1、2011届深圳市高三第一次调研考试数学理卷 选择题 已知 ，若 （其中 为虚数单位），则 ( ) A B C D 答案： C 设平面区域 是由双曲线 的两条渐近线和直线 所围成三角形的边界及内部。当 时， 的最大值为（ ） A 24 B 25 C 4 D 7 答案： A 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B 1 CD 答案： C 在一条公路上每隔 10公里有一个仓库，共有 5个仓库。一号仓库存有则 10吨货物，二号仓库存有 20吨货物，五号仓库存有 40吨货物，其余两个仓库是空的。现在要把所有的货物集中存放一个仓库里，若每吨货物运输 1公里需要0.5元运输费，则最少
2、需要的运费是（ ） A 450元 B 500元 C 550元 D 600元 答案： B 如图，圆 ： 内的正弦曲线 与 轴围成的区域记为（图中阴影部分），随机往圆 内投一个点 ，则点 落在区域 内的概率是（ ） A B C D 答案： B 已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 的值为（ ） A B C D 4 答案： A 已知 ： “ ”， ： “直线 与圆 相切 ”，则 是 的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 答案： A 填空题 （二）选做题：第 14、 15题为选做题，考生只能选做一题， 两题全答的，只计前一题的得分 （坐标系与参数方程
3、）在极坐标系中，设 是直线 上任一点， 是圆 上任一点 ,则 的最小值是 。 1（几何证明选讲）如图，割线 经过圆心 O， ， 绕点 逆时针旋 120到 ，连 交圆 于点 ，则 . 答案： ， 已知 为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式 的展开式中含 项的系数是 。 答案： -192 已知命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是 _ _； 答案： 在 中，已知 分别 所对的边， 为 的面积，若向量 ， 满足 ，则 。 答案： 、设随机变量 ，且 ，则实数 的值为 。 答案： 已知全集 ，集合 为函数 的定义域，则 。 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 。 （ 1）求 的最
4、小正周期； （ 2）若将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求函数在区间 上的最大值和最小值。 答案：解：（ 1） 2 分 4 分 所以 的最小正周期为 6 分 （ 2） 将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 8 分 时， ， 9分 当 ，即 时， ， 取得最大值 2 10分 当 ，即 时， ， 取得最小值 12分 （本小题满分 12分） 第 26届世界大学生夏季运动会将于 2011年 8月 12日到 23日在深圳举行 ，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了 12名男志愿者和 18名女志愿者。将这 30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位： cm）：若身高在 175cm
5、以上（包括 175cm）定义为 “高个子 ”，身高在 175cm以下（不包括 175cm）定义为 “非高个子 ”，且只有 “女高个子 ”才担任 “礼仪小姐 ”。 （ 1）如果用分层抽样的方法从 “高个子 ”和 “非高个子 ”中中提取 5人，再从这 5人中选 2人，那么至少有一人是 “高个子 ”的概率是多少？ （ 2）若从所有 “高个子 ”中选 3名志愿者，用 表示所选志愿者中能担任 “礼仪小姐 ”的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。 答案：解：（ 1）根据茎叶图，有 “高个子 ”12人， “非高个子 ”18人， 1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ， 2分 所以选中的 “高
6、个子 ”有 人， “非高个子 ”有人 3 分 用事件 表示 “至少有一名 “高个子 ”被选中 ”，则它的对立事件 表示 “没有一名“高个子 ”被选中 ”， 则 5 分 因此，至少有一人是 “高个子 ”的概率是 6 分 （）依题意， 的取值为 7 分 ， ， ， 9 分 因此， 的分布列如下： 10 分 12 分 （本小题满分 14分） 如图， 是圆 的直径，点 在圆 上， ， 交 于点， 平面 ， ， （ 1）证明： ； （ 2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 答案：解：（法一）（ 1） 平面 平面 ， 1 分 又 ， 平面 而 平面 3 分 是圆 的直径， 又 ， 平面 ， ， 平面
7、 与 都是等腰直角三角形 ，即 （也可由勾股定理证得） 5 分 ， 平面 而 平面 ， 6分 （ 2）延长 交 于 ，连 ，过 作 ，连结 由（ 1）知 平面 ， 平面 ， 而 ， 平面 平面 ， ， 为平面 与平面 所成的 二面角的平面角 8 分 在 中， ， ， 由 ，得 又 ， ，则 11分 是等腰直角三角形， 平面 （ (本小题满分 14分 ) 已知点 是椭圆 的右焦点，点 、 分别是轴、 轴上的动点，且满足 若点 满足 （ 1）求点 的轨迹 的方程； （ 2）设过点 任作一直线与点 的轨迹交于 、 两点，直线 、 与直线 分别交于点 、 （ 为坐标原点），试判断 是否为定值？若是，求
8、出这个定值；若不是，请说明理由 答案：解：（ 1） 椭圆 右焦点 的坐标为， 1 分 ， 由 ，得 3 分 设点 的坐标为 ，由 ，有 ， 代入 ，得 5 分 （ 2） (法一 )设直线 的方程为 ， 、 ， 则 ， 6 分 由 ，得 ， 同理得 8分 ， ，则 9 分 由 ，得 ， 11 分 则 13 分 因此， 的值是定值，且定值为 14 分 (法二 ) 当 时， 、 ，则 ， 由 得点 的坐标为 ，则 由 得点 的坐标为 ，则 7分 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ， 、，同解法一，得 10 分 由 ，得 ， 11分 则 13 分 因此， 的值是定值，且定值为 14 分 （本小题满分
9、 14分 ) 已知数列 是各项均不为 的等差数列，公差为 ， 为其前 项和，且满足 ， 数列 满足 ， 为数列 的前 n项和 （ 1）求 、 和 ； （ 2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）是否存在正整数 ，使得 成等比数列？若存在，求出所有 的值；若不存在，请说明理由 答案：解：（ 1）（法一）在 中，令 ， ， 得 即 2 分 解得 ， ， 3 分 ， 5 分 （法二） 是等差数列， 2 分 由 ，得 ， 又 ， ，则 3 分 ( 求法同法一 ) （ 2） 当 为偶数时，要使不等式 恒成立，即需不等式恒成立 6 分 ，等号在 时取得 此时 需满足 7 分 当 为
10、奇数时，要使不等式 恒成立，即需不等式恒成立 8 分 是随 的增大而增大， 时 取得最小值 此时 需满足 9 分 综合 、 可得 的取值范围是 10 分 （ 3） ， 若 成等比数列，则 ，即 11分 （法一）由 ， 可得 ， 即 ， 12 分 13 分 又 ，且 ，所以 ，此时 因此，当且仅当 ， 时， （本小题满分 14分） 已知函数 （ 1）当 时，如果函数 仅有一个零点，求实数 的取值范围； （ 2）当 时，试比较 与 的大小； （ 3）求证： （ ） 答案：解：（ 1）当 时， ，定义域是 ， ， 令 ，得 或 2 分 当 或 时， ，当 时， ， 函数 在 、 上单调递增，在 上单调递减 4分 的极大值是 ，极小值是 当 时， ； 当 时， ， 当 仅有一个零点时， 的取值范围是 或 5 分 （ 2）当 时， ，定义域为 令 ， ， 在 上是增函数 7 分 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 ； 当 时， ，即 9 分 （ 3）（法一）根据（ 2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有 ， 12 分 ， 14 分 (法二 )当 时， ， ，即 时命题成立 10 分 设当 时，命题成立，即 时， 根据（ 2）的结论，当 时， ，即 令 ，则有
