1、2010年河北省邯郸市高三第二次数学文科试题 选择题 已知 ，且 则集合 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： 已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF相切于线段 PF的中点，则该椭圆的离心率为 A B C D 答案： 设二元一次不等式组 所表示的平面区域为 M，使函数的图象过区域 M的 a的取值范围是 A 1,3 B 2,5 C 2,9 D ,9 答案： 已知向量 为单位向量，且 ，向量 与 共线，则 的最小值为 A 1 BC D 答案： 在一个 的二面角的一个半平面内有一条直线与二面角的棱成 角，则此直线与二面角的另一个半平面所成的角为
2、 A B C D 答案： 中已知 ，则 AB等于 A B C 或D 答案： 直线 对称的直线方程是 A B C D 答案： 在冬奥会比赛中，要从 4名男运动员和 5名女运动员中，任选 3人参加某项比赛，其中男女运动员至少各有一名的不同选法共有 A 140种 B 80种 C 70种 D 35种 答案： 如果函数 对任意的实数 x，都有 ，那么 A B C D 答案： 函数 的单调递增区间是 A B C D 答案： 设 为等差数列， 为其前 项和，且 ，则 等于 A B C D 答案： 已知函数 的反函数 ，则 等于 A B C D 答案： 填空题 三棱锥 , ， , 分别为 的中点， 为 上一点
3、，则 的最小值是 答案： 在 中， , 则 答案： 已知直线 与抛物线 相切，则常数 答案： 二项式 的展开式中，常数项为 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 已知向量 ， ，函数 （ ）求 的单调增区间； （ ）若 时， 的最大值为 4，求 的值 . 答案：解： 3 分 ( ) 所以 的单调增区间为 ； 5 分 （ ） 在 上单调递增， 在 上单调递减， 在上单调递增， 所以 的最大值为 ，所以 10 分 （本小题满分 12分） 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 27个同样大小的小正方体 （ ）从这些小正方体中任取个，求其中至少有两面涂有颜色的概率； （ ）从中任取个小正方体，求个小
4、正方体涂上颜色的面数之和为的概率。 答案：解：依题意可知，锯成的 27个小正方体中，有三面有色的有 8个，二面有色的有 12个 ，一面有色的有 6个，没有色的有 1个。 3 分 ( )从这些小正方体中任取个，含有面数为 的事件为 （ ），则其中至少有两面涂颜色的概率 P=； 6 分 （ ）根据题意，设从中任取 2个小正方体， 2个小正方体涂上颜色的面数之和是 2的事件为 B则 12 分 （本小题满分 12分） 如图所示，在正三棱柱 中，底面边长为 ，侧棱长为 ， 是棱 的中点 . ( )求证 : 平面 ；（ ）求二面角 的大小； 来源 :学科网ZXXK （ ）求点 到平面 的距离 . 答案：解
5、： ( ) 连结 与 交于 ， 则 为 的中点， 为 的中点， 为 的中位线， /. 又 平面 ， 平面 /平面 4 分（ ） (解法 1)过 作 于 ，由正三棱柱的性质可知， 平面 ，连结 ，在正 中， 在直角三角形 中， 由三垂线定理的逆定理可得 .则 为二面角 的平面角， 又得 ， ， .故所求二面角 的大小为 .8 分 解法（ 2）（向量法） 建立如图所示空间直角坐标系，则 。 设 是平面 的一个法向量，则可得 来源 :学。科。网 ，所以 即 取 可得 又平面 的一个法向量 设 则 又知二面角 是锐角 ,所以二面角 的 大小是 8 分 （ ）设求点 到平面 的距离 ；因 ，所以 ，故
6、，而 10 分 由 12 分 （本小题满分 12分） 设数列 为等差数列，且 ， ，数列 的前 项和为， （ ）求数列 的通项公式； （ ）若 ，求数列 的前 项和 . 答案：解： ( ) 数列 为等差数列，公差 ,可得2 分 ， 显然 n=1时也适合 .所以.4 分 （ ）由 ， 得. 7 分 两式相减得 . 10分 所以 12 分 （本小题满分 12分） 已知定义在 R上的函数 的图像关于原点对称，且 x=1时， f(x)取极小值 ( )求 f(x)的式； ( )当 x -1， 1时，图像上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直 证明你的结 论 答案：解： ( ) 因为函数 的图像关于
7、原点对称， 所以 对任意 恒成立， 即 对任意 恒成立， 所以 恒成立，故 ， 3 分 故 ， 又 时， 取极小值 ，所以 ，且 ， 所以 解得： ， ； 所以 ，（ ） 6分 （ ）当 时，图像上不存在两点使得过此两点处的切线互相垂直 . 证明如下：（方法 1，用反证法） 假设在 的图像上存在两点 ， ，使得在此两点处的切线互相垂直，由 ( ) 可知 ，且在 两点处的切线斜率均存在 . 由假设 则有 ， 8 分 从而 ， 另一方面， ，所以 ，所以 ， 与前式显然矛盾 .所以， 当 时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直 .12 分 （方法 2） 设 ， 为 的图像上两点，由 (
8、) 可知 ， 且在点 和点 处的两条切线的斜率均存在 . 不妨设在点 处的切线斜率为 ，在点 处的切线斜率为 ， 则 ， ； 8 分 所以 ， 由题意， ， 所以 ，即 综上所述，当 时，图像上不存在两点使得在此两点处的切线互相垂直 .12 分 （本小题满分 12分） 已知点 和直线 ，作 垂足为 Q，且 （ ）求点 P的轨迹方程； （ ）过点 C的直线 m与点 P的轨迹交于两点 点，若 的面积为 ，求直线 的方 程 . 答案：解： ( ) 由已知 知 . 所以 设 ，代入上式得 平方整理得 4分 （ ）由题意可知设直线 的斜率不为零，且 恰为双曲线的右焦点， 设直线 的方程为 ， 由 6 分 若 ，则直线 与双曲线只有一个交点，这与 矛盾，故. 由韦达定理可得 8 分 10 分 故直线 的方程为 .12 分
