1、2011届广东省高三高考全真模拟试卷与答案数学理卷一 选择题 已知集合 ，则集合 = A B C D 答案： D 规定记号 “ ”表示一种运算，即 ，若，则 = A B 1 C 或 1 D 2 答案： B 成等差数列是 成立的 A充分非必要条件能 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 给出计算 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是 A B C D 答案： A 已知直线 、 ,平面 ，则下列命题中； 若 ， ,则 若 ， ,则 若 ， ,则 若 ， , ,则 其中，真命题有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B 已知 ,且 , A奇函数
2、 B偶函数 C非奇非偶函数 D奇偶性与 有关 答案： A 已知向量 ， ，若向量 ，则 A 2 B C 8 D 答案： D 的值是 A 1 B C D 答案： C 填空题 （坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（ 1， 1）为圆心， 1为半径的圆的方程是 答案： （几何证明选讲选做题）如右图，四边形 ABCD内接 于 ， BC是直径， MN切 于 A， ， 则 答案： 已知数列 满足 , ,则 ， 该数列的通项公式 答案： , 一个容量为 20的样本，数据的分组及各组的频数如下表： (其中 x，y N*) 分 /组 10，20) 20，30) 30，40) 40，50) 50，60) 60
3、，70) 频 数 2 x 3 y 2 4 则样本在区间 10， 50 ) 上的频率 答案： 的展开式中的常数项是 （用数字作答） 答案： -20. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 答案： . 在约束条件 下，目标函数 = 的最大值为 答案： 解答题 （本小题满分 12分）在 ABC中，角 A、 B、 C所对边分别为 a， b， c，已知 ，且最长边的边长为 l， 求：（ 1）角 C的大小；（ 2） ABC最短边的长 答案：解：（ 1） tanC tan-（ A B） -tan（ A B） 2 分 4 分 ， 6分 （
4、2） 0tanBtanA， A.B均为锐角 , 则 BA，又 C为钝角， 最短边为 b ，最长边长为 c,8 分 由 ，解得 10 分 由 ， 12 分 （本小题满分 12分） 已知函数 ，在函数 图像上一点 处切线的斜率为 3 （ 1）若函数 在 时有极值，求 的式； （ 2）若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围 答案：解：由 求导数得 ， 由在函数 图像上一点 处切线的斜率为 3， 知 ，即 ， 化简得 2 分 （ 1） 因为 在 时有极值， 所以 ， 即 由 联立解得 ， 6 分 （ 2） ， 由 知 ， 在区间 上单调递增， 依题意 在 上恒有 ， 8 分 即 在 上恒成立， 下
5、面讨论函数 的对称轴： 在 时， ， 9 分 在 时， ， 无实数解 10 分 在 时， ， 11 分 综合上述讨论可知， 的取值范围是 12 分 （本小题满分 14分） 一个暗箱里放着 6个黑球、 4个白球 （ 1）依次取出 3个球，不放回，若第 1次取出的是白球，求第 3次取到黑球的概率； （ 2）有放回地依次取出 3个球，若第 1次取出的是白球，求第 3次取到黑球的概率； （ 3）有放回地依次取出 3个球，求取到白球个数 的分布列和期望 答案：解：设事件 A为 “第 1次取到白球 ”， B为 “第 2次取到白球 ”， C为 “第 3次取到白球 ”，则 （ 1） 4 分 （ 2）因为每次取
6、出之前暗箱的情况没有变化， 所以每次取球互不影响， 所以 8 分 （ 3）设事件 D为 “取一次球，取到白球 ”， 则 ， ， 10 分 这 3次取 出球互不影响， 则 ， 12 分 ， 14 分 （本 小题满分 14分） 如右图所示，四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ， ， ， ， 分别为 、 、 的中点（ 1）求证： ； （ 2）求二面角 D-FG-E的余弦值 答案： （ 1）证法 1： 平面 ， 平面 ， 又 为正方形， ， 平面 4 分 平面 ， ， 6 分 证法 2：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， 4 分 ， 6 分 （ 2）解法 1：以 为原
7、点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， 8 分 设平面 DFG的法向量为 ， 令 ，得 是平面 的一个法向量 10 分 设平面 EFG的法向量为 ， 令 ，得 是平面 的一个法向量 12 分 设二面角 的平面角为 ，则 所以二面 角 的余弦值为 14 分 解法 2：以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 8 分 过 作 的垂线，垂足为 ， 三点共线， （本小题满分 14分） 已知函数 （ 为自然对数的底数） （ 1）求函数 的最小值； （ 2）若 ，证明： 答案： （ 1）解： ， 令 ，得 当 时， ，当 时， 4 分 函数
8、 在区间 上单调递减， 在区间 上单调递增 当 时， 有最小值 1 6 分 （ 2）证明：由（ 1）知，对任意实数 均有 ，即 令 （ ），则 ， 9 分 即 12 分 ， 14 分 （本小题满分 14分） 已知抛物线 ： 和点 ，若抛物线 上存在不同两点 、 满足 （ 1）求实数 的取值范围； （ 2）当 时，抛物线 上是否存在异于 、 的点 ，使得经过 、 、三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由 答案： 解法 1：（ 1）不妨设 A ， B ，且 ， ， ， 4 分 （ ），即 ， ，即 的取值范围为 6 分 （ 2）当 时，由（ 1）求得 . 的坐标分别为 . 假设抛物线 上存在点 （ 且 ）， 8 分 使得经过 . . 三点的圆和抛物线 在点 处有相同的切线 设经过 . . 三点的圆的方程为 ， 则 整理得 9 分 函数 的导数为 ， 抛物线 在点 处的切线的斜率为 ， 经过 . . 三点的圆 在点 处的切线 斜率为 10 分 ， 直线 的斜率存在 圆心 的坐标为 ， ， 即 12 分 ，由 . 消去 ，得 即 ， 故满足题设的点 存在，其坐标为 14 分 解法 2：（ 1）设 ， 两点的坐标为 ，且 。 ，可得 为 的中点， 即 2 分 显然直线 与 轴不垂直， 设直线 的方程为 ， 即 ， 3 分 将 代入 中， 得
