1、2009高考真题汇编 3-数列 选择题 已知 为等差数列， + + =105， =99，以 表示 的前项和，则使得 达到最大值的 是 ( ) A 21 B 20 C 19 D 18 答案： B 已知等比数列 的公比为正数，且 =2 ， =1，则 = （ ） A B C D 2 答案： B 已知等比数列 满足 ，且 ，则当时， A B C D 答案： C 等差数列 的公差不为零，首项 1， 是 和 的等比中项，则数列的前 10项之和是（ ） A 90 B 100 C 145 D 190 答案： B 设 记不超过 的最大整数为 ,令 = - ，则 ， ,（） A是等差数列但不是等比数列 B是等比数
2、列但不是等差数列 C既是等差数列又是等比数列 D既不是等差数列也不是等比数列 答案： B 已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则它的首项与公差分别是 ( ) A B C D以上都不对 答案： A 设 是公差不为 0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =（ ） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D 答案： A 已知 为等差数列，且 -2 -1, 0,则公差 d（ ） A -2 B -C D 2 答案： B 填空题 将正 分割成 个全等的小正三角形（图 2，图 3分别给出了 n=2, 3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于 ABC的三边及平行于某边的任一
3、直线上的数（当数的个数不少于 3时）都分别依次成等差数列 .若顶点 A ,B ,C处的三个数互不相同且和为 1,记所有顶点上的数之和为 ，则有 ， ， ， . 答案： ; 设等差数列 的前 项和为 ，则 ， ， ， 成等差数列类比 以上结论有：设等比数列 的前 项积为 ，则 ， ， 成等比数列 答案： 设等比数列 的前 n项和为 .若 ，则 = 答案： 3 解答题 （本小题满分 12分，（ ）问 5分，（ ）问 7分） 设 个不全相等的正数 依次围成一个圆圈。 （ ）若 ，且 是公差为 的等差数列，而是公比为 的等比数列；数列 的前 项和满足： ，求通项 ； （ ）若每个数 是其左右相邻两数平
4、方的等比中项，求证：。 答案：（ ） （ ）证明见。 （本小题满分 14分） 设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记。 （ ）求数列 与数列 的通项公式； （ ）设数列 的前 项和为 ，是否存在正整数 ，使得 成立？若存在，找出一个正整数 ；若不存在，请说明理由； （ ）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 都有 。 答案：（ ） ， （ ）不存在正整数 ，使得 成立，理由见。 （ ）证明见。 （本小题满分 14分） 设数列 的前 项和为 ，对任意的正整数 ，都有 成立，记。 （ ）求数列 的通项公式； （ ）记 ，设数列 的前 项和为 ，求证：对任意正整数 都有
5、 ； （ ）设数列 的前 项和为 。已知正实数 满足：对任意正整数恒成立，求 的最小值。 答案：（ ） （ ）证明见。 （ ） 4 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 （ ）当 时， 又 数列 成等比数列，其首项 ，公比是 .3 分 （ ）由（ ）知 = 又 当 当 （ ）由（ ）知 一方面，已知 恒成立，取 n为大于 1的奇数时，设 则 对一切大于 1的奇数 n恒成立 只对满足 的正奇数 n成立，矛盾。 另一方面，当 时，对一切的正整数 n都有 事实上，对任意的正整数 k，有 当 n为偶数时，设 则 当 n为奇数时，设 则
6、对一切的正整数 n，都有 综上所述，正实数 的最小值为 4.14 分 （本小题满分 13分） 对于数列 ，若存在常数 M 0，对任意的 ，恒有 ，则称数列 为 数列。 （ ）首项为 1，公比为 的等比数列是否为 B-数列？请说明理由； （ ）设 是数列 的前 n项和，给出下列两组判断： A组： 数列 是 B-数列 , 数列 不是 B-数列； B组： 数列 是 B-数列 , 数列 不是 B-数列。 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论； （ ）若数列 是 B-数列，证明：数列 也是 B-数列。 答案：（ ）是，理由见。 （ ）见
7、。 （ ）证明见。 （本题满分 18分）本题共有 3个小题，第 1小题满分 5分，第 2小题满分5分，第 3小题满分 8分。 已知 是公差为 d的等差数列， 是公比为 q的等比数列。 （ 1）若 ，是否存在 ，有 ？请说明理由； （ 2）若 （ a、 q为常 数，且 aq 0）对任意 m存在 k，有 ，试求 a、 q满足的充要条件； （ 3）若 试确定所有的 p，使数列 中存在某个连续 p项的和式数列中 的一项，请证明。 答案：（ 1）不存在，理由见。 （ 2） ，其中 是大于等于 的整数。 （ 3）当 为奇数时，命题都成立。 已知数集 具有性质 ；对任意的 ， 与 两数中至少有一个属于 。
8、（ ）分别判断数集 与 是否具有性质 ，并说明理由； （ ）证明： ，且 ； （ ）证明：当 时， 成等比数列。 答案：（ ）由于 与 均不属于数集 ， 该数集不具有性质 P；由于 都属于数集 ， 该数集具有性质P。 （ ）证明见。 （ ）证明见。 已知等差数列 的公差 不为零，首项 且前 项和为 . （ I）当 时 ,在数列 中找一项 ,使得 成为等比数列 ,求的值 . （ II）当 时，若自然数 满足 并且是等比数列，求 的值。 答案： 21; 首项为正数的数列 满足 。 ( )证明：若 为奇数，则对一切 ， 都是奇数； ( )若对一切 ，都有 ，求 的取值范围。 答案：（ ）证明见。 （
9、 ） 或 。 设数列 的通项公式为 。数列 定义如下：对于正整数 m， 是使得不等式 成立的所有 n中的最小值。 （ 1）若，求 b3； （ 2）若 ，求数列 的前 2m项和公式；（ 3）是否存在 p和 q，使得 ？如果存在，求 p和 q的取值范围；如果不存在，请说明理由。 答案： ( ) ( ) （ ） 设 为数列 的前 项和， ， ，其中 是常数 （ I）求 及 ； （ II）若对于任意的 ， ， ， 成等比数列，求 的值 答案：（ ） ， （ ） （本小题满分 14分）设 是公差不为零的等差数列， 为其前 项和，满足 。（ 1）求数列 的通项公式及前 项和 ；（ 2）试求所有的正整数 ，使得 为数列 中的项。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案：（ 1） （ 2） (本小题满分 12分） 等比数列 中，已知 （ I）求数列 的通项公式； （ ）若 分别为等差数列 的第 3项和第 5项，试求数列 的通项公式及前 项和 。 答案：（ I） 的通项公式为 ； （ ） （本小题满分 14分） 各项均为正数的数列 ， ，且对满足 的正整数都有 。 （ 1）当 时，求通项 ； （ 2）证明：对任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 ，都有。 答案：（ 1） （ 2）证明见。
