1、2011届江苏省南通市高三第一次调研测试数学文卷 填空题 曲线 在点（ 1,-1）处的切线方程是 答案： x-y-2=0 在平面直角坐标系 xOy中，设 A、 B、 C是圆 x2+y2=1上相异三点，若存在正实数 ，使得 = ，则 的取值范围是 答案： 若实数 x， y， z， t满足 ，则 的最小值为 答案： 在平面直角坐标系 xOy中，设点 、 ，定义：已知点 ，点 M为直线 上的动点，则使取最小值时点 M坐标是 答案： 在平面直角坐标系 xOy中，已知 A、 B分别是双曲线 的左、右焦点， ABC 的顶点 C在双曲线的右支上，则 的值是 答案： 定义在 R上的函数 满足： ，当 时，下列
2、四个不等关系： ； ； 其中正确的个数是 答案： 设 是空间两个不同的平面， m， n是平面 及 外的两条不同直线从“ m n； ； n ； m ”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题： （用代号表示） 答案： （或 ） 设等差数列 的公差为正数，若 则 答案： 在如图所示的算法流程图中，若输入 m = 4， n = 3，则输出的 a= 答案： 设 和 都是元素为向量的集合，则 MN= 答案： 某教师出了一份三道题的测试卷，每道题 1分，全班得 3分、 2分、 1分和0分的学生所占比例分别为 30、 50、 10和 10，则全班学生的平均分为 分 答案： 把一个体积为
3、 27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为 1 cm3的27 个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 答案： 命题 “若实数 a满足 ，则 ”的否命题是 命题（填 “真 ”或 “假 ”） 答案：真 若 （ R， i为虚数单位），则 ab= 答案： 解答题 （本小题满分 16分） 设定义在区间 x1， x2上的函数 y=f(x)的图象为 C， M是 C上的任意一点， O为坐标原点，设向量 = ， ， =(x， y)，当实数 满足 x= x1+(1-) x2时，记向量 = +(1-) 定义 “函数 y=f(x)在区间 x1，x2上可在标准 k下线性近似 ”是指 “
4、 k恒成立 ”，其中 k是一个确定的正数 （ 1）设函数 f(x)=x2在区间 0， 1上可在标准 k下线性近似，求 k的取值范围； （ 2）求证：函数 在区间 上可在标准 k= 下线性近似 （参考数据： e=2.718， ln(e-1)=0.541） 答案：【解】（ 1）由 = +(1-) 得到 = ， 所以 B， N， A三点共线， 2 分 又由 x= x1+(1-) x2与向量 = +(1-) ，得 N与 M的横坐标相同 4分 对于 0， 1上的函数 y=x2， A(0， 0)， B(1， 1)， 则有 ，故 ； 所以 k的取值范围是 6 分 （ 2）对于 上的函数 ， A( )， B(
5、 )， 8 分 则直线 AB的方程 ， 10 分 令 ，其中 ， 于是 ， 13 分 列表如下： x em (em， em+1-em) em+1-em (em+1-em， em+1) em+1 + 0 - 0 增 减 0 则 ，且在 处取得最大值， 又 0.123 ，从而命题成立 16 分 （本小题满分 16分） 如图，实线部分的月牙形公园是由圆 P 上的一段优弧和圆 Q 上的一段劣弧围成，圆 P和圆 Q的半径都是 2km，点 P在圆 Q上，现 要在公园内建一块顶点都在圆P上的多边形活动场地 （ 1）如图甲，要建的活动场地为 RST，求场地的最大面积； （ 2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形
6、 ABCD，求场地的最大面积 答案：【解】（ 1）如图，过 S作 SH RT于 H， S RST= 2 分 由题意， RST在月牙形公园里， RT与圆 Q只能相切或相离； 4 分 RT左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， 则有 RT4， SH2， 当且仅当 RT切圆 Q于 P时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立 此时，场地面积的最大值为 S RST= =4（ km2） 6 分 （ 2）同 (1)的分析，要使得场地面积最大， AD左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形， AD必须切圆 Q于 P，再设 BPA= ，则有 8 分 令 ，则 11分 若 ， ， 又 时， ， 时， ， 14 分
7、 函数 在 处取到极大值也是最大值， 故 时，场地面积取得最大值为 （ km2） 16 分 （本小题满分 14分） 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 E： 的左、右顶点分别为 、 ，上、下顶点分别为 、 设直线 的倾斜角的正弦值为 ，圆 与以线段 为直径的圆关于直线 对称 （ 1）求椭圆 E的离心率； （ 2）判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由； （ 3）若圆 的面积为 ，求圆 的方程 答案：【解】（ 1）设椭圆 E的焦距为 2c（ c0）， 因为直线 的倾斜角的正弦值为 ，所以 ， 于是 ，即 ，所以椭圆 E的离心率 4 分 （ 2）由 可设 ， ，则 ， 于是 的方程为： ， 故
8、的中点 到 的 距离 ， 6 分 又以 为直径的圆的半径 ，即有 ， 所以直线 与圆 相切 8 分 （ 3）由圆 的面积为 知圆半径为 1，从而 ， 10 分 设 的中点 关于直线 ： 的对称点为 ， 则 12 分 解得 所以，圆 的方程为 14 分 （本小题满分 14分） 已知函数 （ 1）设 ，且 ，求 的值； （ 2）在 ABC中， AB=1， ，且 ABC的面积为 ，求sinA+sinB的值 答案：【解】（ 1） = =3 分 由 ，得 ， 5 分 于是 ，因为 ，所以 7 分 （ 2）因为 ，由（ 1）知 9 分 因为 ABC的面积为 ，所以 ，于是 . 在 ABC中，设内角 A、
9、B的对边分别是 a， b. 由余弦定理得 ，所以 由 可得 或 于是 12 分 由正弦定理得 ， 所以 14 分 （本小题满分 14分） 如图，平面 平面 ，点 E、 F、 O分别为线段 PA、 PB、 AC的中点，点G是线段 CO的中点， ， 求证： （ 1） 平面 ； （ 2） 平面 答案：由题意可知， 为等腰直角三角形， 为等边三角形 2 分 （ 1）因为 为边 的中点，所以 ， 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，所以 面 5 分 因为 平面 ，所以 ， 在等腰三角形 内， ， 为所在边的中点，所以 ， 又 ，所以 平面 ； 8 分 （ 2）连 AF交 BE于 Q，连 QO 因为
10、 E、 F、 O分别为边 PA、 PB、 PC的中点， 所以 ，且 Q是 PAB的重心， 10 分 于是 ，所以 FG/QO. 12 分 因为 平面 EBO， 平面 EBO，所以 平面 14 分 【注】第（ 2）小题亦可通过取 PE中点 H，利用平面 FGH/平面 EBO证得 . (本小题满分 16分 ) 已知数列 满足 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）对任意给定的 ，是否存在 （ ）使 成等差数列？若存在，用 分别表示 和 （只要写出一组）；若不存在，请说明理由； （ 3）证明：存在无穷多个三边成等比数列且互不相似的三角形，其边长为 答案：【解】（ 1）当 时， ； 当 时， ， 所以
11、 ； 综上所述， 3 分 （ 2）当 时，若存在 p， r使 成等差数列，则 ， 因为 ，所以 ，与数列 为正数相矛盾，因此，当 时不存在； 5 分 当 时，设 ，则 ，所以 ， 7 分 令 ，得 ，此时 ， ， 所以 ， ， 所以 ； 综上所述，当 时，不存在 p， r；当 时，存在 满足题设 . 10 分 （ 3）作如下构造： ，其中 ， 它们依次为数列 中的第 项，第 项，第项 12 分 显然它们成等比数列，且 ， ，所以它们能组成三角形 由 的任意性，这样的三角形有无穷多个 14 分 下面用反证法证明其中任意两个三角形 和 不相似： 若三角形 和 相似，且 ，则 ， 整理得 ，所以 ，这与条件 相矛盾， 因此，任意两个三角形不相似故命题成立 16 分
