1、2011届湖北省黄石二中高三 2月调研考试数学理卷 选择题 若集合 , , 则 （ ） A B C D 答案： C 已知椭圆的一个焦点为 F，若椭圆上存在点 P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 PF相切于线段 PF的中点，则该椭圆的离心率为（ ）A B C D 答案： A 在棱锥 中，侧棱 PA、 PB、 PC两两垂直， Q为底面 内一点，若点 Q到三个侧面的距离分别为 3、 4、 5，则以线段 PQ为直径的球的表面积为（ ） A 100 B 50 C D 答案： B .已知二次不等式的 解集为 且 ，则 的最小值为 A 1 B C 2 D 答案： D 某企业 2010年初贷款 万元，年利率为
2、 ，按复利计算，从 2010年末开始，每年末偿还一定金额，计划第 5 年底还清，则每年应偿还的金额数为（ ）万元 A B C D 答案： A 设 、 、 是三个不同的平面， a、 b是两条不同的直线，给出下列 4个命题：（ ） 若 a ， b ，则 a b； 若 a ， b ， a b，则 ； 若a ， b ， a b，则 ； 若 a、 b在平面 内的射影互相垂直，则a b. 其中正确命题 是 :( ) A B C D 答案： B 在以下关于向量的命题中，不正确的是（ ） A若向量 a=(x， y)，向量 b=(-y， x), (x y 0 )，则 a b B平行四边形 ABCD是菱形的充要条
3、件是 . C点 G是 ABC的重心，则 + + = D ABC中， 和 的夹角等于 180-A 答案： C 如图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图。经过 周期后，甲点的位置将移至（ ） A甲 B乙 C丙 D丁 答案： A 已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图像的一条对 称轴方程是（ ） A B C D 答案： C 已知命题 p、 q,“非 p为真命题 ”是 “p或 q是假命题 ”的（ ） A充分而不必要 B必要而不充分 C充要条件 D既不充分也不条件 条件 必要条件 答案： B 填空题 已知对任意平面向量 =(x,y),把 绕其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点 B绕
4、点 A逆时针方向旋转 角得到点 P. 设平面内曲线 C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转 后得到点的轨迹是曲线 ，则原来曲线 C的方程是 _ 答案： xy=-1 .在平面直角坐标系 中，已知集合 ，则集合 表示的平面区域的面积为 . 答案： 已知点 M是抛物线 y =4x的一点， F为抛物线的焦点， A在圆 C:(x-4) +(y-1) =1上，则 的最小值为 _ 答案： 已知定义在 R上的减函数 的图像经过点 、 ，若函数的反函数为 （ ），则不等式 的解集为 。 答案： 向量 V=( )为直线 y=x的方向向量， a =1,则数列 的前 2011项的和为 _. 答案： 解答题 （本题满分 1
5、2分） 设 A是单位圆和 x轴正半轴的交点， P， Q是单 位圆上两点， 是坐标原点，且， . （ ）若点 Q的坐标是 ，求 的值； （ ）设函数 ，求 的值域 答案：解：（ ）由已知可得 . 所以 = （ ） . 因为 ，则 ，所以 . 故 的值域是 . （本小题满分 12分） 在长方体 中， 点 是 上的动点，点为 的中点 . （ 1）当 点在何处时，直线 /平面 ，并证明你的结论； （ 2）在（ ）成立的条件下，求二面角 的大小 . 答案：证明：（ ）当 为 的中点时 , 平面 . 证明：取 的中点 N，连结 MN、 AN、 ， MN ， AE ， 四边形 MNAE为平行四边形，可知 M
6、E AN 在平面 内 平面 . 方法二）延长 交 延长线于 ，连结 . ，又 为 的中点 , 平面 平面 . （ ）当 为 的中点时， , ,又 , 可知 ,所以 ,平面 平面 , 所以二面角 的大小为 ；高 又二面角 的大小为二面角 与二面角 大小的和， 只需求二面角 的大小即可； 过 A点作 交 DE于 F，则 平面 , ， 过 F作 于 H，连结 AH， 则 AHF即为二面角 的平面角， ， ， ， 所以二面角 的大小为 （本小题满分 12分） 已知数列 的前 n项和 满足 (a0，且 )。数列 满足（ 1）求数列 的通项。 （ 2）若对一切 都有 ，求 a的取值范围。 答案：解：（ 1
7、）由题意可知当 时， 当 时， （ 1） （ 2） 用（ 1）式减去（ 2）式得： 所以数列 是等比数列 所以 ） （ 2）因为 所以 当对一切 都有 即有 （ 1）当 有 当对一切 都成立所以 （ 2）当 有 当对一切 都成立所以有综合以上可知 或 .(本小题满分 13分 ) 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得 10万元 1000万元的投资收益 .现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 y（单位：万元）随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 9万元，同时奖金不超过投资收益的 20%. （ 1）若建立函数 f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励
8、函数f(x)模型 的基本要求； （ 2）现有两个奖励函数模型： (1)y ； (2)y 4lgx-3.试分析这两个函数模型 是否符合公司要求？ 答案：解：（ ）设奖励函数模型为 y f(x)，则公司对函数模型的基本要求是： 当 x 10， 1000时， f(x)是增函数； f(x)9恒成立； 恒成立 . （ ）（ 1）对于函数模型 ： 当 x 10， 1000时， f(x)是增函数，则 . 所以 f(x)9恒成立 . 因为函数 在 10， 1000上是减函数，所以 . 从而 ，即 不恒成立 . 故该函数模型不符合公司要求 . （ 2）对于函数模型 f(x) 4lgx-3： 当 x 10， 10
9、00时， f(x)是增函数，则 . 所以 f(x)9恒成立 . 设 g(x) 4lgx-3- ，则 . 当 x10时， ，所以 g(x)在 10， 1000上是减函数，从而 g(x)g(10) -1 0.所以 4lgx-3- 0，即 4lgx-3 ，所以恒成立 .故该函数模型符合公司要求 . （本小题满分 13分） 已知双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F，右准线与 轴交于点 B，且与一条渐近线交于点 C，点 O为坐标原点，又 ，过点 F的直线与双曲线右交于点 M、 N，点 P为点 M关于 轴的对称点。 （ 1）求双曲线的方程； （ 2）证明： B、 P、 N三点共线； （ 3）求 面积的最小值。 答案：解：（ 1）易得双曲线方程为 （ 2）由（ 1）可知得点 设直线 L的方程为： 由： 可得 设 所以 所以 因为 = = =0 所以向量 共线。所以 B， P， N三点共线 （ 3）因为 直线 L与双曲线右支相交于 M， N 所以 所以 令 由 当 时，三角形 BMN面积的最小值为 18 答案：
