1、2011-2012学年北京市西城区九年级第一学期期末测试数学卷 选择题 抛物线 的顶点坐标为 A B C D 答案： A 如图，在平面直角坐标系 xOy中， ， ， C的圆 心为点 ，半径为 1若 D是 C上的一个动点，线段 DA与 y轴交于点 E，则 ABE面积的最大值是 A 2 B C D 答案： C 如图，抛物线与 x轴交于点 ，对称轴为 ，则下列结论中正确的是 A B当 时， y随 x的增大而增大 C D 是一元二次方程的一个根 答案： D 如图，以点 D为位似中心，作 ABC的一个位似三角形 A1B1C1， A， B， C的对应点分别为 A1， B1， C1， DA1与 DA的比值为
2、 k，若两个三角形的顶点及点 D 均在如图所示的格点上，则 k的值和点 C1的坐标分别为 A 2， B 4， C 2， D 2， 答案： A 若正六边形的边长等于 4，则它的面积等于 A B C D 答案： B 如图，在 O中，直径 AB 弦 CD于 E，连接 BD，若 D=30， BD=2，则 AE的长为 A 2 B 3 C 4 D 5 答案： B 在 RtABC中， C 90，若 BC 1， AB= ，则 tanA的值为 A B C D 2 答案： C 若相交两圆的半径分别为 4和 7，则它们的圆心距可能是 A 2 B 3 C 6 D 11 答案： C 填空题 如图， O是 ABC的外接圆
3、，若 OCB 40，则 A= 答案： 将抛物线 先向下平移 1个单位长度后，再向右平移 1个单位长度，所得抛物线的式是 K 答案： 如图，在 RtABC中， ACB=90， B=30， AB=4 以斜边 AB的中点 D为旋转中心，把 ABC按逆时针方向旋转角（ ），当点 A的对应点与点 C重合时，B， C两点的对应点分别记为 E， F， EF与 AB的 交点为 G，此时等于 ， DEG的面积为 答案：， 已知二次函数 ，（ 1）它的最大值为 ；（ 2）若存在实数 m， n使得当自变量 x的取值范围是 mxn时，函数值 y的取值范围恰好是 3my3n，则 m= ， n= 答案：（ 1） ；（ 2
4、） -4， 0 计算题 计算： 答案：解：原式 = = 解答题 已知关于 的方程 有两个不相等的实数根 【小题 1】（ 1）求 的取值范围； 【小题 2】（ 2）若 为符合条件的最大整数，求此时方程的根 答案： 【小题 1】解：（ 1） 1分 该方程有两个不相等的实数根， 0 2分 解得 【小题 2】（ 2）当 k为符合条件的最大整数时， 4分 此时方程化为 ，方程的根为 已知：如图，正方形 ABCD的边长为 a， BM， DN分别平分正方形的两个外角，且满足 ，连结 MC， NC， MN 【小题 1】（ 1）填空：与 ABM相似的三角形是 ， = ；（用含 a的代数式表示） 【小题 2】（
5、2）求 的度数； 【小题 3】（ 3）猜想线段 BM， DN和 MN之间的等量关系并证明你的结论 答案： 【小题 1】（ 1）与 ABM相似的三角形是 NDA， 【小题 2】（ 2）由（ 1） ABM NDA可得 3分 四边形 ABCD是正方形， AB=DC， DA= BC， BM， DN分别平分正方形 ABCD的两个外角， BCM DNC 4分 【小题 3】（ 3）线段 BM， DN和 MN之间的等量关系是 （只猜想答案：不证明不给分） 证法一：如图 9，将 AND绕点 A顺时针旋转 90得到 ABF，连接 MF则 ABF ADN 6分 ， AF=AN， BF=DN， 又 AM= AM， A
6、MF AMN MF=MN 可得 在 RtBMF中， 7分 证法二：连接 BD，作 ME BD，与 DN交于点 E（如图 10） 可知 ， 6分 ME BD， ， 四边形 BDEM是矩形 ME=BD， BM=DE 在 RtMEN中， ， 已知抛物线 （其中 ） 【小题 1】（ 1）求该抛物线与 x轴的交点坐标及顶点坐标 (可以用含 k的代数式表示 )； 【小题 2】（ 2）若记该抛物线的顶点坐标为 ，直接写出 的最小值； 【小题 3】（ 3）将该抛物线先向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，随着 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的式（不要求写自变量的取值范
7、围） 答案： 【小题 1】解：（ 1）令 ，则 整理，得 解得 ， 该抛物线与 x轴的交点坐标为 ， 2分 抛物 线 的顶点坐标为 【小题 2】（ 2） |n|的最小值为 2 【小题 3】（ 3）平移后抛物线的顶点坐标为 5分 由 可得 所 求新函数的式为 阅读下列材料： 题目：已知实数 a， x满足 a 2且 x 2，试判断 与 的大小关系，并加以说明 . 思路：可用 “求差法 ”比较两个数的大小，先列出 与 的差 ，再 说明 y的符号即可 .来源 :Z。 xx。 k.Com 现给出如下利用函数解决问题的方法： 简解：可将 y的代数式整理成 ，要判断 y的符号可借助函数 的图象和性质解决 .
8、 参考以上解题思路解决以下问题： 已知 a， b， c都是非负数， a 5，且 ， 【小题 1】（ 1）分别用含 a的代数式表示 4b， 4c； 【小题 2】（ 2）说明 a， b， c之间的大小关系 答案： 【小题 1】解：（ 1） ， ， 消去 b并整理，得 1分 消去 c并整理，得 2分 【小题 2】（ 2） ， 将 4b看成 a的函数，由函数 的性质结合它的图象（如图 7所示），以及a， b均为非负数得 a3 又 a 5， 3a 5 3分 ， 将 看成 a的函数，由函数 的性质结合它的图象 （如图 8所示）可知，当 3a 5时， b a 4分 ， a3， 0 ca b ac 5分 阅卷
9、说明： “b a， b c， ac”三者中，先得出其中任何一个结论即可 得到第 4分，全写对得到 5分 已知：如图， AB是 O的直径， AC是弦， BAC的平分线与 O的交点为 D， DE AC，与 AC的延长线交于点 E 【小题 1】（ 1）求证：直线 DE是 O的切线； 【小题 2】（ 2）若 OE与 AD交于点 F， ，求 的值 答案： 【小题 1】（ 1）证明：连接 OD（如图 6） AD平分 BAC， 1= 2 1分 OA=OD， 1= 3 2= 3 OD AE DE AC， AED=90 2分 DE OD OD是 O的半径， DE是 O的切线 【小题 2】（ 2）解：作 OG A
10、E于点 G（如图 6） OGE=90 ODE= DEG= OGE=90 四边形 OGED是矩形 OD=GE 4分 在 RtOAG中， OGA=90， ，设 AG=4k，则 OA=5k GE=OD =5k AE=AG+GE=9k OD GE， ODF EAF 已知函数 （ x 0），满足当 x =1时， ， 且当 x = 0与 x =4时的函数值相等 【小题 1】（ 1）求函数 （ x 0）的式并画出它的 图象（不要求列表）； 【小题 2】（ 2）若 表示自变量 x相对应的函数值，且 又已知关于 x的方程 有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数 k的取值范围 答案： 【小题 1】解：（ 1
11、） 函数 （ x0）满足当 x =1时， ， 且当 x = 0与 x =4时的函数值相等， 解得 ， 2分 所求的函数式为 （ x0） 3分 它的函数图象如图 4所示 4分 【小题 2】（ 2） k的取值范围是 （如图 5） 如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，正方形 的边长为 1，将其沿 轴的正方向连续滚动，即先以顶点 A为旋转中心将正方形 顺时针旋转 90得到第二个正方形，再以顶点 D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转 90得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形， ，第 n个正方形设滚动过程中的点 P的坐标为 【小题 1】（ 1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出
12、第三个正方形中的点 P的坐标； 【小题 2】（ 2）画出点运动的曲线（ 0 4），并直接写出该曲线与 轴所围成区域的面积 答案： 【小题 1】解：（ 1）第三个和第四个正方形的位置如图 3所示 2分 第三个正方形中的点 P的坐标为 3分 【小题 2】（ 2）点运动的曲线（ 0 4）如图 3所示 4分 它与 轴所围成区域的面积等于 如图，在 RtABC中， ， AB的垂直平分线与 BC， AB的交点分别为 D， E 【小题 1】（ 1）若 AD=10， ，求 AC的长和 的值； 【小题 2】（ 2）若 AD=1， = ，参考（ 1）的计算过程直接写 出 的值（用 和 的值表示） 答案： 【小题
13、1】解：（ 1）在 RtACD中， ， AD=10， ，（如图 2） 1分 DE垂直平分 AB， 2分 3分 在 RtABC中， ， 【小题 2】（ 2） （写成 也可） 学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 36米的篱笆恰好围成（如图所示）设矩形的一边 AB的长为 x米（要求 AB AD），矩形 ABCD 的面 积为 S平方米 【小题 1】（ 1）求 S与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围； 【小题 2】（ 2）要想使花圃的面积最大， AB边的长应为多少米？ 答案： 【小题 1】 【小题 2】 已知：如图，在菱形 ABCD中， E为 BC边上一点， A
14、ED= B 【小题 1】（ 1）求证： ABE DEA； 【小 题 2】（ 2）若 AB=4，求 的值 答案： 【小题 1】（ 1）证明：如图 1 四边形 ABCD是菱形， AD BC 2分 又 B= AED， ABE DEA 【小题 2】（ 2）解： ABE DEA， 4分 四边形 ABCD是菱形， AB = 4， AB =DA = 4 已知抛物线 . 【小题 1】（ 1）直接写出它与 x轴、 y轴的交点的坐标； 【小题 2】（ 2）用配方法将 化成 的形式 答案： 【小题 1】解：（ 1）抛物线与 x轴的交点的坐标为 2分 抛物线与 y轴的交点的坐标为 【小题 2】（ 2） 4分 已知：在
15、如图 1所示的平面直角坐标系 xOy中， A， C两点的坐标分别为 ， （其中 n 0），点 B在 x轴的正半轴上动点 P从点 O出发，在四边形 OABC的边上依次沿 O A B C的顺序向点 C移动，当点 P与点 C重合时停止运动设点 P移动的路径的长为 l， POC的面积为 S， S与 l的函数关系的图象如图 2所示 ，其中四边形 ODEF是等腰梯形 【小题 1】（ 1）结合以上信息及图 2填空：图 2中的 m= ； 【小题 2】（ 2）求 B， C两点的坐标及 图 2中 OF的长； 【小题 3】（ 3）在图 1中，当动点 P恰为经过 O， B两点的抛物线 W的顶点时， 求此抛物线 W的式
16、； 若点 Q在直线 上方的抛物线 W上，坐标平面内另有一点 R，满足以 B， P， Q， R四点为顶点的四边形是菱形，求点 Q的坐标 答案： 【小题 1】（ 1）图 2中的 m= 【小题 2】（ 2） 图 11（原题图 2）中四边形 ODEF是等腰梯形，点 D的坐标为 ， ，此时原题图 1中点 P运动到与点 B重合， 点 B在 x轴的正半轴上， 解得 ，点 B的坐标为 2分 此时作 AM OB于点 M， CN OB于点 N（如图 12） 点 C的坐标为 ， 点 C在直线 上 又由 图 11（原题图 2）中四边形 ODEF是等腰梯形可知图 12中的点 C在过点 O与 AB平行的直线 l上， 点
17、C是直线 与直线 l的交点，且 又 ，即 AM= CN， 可得 ABM CON ON=BM=6，点 C的坐标为 3分 图 12中 图 11中 ， 4分 【小题 3】（ 3） 当点 P恰为经过 O， B两点的抛物线的顶点时，作 PG OB于点 G （如图 13） O， B两点的坐标分别为 ， ， 由抛物线的对称性可知点 P的横坐标为 4，即 OG=BG=4 由 可得 PG=2 点 P的坐标为 5分 设抛物线 W的式为 （ a0） 抛物线过点 ， 解得 抛物线 W的式为 6分 如图 14 i）当 BP为以 B， P， Q， R为顶点的菱 形的边时， 点 Q在直线 上方的抛物线 W 上，点 P为抛物线 W的顶点，结合抛 物线的对称性可知点 Q只有一种情况， 点 Q与原点重合，其坐标为 7分 ii）当 BP为以 B， P， Q， R为顶点的菱形的对角线时， 可知 BP的中点的坐标为 ， BP的中垂线的式为 点 的横坐标是方程 的解 将该方程整理得 解得 由点 Q在直线 上方的抛物线 W上，结合图 14可知点 的横坐标为 点 的坐标是 8分 综上所述，符合题意的点 Q的坐标是 ，
