1、2011届上海市宝山区高三第二次模拟测试理科数学卷 选择题 已知有穷数列 A： （ ） .定义如下操作过程 T：从 A中任取两项 ,将 的值添在 A的最后，然后删除 ,这样得到一系列 项的新数列 A1(约定 :一个数也视作数列 )；对 A1的所有可能结果重复操作过程 T又得到一系列 项的新数列 A2，如此经过 次操作后得到的新数列记作 Ak .设 A： ,则 A3的可能结果是 （ ） A 0； B ；C ； D . 答案： B 因为是单选题，可用排除法，逐一试验 在正方体 的侧面 内有一动点 到直线 与直线的距离相等 ,则动点 所在的曲线的形状为 ( ) 答案： B 考点：曲线与方程 专题：图
2、表型 分析：根据题意可知 P到点 B的距离等于到直线 A1B1的距离，利用抛物线的定义推断出 P的轨迹是以 B为焦点，以 A1B1为准线的过 A的抛物线的一部分看图象中， A的形状不符合； B的 B点不符合； D的 A点符合从而得出正确选项 解：依题意可知 P到点 B的距离等于到直线 A1B1的距离， 根据抛物线的定义可知，动点 P的轨迹是以 B为焦点，以 A1B1为准线的过 A的抛物线的一部分 A的图象为直线的图象，排除 A C项中 B不是抛物线的焦点，排除 C D项不过 A点， D排除 故选 B 已知 是 上的增函数，那么 a的取值范围是 ( ) A (1， +)； B (0， 3)； C
3、（ 1， 3）； D ， 3） 答案： D 如图给出的是计算 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ） A ； B ； C ； D 答案： A 填空题 不等式 的解集是 _. 答案：【 (-1， 3) 】 已知函数 满足： 对任意 ，恒有 成立； 当时， .若 ，则满足条件的最小的正实数是 . 答案：【 ，】 如图，在梯形 ABCD 中， AD/BC， AC、 BD相交于 O，记 BCO、 CDO、 ADO 的面积分别为 S1、 S2、 S3，则 的取值范围是 .答案：【 】 考点：平行线等分线段定理 分析：根据三角形相似的引理，我们易判断 AOD COB，然后根据三角形相似的性
4、质得到对应边成比例，而根据同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，结合基本不等式即可求出 的取值范围 解： AD BC， AOD COB = = + = + 2 =2 当且仅当 = 时，即 BO=DO 时，即 O 为 BD中点时取等； 又 四边形 ABCD为梯形，故 O 不可能为 BD的中点， 故 2 即 的取值范围（ 2， +） 故答案：为：（ 2， +） 在平行四边形 ABCD中， AB=1， AC= ， AD=2；线段 PA 平行四边形ABCD所在的平面，且 PA =2，则异面直线 PC与 BD所成的角等于 （用反三角函数表示） . 答案：【 arccos 或 】 已知函数 ，若 且 ，
5、则 的取值范围是 . 答案：【 】 在 中，已知最长边 ， ， D =30，则 D = . 答案：【 D =135】 因为 ， ， D =30，由正弦定理可知，又 ，所以 或 ，当时， ，则 最大，由题意 边最大，所以 . 极坐标方程 所表示曲线的直角坐标方程是 . 答案：【 】 考点：简单曲线的极坐标方程 分析：利用半角公式得 4 =5， 2=2x+5，两边平方可得 4（ x2+y2）=4x2+20x+25，化简可得结果 解： 极坐标方程 4sin2 =5， 4 =5， 2-2cos=5， 2=2x+5，两边平方可得 4（ x2+y2） =4x2+20x+25，即 y2=5x+ ， 故答案
6、：为 y2=5x+ 若函数 与 的图像关于直线 对称，则 答案：【 】 经过抛物线 的焦点，且以 为方向向量的直线的方程是 答案：【 】 计算： . 答案：【 】 在二项式 的展开式中，含 的项的系数是 （用数字作答） . 答案：【 】 若数列 为等差数列，且 ，则 的值等于 . 答案：【 】 已知直线 平面 ，直线 在平面 内，给出下列四个命题： ； ； ； ，其中真命题的序号是 . 答案：【 ， 】 一个盒内有大小相同的 2个红球和 8个白球，现从盒内一个一个地摸取，假设每个球摸到的可能性都相同 . 若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数 的数学期望是 答案：【 】 考点：
7、离散型随机变量的期望与方差 分析：本题是一个古典概型，一个盒内有大小相同的 2个红球和 8个白球，若每次摸出后都不放回，当拿到白球后停止摸取，则摸取次数 =1， 2， 3，并求出它们的概率，根据数学期望计算公式求得即可 解：摸取次数 =1， 2， 3， 则 p（ =1） = = ， p（ =2） = = = ， p（ =3） = = ， 摸取次数 的数学 期望 E= +2 +3 = 故答案：为： 解答题 如图，用半径为 cm，面积为 cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到 0.1 cm3） 答案：解：设铁皮扇形的半径和弧长分别为 R、
8、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为 h、 r，则由题意得 R= ，由 得 ； 2 分 由 得 ； 5 分 由 得 ； 8 分 由 所以该容器最多盛水 1047.2 cm3 12 分 （说明： 用 3.14得 1046.7毫升不扣分） 已知向量 , ， . （ 1）若 ，求向量 、 的夹角 ； （ 2）若 ，函数 的最大值为 ，求实数 的值 . 答案：解：（ 1）当 时， ， 1分 所以 4分 因而 ； 6 分 （ 2） ， 7 分 10 分 因为 ，所以 11 分 当 时， ，即 ， 12 分 当 时， ，即 .13 分 所以 . 14 分 已知圆 . （ 1）设点 是圆 C上一点，求 的取值
9、范围； （ 2）如图， 为圆 C上一动点，点 P在 AM上，点 N 在 CM上，且满足 求 的轨迹的内接矩形的最大面积 . 答案：解：（文）（ 1）由题意知所求的切线斜率存在，设其方程为， 即 ； 2 分 由 得 ，解得 ， 5 分 从而所求的切线方程为 ， .6 分 （ 2） NP为 AM的垂直平分线， |NA|=|NM|.8 分 又 动点 N 的轨迹是以点 C（ -1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 .12分 且椭圆长轴长为 焦距 2c=2. 点 N 的轨迹是方程为 14 分 （理）（ 1） 点在圆 C上， 可设 ； 2 分 ， 4 分 从而 .6 分 （ 2） NP为 AM的垂直
10、平分线， |NA|=|NM|.8 分 又 动点 N 的轨迹是以点 C（ -1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆 .10 分 且椭圆长轴长为 焦距 2c=2. 点 N 的轨迹是方程为 12 分 所以轨迹 E为椭圆，其内接矩形的最大面积为 .14 分 设虚数 满足 为实常数， ， 为实数） . （ 1）求 的值； （ 2）当 ，求所有虚数 的实部和； （ 3）设虚数 对应的向量为 （ 为坐标原点）， ，如 ，求 的取值范围 . 答案：解：（ 1） ， 2 分 4 分 （或 ） （ 2） 是虚数，则 ， 的实部为 ； 当 2 .7 分 当 2 .10 分 （ 3）解： 恒成立， 由 得，当 时
11、， ；当 时， .12 分 如 则 当 . 14 分 当 16 分 设二次函数 ，对任意实数 ，有恒成立；数列 满足 . （ 1）求函数 的式和值域； （ 2）试写出一个区间 ，使得当 时，数列 在这个区间上是递增数列，并说明理由； （ 3）已知 ，是否存在非零整数 ，使得对任意 ，都有 恒成立，若存在， 求之；若不存在，说明理由 . 答案：解：（ 1）由 恒成立等价于 恒成立， 1 分 从而得： ，化简得 ，从而得 ， 所以 ， 3 分 其值域为 .4 分 （ 2）解：当 时，数列 在这个区间上是递增数列，证明如下： 设 ，则 ， 所以对一切 ，均有 ； 7 分 从而得 ，即 ，所以数列 在
12、区间 上是递增数列 10 分 注：本题的区间也可以是 、 、 等无穷多个 . 另解：若数列 在某个区间上是递增数列，则 即 7 分 又当 时， ， 对一切 ，均有 且 ， 数列 在区间 上是递增数列 .10 分 （ 3）（文科）由（ 2）知 ，从而 ； ， 即 ； 12 分 令 ，则有 且 ； 从而有 ，可得 ， 数列 是以 为首项，公比为 的等比数列， 14 分 从而得 ，即 ， ， ， ， 16 分 ， . 18 分 （ 3）（理科）由（ 2）知 ，从而 ； ， 即 ； 12 分 令 ，则有 且 ； 从而有 ，可得 ，所以数列是 为首项，公比为 的等比数列， 14 分 从而得 ，即 ， 所以 ， 所以 ，所以
