1、2011届吉林省吉林一中高三冲刺考试数学文卷 选择题 若全集 U=R，集合 = （ ） A（ -2， 2） BCD答案： A 对 ，运算 “ ”、 “ ”定义为： ，则下列各式中恒成立的是 （ ） A B C D 答案： C 设 ，则不等式 的解集为 （ ） A B CD（ 1， 2） 答案： C 考点：分段函数的式求法及其图象的作法 分析：分段函数在定义域的不同区间上都有可能使得 f（ x） 2成立，所以分段讨论 解答：解：令 2ex-1 2（ x 2）， 解得 1 x 2 令 log3（ x2-1） 2（ x2） 解得 x为（ ， +） 选 C 点评：本题考查分段函数不等式的求解方法 如图
2、，在四面体 ABCD中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，不一定成立的为 A AC BE B AC/截面 PQMN C异面直线 PM与 BD所成的角为 45 D AC=BD 答案： D 考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系 分析：首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把 AC、 BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断 解答：解：因为截面 PQMN 是正方形，所以 PQ MN、 QM PN， 则 PQ 平面 ACD、 QM 平面 BDA， 所以 PQ AC， QM BD， 由 PQ QM可得 AC BD，故 A正
3、确； 由 PQ AC 可得 AC 截面 PQMN，故 B正确； 异面直线 PM与 BD所成的角等于 PM与 QM所成的角，故 C正确； 综上 D是错误的 故选 D 点评：本题主要考查线面平行的性质与判定 一艘海轮从 A 处出发 ，以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50方向直线航行，30分钟后到达 B处，在 C处有一座灯塔，海轮在 A处观察灯塔，其方向是东偏南 20，在 B处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B、 C两点间的距离是 （ ） A 海里 B 海里 C 海里 D 海里 答案： A 考点：解三角形的实际应用 专题：计算题 分析：先根据题意画出图象确定 BAC、 ABC 的值，进而可
4、得到 ACB的值，最后根据正弦定理可得到 BC 的值 解答： 解：如图，由已知可得， BAC=30， ABC=105， AB=20，从而 ACB=45 在 ABC中，由正弦定理， 得 BC= sin30=10 故选 A 点评：本题主要考查正弦定理的应用考查对基础知识的掌握程度 设函数 为奇函数， = （ ） A 0 B 1 CD 5 答案： C 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为 则判断框中应填入的条件是 （ ） A T4 B T3 D T3 答案： B 考点：程序框图 解答：解：程序运行过程中，各变量值如下表所示： 是否继续循环 i T S 循环前 /1 0 0 第一圈 是 2
5、1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 4 3 第四圈 是 5 4 第五圈 否 即 T=4时退出循环 故继续循环的条件应为： T 4 故选 B 点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有： 分支的条件 循环的条件 变量的赋值 变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误 如图所示，墙上挂有边长为 a的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为 的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）
6、 A B C D与 a的值有关联 答案： C 考点：几何概型 专题：计算题 分析：欲求击中阴影部分的概率，则可先求出击中阴影部分的概率对应的平面区域的面积，再根据几何概型概率公式易求解 解答：解：利用几何概型求解， 图中阴影部分的面积为： a2-( )2， 则它击中阴影部分的概率是： P= =1- ， 故选 C 点评：本题主要考查了几何图形的面积、几何概型简单地说，如果 每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的式为 （ ） A B C D 答案： B 已知 且 ，则 在区间 上（
7、） A有三个零点 B有两个零点 C有一个零点 D不能确定 答案： C 已知命题 ；和命题 则下列命题为真的是（ ） A B C D 答案： C 解：命题 P： x R， x20；是一个真命题， 命题 q： x Q， x2=3，是一个假命题， p q是一个假命题， 非 p q是一个假命题， p 非 q是一个真命题， 非 p 非 q是一个假命题， 故选 C 若复数 是纯虚数，则实数 a的值为（ ） A -3 B 3 C -6 D 6 答案： B 填空题 在 中， 角 所对的边分别为 ，若 ，则 边上的中线长为 * 答案： 若关于 的方程 有两个相异的实根，则实数 的取值范围是 * 答案： 某校 为
8、了解同三同学寒假期间学习情况，抽查了 100 名同学，统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布 直方图（如图），则这 100名同学中学习时间在 6 到 8小时内的人数为 人。 答案： 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示， 则其侧面积等于 答案： 解答题 （本小题共 10分）已知向量 ， ，函数（ 1）求 的最小正周期； （ 2）若 ，求 的最大值和最小值 答案： .解：（ 1） -3分 的最小正周期 -5分 （ 2） ，当 ，即 时， 有最大 值 2； -7分 当 ，即 时， 有最小值 1 -10分 （本小题满分 12分） 在棱长为 1的正方体 中， 分别是棱 的中点 （ 1）证明：
9、平面 ； （ 2）证明： ； （ 3）求三棱锥 的体积 答案： （本小题满分 12分） 三人独立破译同一份密码已知三人各自破译出 密码的概率分别为错误！不能通过编辑域代码创建对象。且他们是否破译出密码互不影响 （ ）求恰有二人破译出密码的概率； （ ） “密码被破译 ”与 “密码未被破译 ”的概率哪个大？说明理由 答案：解：记 “第 i个人破译出密码 ”为事件 A1（ i=1,2,3），依题意有 且 A1， A2， A3相互独立 （ ）设 “恰好二人破译出密码 ”为事件 B，则有 B A1 A2 A1 A3+ A2 A3且 A1 A2 ， A1 A3， A2 A3 彼此互斥 高考资源网于是 P
10、（ B） =P（ A1 A2 ） +P（ A1 A3） +P（ A2 A3） 答：恰好二人破译出密码的概率为 6 分 （ ）设 “密码被破译 ”为事件 C， “密码未被破译 ”为事件 D D ，且 ， ， 互相独立，则有 P（ D） P（ ） P（ ） P（ ） 而 P（ C） 1-P（ D） ，故 P（ C） P（ D）。 12分 （本小题满分 12分） 设数列 的各项均为正数，若对任意的正整数 ，都有 成等差数列，且 成等比数列 （ ）求证数列 是等差数列； （ ）如果 ，求数列错误！不能通过编辑域代码创建对象。的前错误！不能通过编辑域代码创建对象。项和。 答案：略 （本小题共 12分）
11、设 ， 点在 轴的负半轴上，点 在 轴上，且 （ 1）当点 在 轴上运动时，求点 的轨迹 的方程； （ 2）若 ，是否存在垂直 轴的直线 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由 答案：解：（ 1）（解法一） ，故 为 的中点 设 ，由 点在 轴的负半轴上，则 又 ， 又 ， 所以，点 的轨迹 的方程为 （解法二） ，故 为 的中点 设 ，由 点在 轴的负半轴上，则 -1分 又由 ，故 ，可得 -2分 由 ，则有 ，化简得： -3分 所以，点 的轨迹 的方程为 -4分 （ 2）设 的中点为 ，垂直于 轴的直线方程为 ， 以 为直径的圆交 于 两点， 的中点为 ， -9分 -11分 所以，令 ，则对任意满足条件的 ， 都有 （与 无关），即 为定值 -12分 （本小题共 12分） 设函数 ，方程 有唯一解，其中实数 为常数， ，（ 1）求 的表达式； （ 2）求 的值； （ 3）若 且 ，求证： 答案：解：（ 1）由 ，可化简为 -2分 当且仅当 时，方程 有唯一解 -3分 从而 -4分 （ 2）由已知 ，得 -5分 ，即 数列 是 以 为首项， 为公差的等差数列 -6分 ， ， ，即 -7分 故 -8分 （ 3）证明： ， -10分 -11分 故
