1、2011届北京市海淀区高三第二学期第二次模拟（理科）数学题 选择题 复数 在复平面上对应的点的坐标是 A B C D 答案： D 此题为基础题 ，所以 在复平面上对应的点的坐标是 ，故选择 D 在一个正方体 中， 为正方形 四边上的动点，为底面正方形 的中心， 分别为 中点，点 为平面 内一点，线段 与 互相平分，则满足 的实数 的值有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： C 若椭圆 ： （ ）和椭圆 ：（ ） 的焦点相同且 .给出如下四个结论： 椭圆 和椭圆 一定没有公共点； ； ； . 其中，所有正确结论的序号是 A B C D 答案： B 考点：椭圆的简单性质 分析：利用两椭
2、圆有相同焦点，可知 a12-a22=b12-b22，由此可判断 正确；利用a1 b1 0， a2 b2 0可判断 正确 解：由题意， a12-b12=a22-b22， a1 a2， b1 b2， 正确； 又 a12-a22=b12-b22， a1 b1 0， a2 b2 0， 正确， 故选 B 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是 答案： C 某赛季甲、乙两名篮球运动员各 13场比赛得分情况用茎叶图表示如下： 甲 乙 9 8 8 1 7 7 9 9 6 1 0 2 2 5 6 7 9 9 5 3 2 0 3 0 2 3 7 1 0 4 根据上图，对这两名运动
3、员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是 A甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数 C甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 答案： D 若直线 的参数方程为 ，则直线 倾斜角的余弦值为 A B C D 答案： B 函数 的零点所在区间 A B C D 答案： C 已知全集 集合 , ，下图中阴影部分所表示的集合为 A B. C. D. 答案： A 填空题 已知函数 （ 1）判断下列三个命题的真假： 是偶函数； ； 当 时， 取得极小值 . 其中真命题有 _；（写出所有真命题的序号） （ 2）
4、满足 的正整数 的最小值为 _. 答案： , 9 已知数列 满足 ， ，记数列 的前项和的最大值为 ，则 . 答案： 如图，已知 的弦 交半径 于点 ，若 ， ，且 为的中点，则 的长为 . 答案： 若 ，其中 ，则实数 的值为 ； 的值为 . 答案： ， 运行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为 . 答案： 点 在不等式组 表示的平面区域内，则 的最大值为_. 答案： 解答题 已知函数 的最小正周期为 . （ ）求 的值； （ ）求函数 的单调区间及其图象的对称轴方程 . 答案：解：（ ） 2分 , 3 分 因为 最小正周期为 ,所以 ，解得 ,4 分 所以 , 5 分 所以 . 6
5、 分 （ ）分别由 ， 可得 ， 8 分 所以 ,函数 的单调增区间为 ； 的单调减区间为 10 分 由 得 . 所以， 图象的对称轴方程为 . 13 分 某商场一号电梯从 1层出发后可以在 2、 3、 4层停靠 .已知该电梯在 1层载有 4位乘客，假设每位乘客在 2、 3、 4层下电梯是等可能的 . ( ) 求这 4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的概率； ( ) 用 表示 4名乘客在第 4层下电梯的人数，求 的分布列和数学期望 . 答案：解： ( ) 设 4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的事件为,1 分 由题意可得每位乘客在第 2层下电梯的概率都是 ， 3分 则 . 6 分
6、( ) 的可能取值为 0,1,2,3,4, 7 分 由题意可得每个人在第 4层下电梯的概率均为 ，且每个人下电梯互不影响， 所以， . 9 分 0 1 2 3 4 11 分 . 13 分 如图，四棱锥 的底面是直角梯形， ， ， 和是两个边长为 的正三角形， ， 为 的中点， 为 的中点 ( )求证： 平面 ； ( )求证： 平面 ； ( )求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ ）证明：设 为 的中点，连接 ，则 ， ， ， 四边形 为正方形， 为 的中点， 为 的交点， ， ， .2 分 ， ， ， 在三角形 中， ， ， 4 分 ， 平面 ； 5 分 ( )方法 1：连接 ， 为 的中
7、点， 为 中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 . 9 分 方法 2：由 ( )知 平面 ，又 ，所以过 分别做 的平行线，以它们做 轴，以 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得： ， ， ， ， ， ， 则 ， ， ， . 平面 ， 平面 ， 平面 ； 9 分 ( ) 设平面 的法向量为 已知函数 . . （ I）当 时，求曲线 在 处的切线方程（ ）； （ II）求函数 的单调区间 . 答案：解：（ I）当 时， ， 2 分 所以 ， ， 4 分 所以曲线 在 处的切线方程为 .5 分 （ II）函数 的定义域为 ， 6分 当 时， ，在 上 ，在 上 所以 在 上单调递增，在
8、上递减； 8 分 当 时，在 和 上 ，在 上 所以 在 和 上单调递增，在 上递减； 10 分 当 时，在 上 且仅有 ， 所以 在 上单调递增； 12 分 当 时，在 和 上 ，在 上 所以 在 和 上单调递增，在 上递减 14 分 在平面直角坐标系 中，设点 ，以线段 为直径的圆经过原点 . （ ）求动点 的轨迹 的方程； （ ）过点 的直线 与轨迹 交于两点 ，点 关于 轴的对称点为，试判断直线 是否恒过一定点，并证明你的结论 . 答案：解：（ I）由题意可得 ， 2 分 所以 ，即 4 分 即 ，即动点 的轨迹 的方程为 5 分 （ II）设直线 的方程为 , ，则 . 由 消 整理
9、得 ， 6 分 则 ，即 . 7 分 . 9 分 直线 12 分 即 所以，直线 恒过定点 . 13 分 对于数列 ，若满足 ，则称数列 为“0-1数列 ”.定义变换 ， 将 “0-1数列 ” 中原有的每个 1都变成 0， 1，原有的每个 0都变成 1， 0. 例如 :1,0,1，则 设 是 “0-1数列 ”，令. ( ) 若数列 ： 求数列 ； ( ) 若数列 共有 10项，则数列 中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由； ( )若 为 0， 1，记数列 中连续两项都是 0的数对个数为 ， .求关于 的表达式 . 答案：解： ( )由变换 的定义可得 2分 4 分 ( ) 数列 中连续
10、两项相等的数对至少有 10对 5 分 证明：对于任意一个 “0-1 数列 ” ， 中每一个 1 在 中对应连续四项 1,0,0,1，在 中每一个 0在 中对应的连续四项为 0,1,1,0， 因此，共有 10项的 “0-1数列 ” 中的每一个项在 中都会对应一个连续相等的数对， 所以 中至少有 10对连续相等的数对 . 8 分 ( ) 设 中有 个 01数对， 中的 00数对只能由 中的 01数对得到，所以 ， 中的 01数对有两个产生途径： 由 中的 1得到； 由 中 00得到， 由变换 的定义及 可得 中 0和 1的个数总相等，且共有 个， 所以 ， 所 以 ， 由 可得 ， 所以 ， 当 时， 若 为偶数， 上述各式相加可得 ， 经检验， 时，也满足 若 为奇数， 上述各式相加可得 ， 经检验， 时，也满足 所以 .13 分
