线段 PA、 PB、 PC能构成一个平行四边形 点 C的坐标是 (0， 8a)，点 D的坐标是 (3， -a) 点 P的坐标是 (3， t)， PC2 32 (t-8a)2， PD2 (t a)2 整理得 7a2-2ta 1 0， 4t2-28 t是一个常数且 t3， 4t2-280 方程 7a2-2ta 1 0有两个不相等的实数根 显然 ，满足题意 当 t是一个大于 3的常数 ,存在一个正数 ，使得线段 PA、 PB、PC能构成一个平行四边形
