1、2011届河南省卫辉市高三 2月月考数学理卷 选择题 设全集 U=R， A= ，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A B C D 答案： B ，因为 是增函数，所以 ，故 ，阴影部分表示的集合为 = 下列命题中不正确命题的个数是（ ） 经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行； 已知平面 、 ，直线 a、 b，若 ， ，则 ； 有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱； 四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱； 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； 底面是等边三角形， APB BPC CPA，则三棱锥 P-ABC是正三棱锥 . A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A
2、曲线 与直线 有两个交点时，实数 k的取值范围是 （ ） A B C D 答案： A 已知定义域为 R的函数 f（ x）满足 f（ -x） = -f（ x+4），当 x2时， f（ x）单调递增，如果 x1+x24且（ x1-2）（ x2-2） 0，则 f（ x1） +f（ x2）的值（ ） A恒小于 0 B恒大于 0 C可能为 0 D可正可负 答案： A 的相反数是 ( ) A 4 B C D 答案： A 表面积为 的球面上有三点 A、 B、 C， ACB 60， AB ，则球心到截面 ABC的距离及 B、 C两点间球面距离最大值分别为（ ） A 3， B ， C ， D 3， 答案： C
3、考点：球面距离及相关计算 专题：计算题 分析：设出 AD，然后通过球的直径求出 AD，解出 AOB，可求 A， B两点的球面距离 解答：解：根据题意画出示意图，如图 表面积为 16的球的半径 R=2， 设 ABC所在小圆的半径为 r， 在 ABC中，由正弦定理得： 2r=AB :sin ACB = : sin60 =2， r=1 在直角三角形 AOQ 中， OQ= ， 则球心到截面 ABC 的距离为： ； 当点 C在 BQ 的延长线上时， B、 C两点间球面距离最大， 在直角三角形 BOQ 中， BO=2， BQ=1， BOQ=30， B、 C两点间球面距离最大值为： BOCR= 故选 C 点
4、评：本题考查学生的空间想象能力，以及学生对球面上的点的距离求解，是中档题球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度（大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆） 我们把这个弧 长叫做两点的球面距离 如图， P为 AOB所在平面上一点，向量 ，且 P在线段 AB的垂直平分线上，向量 。若 =3， =2，则 的值为 A 5 B 3 CD 答案： C 已知函数 y= 的最大值为 M,最小值为 m,则 的值为（ ） A B C D 答案： C 已知点 在曲线 = 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ( ) A 0, ) B C D 答案： D 在 ABC
5、中，内角 A,B,C的对边分别是 a,b,c，若 ，则角 A=（ ） . A B C D 答案： A 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则过点 和N*)的直线的斜率是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 填空题 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为的直线与 相交于 两点若 ，则 答案： 若直线 、 N 两点，且 M、 N 两点关于直线 对称，则不等式组 表示的平面区域的面积是 答案： 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为 1，则实数 c的取值范围是 _ _ 答案：（ -13， 13） 函数 的图像恒过定点 ，若点 在直线上，则
6、的最小值为 答案： 解答题 (本小题满分 12分） 已知： （ ） 求：（ 1）函数 的最大值和最小正周期； （ 2）函数 的单调递增区间 答案：解：（ 1） 2分 4 分 时， 取得最大值 ， 6 分 最小正周期为 8 分 （ 2）当 10 分 即 时函数为增函数 11 分 原函数的递增区间是 1 2分 （本小题满分 12分） 某菜园要将一批蔬菜用汽车从所在城市甲运至亚运村乙 ,已知从城市甲到亚运村乙只有两条公路 ,且运费由菜园承担 . 若菜园恰能在约定日期 ( 月 日 )将蔬菜送到 ,则亚运村销售商一次性支付给菜园20万元 ; 若在约定日期前送到 ,每提 前一天销售商将多支付给菜园 1万元
7、 ; 若在约定日期后送到 ,每迟到一天销售商将少支付给菜园 1万元 . 为保证蔬菜新鲜度 ,汽车只能在约定日期的前两天出发 ,且只能选择其中的一条公路运送蔬菜 ,已知下表内的信息： 统计信息 汽车行 驶路线 不堵车的情况下到达亚运村乙所需时间 (天 ) 堵车的情况下到达亚运村乙所需时间 (天 ) 堵车的 概率 运费 (万元 ) 公路 1 2 3 公路 2 1 4 (注 :毛利润 销售商支付给菜园的费用 运费 ) ( ) 记汽车走公路 1时菜园获得的毛利润为 (单位 :万元 ),求 的分布列和数学期望 ； ( ) 假设你是菜园的决策者 ,你选择哪条公路运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多 答案：
8、解 : (1)汽车走公路 1时 ,不堵车时菜园获得的毛利润万元 ; 堵 车时菜园获得的毛利润 万元 ; 汽车走公路 1时菜园获得的毛利润 的分布列为 4 分 万元 6 分 （ 2）设汽车走公路 2时菜园获得的毛利润为 ， 不堵车时菜园获得的毛利润 万元 ; 堵车时菜园获得的毛利润 万元 ; 汽车走公路 1时菜园获得的毛利润 的分布列为 9 分 万元 11 分 选择公路 2运送蔬菜有可能让菜园获得的毛利润更多 12 分 （本小题满分 14分） 如图，四棱锥 的底面 为菱形， 平面 ， 、 分别为 、 的中点。 （ I）求证： 平面 ； （ ）求三棱锥 的体积； （ ）求平面 与平面 所成的锐二面
9、角大小的余弦值。 答案：设平面 PBC的法向量为 ， 由 取 得 11 分 13 分 平面 PAD与平面 PBC所成的锐二面角大小的余弦值为 14 分 证法二：由（ I）知 平面 平面 ， 平面 平面 9 分 又 平面 又 平面 平面 平面 10 分 就是平面 与平面 所成二面角的平面角 12 分 在 中， 14 分 （本小题满分 14分） 设 ，函数 （ ）若 是函数 的极值点，求实数 的值； （ ）若函数 在 上是单调减函数，求实数 的取值范围 答案：（本小题满分 14分） 设椭圆 的左右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上的一点，坐标原点 到直线 的距离为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设
10、 是椭圆 上的一点，过点 的直线 交 轴于点 ，交 轴于点，若 ，求直线 的斜率 答案：解：（ 1）由题设知 由于 ，则有 ，所以点 的坐标为 2 分 故 所在直线方程为 所以坐标原点 到直线 的距离为 4 分 又 ，所以 解得： 所求椭圆的方程为 6 分 （ 2）由题意可知直线 的斜率存在，设直线斜率为 7 分 直线 的方程为 ，则有 设 ，由于 、 、 三点共线，且 根据题意得 ,解得 或 10 分 又 在椭圆 上，故 或 12 分 解得 ,综上，直线 的斜率为 或 14 分 （本小题满分 14分） 已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数列，且满足 ，其中
11、 . （ ）求 的值； （ ）若数列 与数列 有公共项，将所有公共项按原顺序排列后构成一个新数列 ，求数列 的通项公式； （ ）记（ ）中数列 的前项之和为 ，求证： . 答案：解：（ ）由题设 . 1 分 由已知 ，所以 .又 b 0，所以 a 3. 2分 因为 ，则 .又 a 0，所以 b 2，从而有 . 3分 因为 ，故 . 4 分 （ ）设 ，即 . 5 分 因为 ，则 ，所以 . 6 分 因为 ，且 b N*，所以 ，即 ，且 b 3. 7分 故 . 8 分 （ ）由题设， . 9 分 当 时， ， 当且仅当 时等号成立，所以 . 11 分 于是 . 12分 因为 S1 3， S2 9， S3 21，则 . 14 分
