1、2011届深圳市高三第一次调研考试数学文卷 选择题 已知集合 ，集合 ，则 A B C D 答案： D 若实数 满足 ，则称 是函数 的一个次不动点设函数与函数 （其中 为自然对数的底数）的所有次不动点之和为 ，则 A B C D 答案： B 如图所示程序框图，其作用是输入空间直角坐标平面中一点 ，输出相应的点 若 的坐标为 ，则 间的距离为 （注：框图中的赋值符号 “=”也可以写成 “” 或 “： =”） A B C D 答案： C 已知圆面 的面积为 ，平面区域 与圆面 的公共区域的面积大于 ，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： C 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数 ， 的部
2、分图象（如图），则 A 为 ， 为 ， 为 B 为 ， 为 ， 为 C 为 ， 为 ， 为 D 为 ， 为 ， 为 答案： B 如图所示的方格纸中有定点 ，则 A B C D 答案： C 设数列 的前 项和为 ，则对任意正整数 ， A B C D 答案： D 已知 直线 与直线 平行， ，则 是的 A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 双曲线 的渐近线方程为 A B C D 答案： C 复数 （其中 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 填空题 （二）选做题：第 14、 15题为选做题，考生
3、只能选做一题，两题全答的，只计算第一题的得分 （坐标系与参数方程）在极坐标系中， 是曲线 上任意两点，则线段 长度的最大值为 （几何证明选讲）如图， 是半圆 的直径， 是半圆 上异于 的点，垂足为 ，已知 ， ，则 答案： ， 4， 已知 与 之间的部分对应关系如下表： 11 12 13 14 15 则 和 可能满足的一个关系式是 答案： 已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为 2，其直观图和正 (主 )视图如下，则它的左 (侧 )视图的面积是 答案： 某机构就当地居民的月收入调查了 1万人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如图）为了深入调查，要从这 1万人中
4、按月收入用分层抽样方法抽出 100人，则月收入在 （元）段应抽出 人 答案： 解答题 （本小题满分 14分） 已知向量 与向量 垂直，其中 为第二象限角 （ 1）求 的值； （ 2）在 中， 分别为 所对的边，若 ，求 的值 答案：解 : (1) , 即 3 分 为第二象限角 , 6 分 (2) 在 中 , 9 分 , 11 分 14 分 （本小题满分 12分） 如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面， 是线段 上一点， ， ， （ 1）证明： 平面 ； （ 2）设三棱锥 与四棱锥 的体积分别为 与 ，求 的值 答案： （本小题满分 14分） 已知函数 ，其中实数 是常数 （ 1）已知 ，
5、 ，求事件 A“ ”发生的概率； （ 2）若 是 上的奇函数， 是 在区间 上的最小值，求当时 的式 答案：解： (1) 当 时，等可能发生的基本事件 共有 9个： 4 分 其中事件 “ ”，包含 6个基本事件： 4 分 故 6 分 答：事件 “ ”发生的概率 .7 分 (2) 是 上的奇函数，得 8 分 , 9 分 当 时，因为 ，所以 ， 在区间 上单调递减， 从而 ； 11 分 当 时，因为 ，所以 ， 在区间 上单调递增， 从而 . 13 分 综上，知 14 分 （本题满分 12分） 如图，有一正方形钢板 缺损一角 (图中的阴影部分 )，边缘线 是以直线AD为对称轴，以线段 的中点 为
6、顶点的抛物线的一部分工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形若正方形的边长为 2米，问如何画切割线 ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值 答案：解法一：以 为原点，直线 为 轴， 建立如图所示的直角坐标系，依题意 可设抛物线弧 的方程为 点 的坐标为 ， ， 故边缘线 的方程为 . 4 分 要使梯形 的面积最大，则 所在的直线必与抛物线弧 相切，设切点坐标为 ， ， 直线 的的方程可表示为 ，即 ， 6分 由此可求得 ， . ， ， 8 分 设梯形 的面积为 ，则 . 10 分 当 时， ， 故 的最大值为 . 此时 .11 分 答：当 时，可使剩余的直角梯形的面积最
7、大，其最大值为 . 12分 解法二：以 为原点，直线 为 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧 的方程为 点 的坐标为 ， ， 故边缘线 的方程 为 . 4 分 要使梯形 的面积最大，则 所在的直线必与抛物线弧 相切，设切点坐标为 ， ， 直线 的的方程可表示为 ，即 ， 6 分 由此可求得 ， . ， ， 7 分 设梯形 的面积为 ，则 . 10 分 当 时， ， 故 （本题满分 14分） 已知椭圆 的左焦点 及点 ，原点 到直线 的距离为 （ 1）求椭圆 的离心率 ； （ 2）若点 关于直线 的对称点 在圆 上，求椭圆 的方程及点 的坐标 答案：解： (1)由点 ，点 及 得直
8、线 的方程为，即 ， 2 分 原点 到直线 的距离为 ， 5 分 故椭圆 的离心率 . 7 分 (2) 解法一：设椭圆 的左焦点 关于直线 的对称点为，则有 10 分 解之，得 . 在圆 上 ， 13 分 故椭圆 的方程为 , 点 的坐标为 14 分 解法二：因为 关于直线 的对称点 在圆 上，又直线经过 圆 的圆心 ,所以 也在圆 上 , 9 分 从而 ， 10 分 故椭圆 的方程为 . 11 分 与 关于直线 的对称 , 12 分 解之，得 .13 分 故点 的坐标为 14 分 （本小题满分 14分） 设数列 是公差为 的等差数列，其前 项和为 （ 1）已知 ， ， （ ）求当 时， 的最小值； （ ）当 时，求证： ； （ 2）是否存在实数 ，使得对任意正整数 ，关于 的不等式 的最小正整数解为 若存在，则求 的取值范围；若不存在，则说明理由 答案： (1) ()解 : 当且仅当 即 时 ,上式取等号 . 故 的最大值是 4 分 () 证明 : 由 ()知 ， 当 时 , ， 6 分 ， 8 分 9 分 (2)对 ,关于 的不等式 的最小正整数解为 ， 当 时， ； 10 分 当 时，恒有 ，即 , 从而 12 分 当 时 ,对 ,且 时 , 当正整数 时 , 有 13 分 所以存在这样的实数 ,且 的取值范围是 .14 分
