1、2011届河北省冀州中学高三下学期开学考试数学理卷 选择题 已知集合 ，其中 ，则下列属于 M的元素是 A B C D 答案： D 考点：元素与集合关系的判断 专题：计算题 分析：根据 i的性质，对 n分 4种情况讨论，分别计算 n=4k、 n=4k+1、 n=4k+2、n=4k+3，求出集合 M，再计算选项的值，判定是否属于集合 M，可得答案： 解答：解：根据题意， M= m|m=in， n N，中， n=4k时， in=1， n=4k+1时， in=i， n=4k+2时， in=-1， n=4k+3时， in=-i， M=-1， 1， i， -i 选项 A中（ 1-i） +（ 1+i） =
2、2 M， 选项 C中（ 1-i）（ 1+i） =2 M， 选项 D中 =-i M 选项 B中（ 1+i） -（ 1-i） =2i M 故选 D 点评：本题考查虚数单位 i的计算，注意要分 4种情况进行讨论，进而计算，属于基础题 设 ，若 有且仅有三个解，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： D 由 0 到 9 这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有 A 720个 B 684个 C 648个 D 744个 答案： D 解：当公差是 1时， 千位、百位、十位上的数字可以是： 012， 123， 234， 345， 456， 567，
3、 678，789， 当中间三位是 012时，可以组成数字 A72=42， 当中间数字是 123， 234， 345， 456， 567， 678， 789 时，可以组成 766=252， 当公差是 2时， 千位、百位、十位上的数字可以是： 024， 135， 246， 357， 468， 579 这样共组成 42+566=222， 当公差是 3时， 千位、百位、十位上的数字可以是： 036， 147， 258， 369 可以组成数字的个数是 42+366=150， 当公差是 4时， 千位、百位、十位上的数字可以是： 048， 159 可以组成数字的个数是 42+36=78， 根据分类计数原理知
4、共有 42+252+222+150+78=744， 故选 D 已知正项等比数列 若存在两项 、 使得，则 的最小值为 A B C D不存在 答案： A 考点：等比数列的通项公式；基本不等式 专题：计算题 分析：把所给的数列的三项之间的关系，写出用第五项和公比来表示的形式，求出公比的值，整理所给的条件，写出 m， n之间的关系，用基本不等式得到最小值 解答：解： a7=a6+2a5， a5q2=a5q+2a5， q2-q-2=0， q=2， 存在两项 am， an使得 =4a1， aman=16a12， qm+n-2=16， m+n=6 + = （ m+n）（ + ） = (5+ + ) (5+
5、4)= 故选 A 点评：本题考查等比数列的通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和 已知三棱锥 S-ABC中，底面 ABC为边长等于 2的等边三角形， SA垂直于底面 ABC， =3，那么直线 AB与平面 SBC所成角的正弦值为 A B C D 答案： D 考点：直线与平面所成的角 专题：计算题 分析：由图，过 A作 AE垂直于 BC交 BC于 E，连接 SE，过 A作 AF垂直于SE交 SE于 F，连 BF，由题设条件证出 ACF即所求线面角由数据求出其正弦值 解答： 解：过 A作 AE垂直于 B
6、C交 BC于 E，连接 SE，过 A作 AF垂直于 SE交 SE于 F，连 BF， 正三角形 ABC， E为 BC中点， BC AE， SA BC， BC 面 SAE， BC AF， AF SE， AF 面 SBC， ABF为直线 AB与面 SBC所成角，由正三角形边长 2， AE= ， AS=3， SE=2 ， AF= ， sin ABF= ； 故选 D 点评：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角 设 O为坐标原点，点 A（ 1， 1），若点 则取得最小值时，点 B的个数是 A 1 B 2 C 3 D无数 答案： B 已知 存在 ，使 ； 对任意 ，恒有 。 若 为假
7、命题，则实数 m的取值范围为 A B C D 答案： A 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 等于 A 2 B -2 C 1 D -1 答案： C 已知曲线 ，点 A（ 0， -2）及点 B（ 3， a），从点 A观察点 B，要使视线不被 C挡住，则实数 a的取值范围是 A（ -， 10） B（ 10， ） C（ -， 4） D（ 4， ） 答案： A 在棱长为 1的正四面体 ABCD中， E是 BC的中点，则 A 0 BC D 答案： D 已知函数 ，则实数 a等于 A B C 2 D 9 答案： C 已知 等于 A B C D 答案： D 填空题 若 是等差数列 , 是互不相等的正整数
8、，则有： ，类比上述性质，相应地，对等比数列有 答案： 过双曲线 (a0,b0)的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足恰好落在曲线 上，则双曲线的离心率为 。 答案： 已知二次函数 y=f(x)的图像 为开口向下的抛物线，且对任意 x R都有f(1+x)=f(1-x)若向量 ， ，则满足不等式m取值范围 。 答案： 不等式 的解集为 。 答案： 解答题 （本小题满分 10分） 在 中， 、 、 分别为角 A、 B、 C的对边，且 ， ， (其中 ) ( )若 时，求 的值； ( )若 时，求边长 的最小值及判定此时 的形状。 答案： (1)2 (2) 为直角三角形 （本小题满分 12分） 某大学对
9、参加了 “世博会 ”的该校志愿者实施 “社会教育实践 ”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大 学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予 0.5个学分；考核为优秀，授予 1个学分。假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为 、 、 ，他们考核所得的等次相互独立。 （ ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率； （ ）记这这次考核中 甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量 x，求随机变量 x的分布列和数学期望 Ex。 答案：略 （本小题满分 12分） 如 图，已知四棱锥 ，底面 为菱形， 平面 ， 分别是 的中点 （ ）证明： ； （ ）若 为
10、 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值为 ，求二面角 的余弦值。 答案： (1)略 (2) （本小题满分 12分） 已知数列 满足 ， ，设数列 的前 n项和为 ，令 。 （ ）求数列 的通项公式； （ ）求证： 。 答案： (1) (2)略 （本小题满分 12分） 设椭圆 C1： 的左、 右焦点分别是 F1、 F2，下顶点为 A，线段 OA的中点为 B（ O为坐标原点），如图若抛物线 C2： 与 y轴的交点为 B，且经过 F1， F2点。 （ ）求椭圆 C1的方程； （ ）设 M（ 0， ）， N为抛物线 C2上的一动点，过点 N作抛物线 C2的切线交椭圆 C1于 P、 Q两点，求 面积的
11、最大值。 答案： (1) (2) （ ）设 N（ ），由于 知直线 PQ的方程为： 即 4 分 代入椭圆方程整理得： , = , , , 故 7 分 设点 M到直线 PQ的距离为 d，则 9 分 所以， 的面积 S 11 分 当 时取到 “=”，经检验此时 ，满足题意 综上可知， 的面 积的最大值为 12 分 （本小题满分 12分） 已知 A、 B、 C是直线 l上的三点， O是直线 l外一点，向量 满足 f(x) 2f(1) -ln(x 1) 。 （ ）求函数 y f(x)的表达式； （ ）若 x0，证明： f(x) ； （ ）若不等式 x2f(x2) m2-2m-3对 x -1,1恒成立，求实数 m的取值范围。 答案： (1) (2)略 (3)
