1、2011届上海市闸北区高三第一学期期末数学理卷 选择题 某人从 2010年 9月 1日起，每年这一天到银行存款一年定期 1万元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若一年定期存款利率保持不变，到 2015年 9月 1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数约为 【 】 A 11314元 B 53877元 C 11597元 D 63877元 答案： B 函数 的值域是（ ） A B C D 答案： D 我们称侧棱都相等的棱锥为等腰棱锥设命题甲： “四棱锥 是等腰棱锥 ”；命题乙： “四棱锥 的底面是长方形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面 ”那么甲是乙的（ ） A充分必要条件 B
2、充分非必要条件 C必要非充分条件 D既非充分又非必要条件 答案： C 填空题 答案： 设常数 ，以方程 的根的可能个数为元素的集合 答案： 若不等式 的解集为 ，则不等式的解集为 答案： 某班级在 5人中选 4人参加 41 00米接力如果第一棒只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒只能从甲、乙两人中产生，则不同的安排棒次方案共有 种（用数字作答） 答案： 现剪切一块边长为 4的正方形铁板，制作成一个母线长为 4的圆锥 的侧面，那么，当剪切掉作废的铁板面积最小时，圆锥 的体积为 答案： 已知两条不同的直线 和平面 给出下面三个命题： ， ； ， ； ， 其中真命题的序号有 （写出你认为所有真命题的
3、序号） 答案： 若复数 满足： ， ，（ 为虚数单位），则 答案： 设函数 与函数 的图像关于直线 对称，则当时， 答案： 如右图，矩形 由两个正方形拼成，则 的正切值为 答案： 在平行四边形 中， 与 交于点 ， 是线段 的 中点，若 ， ，则 （用 、 表示） 答案： 解答题 （满分 14分）本题有 2小题，第 1小题 6分，第 2小题 8分 已知在平面直角坐标系 中， 三个顶点的直角坐标分别为 ， （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 为锐角三角形，求 的取值范围 答案： 解：（ 1）【解一】 ， ， 若 ，则 2 分 所以， .2 分 所以，.2分 【解二】 .2 分 .2 分 .2
4、分 综上所述， .2 分 （ 2）【解一】若 为锐角，则 ，即 ，得 .2 分 若 为锐角，则 ，即 ，得 或 .2 分 若 为锐角，则 ，即 ，得 .2 分 综上所述， .2 分 【解二】用平面几何或几何的方法同样给分 （满分 15分）本题有 2小题，第 1小题 6分，第 2小题 9分 如图，在直角梯形 中， ， ， ，将 （及其内部 ）绕 所在的直线旋转一周，形成一个几何体 （ 1）求该几何体的体积 ； （ 2）设直角梯形 绕底边 所在的直线旋转角 （ ）至 ，问：是否存在 ，使得若存在，求角 的值，若不存在，请说明理由 答案： 解：（ 1）如图，作 ，则由已知，得 ， .2分 所 以，.
5、4 分 （ 2）【解一】如图所示，以 为原点，分别以线段 、 所在的直线为 轴、轴，通过 点，做垂直于平面 的直线 为 轴，建立空间直角坐标系 .1 分 由题意，得 ， ， ， 2 分 ， 若 ，则， . .4 分 得 ，与 矛盾， . .1 分 故，不存在 ，使得 . .1 分 【解二】取 的中点 ，连 ， ，则 （或其补角）就是异面直线 所成的角 . .1分 在 中， ， ， .3分 . .2分 ， . .2分 故，不存在 ，使得 . .1 分 （满分 16分）本题有 2小题，第 1小题 7分，第 2小题 9分 据测算： 2011年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是1万
6、件；如果搞促销活动，那么 该产品销售量（亦即该产品的年产量） 万件与年促销费用 万元（ ）满足 （ 为常数）已知 2011年生产该产品的前期投入需要 8万元，每生产 1万件该产品需要再投入 16万元，企业将每件该 产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍（定价不考虑促销成本） （ 1）若 2011年该产品的销售量不少于 2万件，则该产品年 促销费用最少是多少？ （ 2）试将 2011年该产品的年利润 （万元）表示为年促销费用 （万元）的函数，并求 2011年的最大利润 答案：解：（ 1）由题意可知，当 时， （万件），由可得 所以 .3分 由题意，有 ，解得 所以，则该产品年促销费用最
7、少是 1万元 .4 分 （ 2）由题意，有每件产品的销售价格为 （元）， 所以， 2011年的利润 .4 分 因为 ， ， 所以， 4 分 当且仅当 ，即 （万元）时，利润最大为 21万元 .1 分 （满分 20分）本题有 2小题，第 1小题 12分，第 2小题 8分 设 为定义域为 的函数，对任意 ，都满足： ，且当 时， （ 1）请指出 在区间 上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关定义证明你关于单调区间的结论； （ 2）试证明 是周期函数，并求其在区间 上的式 答案：略 解：（ 1）偶函数； .1 分 最大值为 、最小值为0； .1 分 单调递增区间： 单调递减区间：； .
8、1 分 零点： .1分 单调区间证明： 当 时， 设 ， ， 证明 在区间 上是递增函数 由于函数 是单调递增函数，且 恒成立， 所以 ， ， 所以， 在区间 上是增函数 .4 分 证明 在区间 上是递减函数 【证法一】因为 在区间 上是偶函数 对于任取的 ， ，有 所以， 在区间 上是减函数 .4 分 【证法二】设 ，由 在区间 上是偶函数，得 以下用定义证明 在区间 上是递减函数 .4 分 （ 2）设 ， ， 所以， 2是 周期 4分 当 时， ， 所以.4分 （满分 20分）本题有 2小题，第 1小题 12分，第 2小题 8分 已知数列 和 满足：对于任何 ，有 ，为非零常数），且 （
9、1）求数列 和 的通项公式； （ 2）若 是 与 的等差中项，试求 的值，并研究：对任意的 ，是否一定能是数列 中某两项（不同于 ）的等差中项，并证明你的结论 答案：略 （ 1）【解一】由 得， 又 ， ， 所以， 是首项为 1，公比为 的等比数列， .5 分 由 ，得 所以，当 时，.6 分 上式对 显然成立 .1 分 【解二】猜测 ，并用数学归纳法证明 .5 分 的求法如【解一】 .7 分 【解三】猜测 ，并用数学归纳法证明 .7 分 .5分 （ 2）当 时， 不是 与 的等差中项，不合题意； .1 分 当 时，由 得 ， 由 得 （可解得） . 2 分 对任意的 ， 是 与 的等差中项 .2 分 证明： ， ， .3 分 即，对任意的 ， 是 与 的等差中项
