1、2011届湖南省常德市高三质量检测考试数学理卷 选择题 若集合 ，则集合 （ ） A B C D 答案： C 若有序数对 满足在求 时各位均不会进位，则称为 “简单的 ”有序数对， 称为有序数对 的值。如（ 21， 35）是简单的有序数对，其值为 56；而（ 27， 29）不是简单有序数对。那么值为 168的 “简单的 ”有序数对的个数是 ( ) A 63 B 84 C 126 D 168 答案： C 已知正项等差数列 的前 20项的和为 100，那么 的最大值为 ( ) A 25 B 50 C 100 D不存在 答案： A 已知条件 ，条件 ，且 是 的充分不必要条件，则 a的取值范围是 （
2、 ） A B C D 答案： B 函数 的导函数 的最大值为 3，则 f(x)的图象的一条对称 轴的方程是（ ） A B C D 答案： A 设 和 是两个不重合的平面，给出下列命题： 若 内两条相交直线分别平行于 内的两条直线 ，则 ； 若 外一条直线 与 内一条直线平行，则 ； 设 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 ； 直线 的充要条件是 与 内的两条直线垂直。 上面的命题中，真命题的序号是 （ ） A B C D 答案： A 复数 （ ） A 2 B -2 C 2i D -2i 答案： B 填空题 对于任意正整数 j， k，定义 ，如 .对 于任意不小于 2的正整数 m、 n， ， ，则
3、= ； = . 答案： ； =-45 已知 R上的奇函数 对 都有 成立，则等于 答案： 若不等式组 表示的平面区域为 ， 所表示的平面区域为 ，现随机向区域 内抛一粒豆子，则豆子落在区域 内的概率为 _ 。 答案： 某企业有 个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为，用分层抽样方法（每个分厂的产品为一层）从 个分厂生产的电子产品中共取 件作使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为 ， ， ，则抽取的 件产品的使用寿命的平均值为 _ _h 。 答案： 若 则 的解集是 答案： 在平行四边形 ABCD中， AC为一条对角线， ， ，则
4、答案： (-3,-5) 图 2 是一个几何体的三视图，根据图中的数据，可得该几何体的表面积为 。答案： 解答题 已知 、 、 分别是 ABC的三个内角 A、 B、 C的对边，设， . (1)求角 A的大小； (2)若 ,求 的值 . 答案：（ 1） , 2 分 由正弦定理得 4 分 ,即 , 又 , A= 8 分 （ 2） 10 分 由余弦定理得=12 12 分 （本小题 12分） 如图 3，已知在侧棱垂直于底面 的三棱柱 中， AC=BC, AC BC,点 D是 A1B1中点 . (1)求证：平面 AC1D 平面 A1ABB1; (2)若 AC1与平面 A1ABB1所成角的正弦值 为 ，求二
5、面角 D- AC1-A1的余弦值 . 答案：（ 1）据题意 A1C1=B1C1, 且 D为 A1B1中点 C1D A1B1, 又 BB1 面 A1B1C1, C1D 面 A1B1C1， BB1 C1D, C1D 面 A1ABB1,2 分 又 C1D 面 AC1D 面 AC1D 平面 A1ABB14 分 （ 2）由（ 1）知 C1D 面 A1ABB1, C1AD为 AC1与平面 A1ABB1所成的角 6 分 设 AC=CB=1,AA1=x,则 AC1= ,C1D= sin C1AD= , x=2. 8 分 又因为 AC、 CB、 CC1两两互相垂直，所以可建立如图所示的坐标系： 取面 A1C1A
6、的法向量为 ，设面 ADC1的法向量为 ，又 C1(0,0,2),A(1,0,0),D(1/2,1/2,2), , , =0, x-2z=0 =0 , x+y=0 , 取 z=1,则 x=2,y=-2, 11 分 又 D在面 A1AC1上的射影为 A1C1的中点，故二面角 D- AC1-A1为锐角， 设为 ，所以 12 分 （本小题 12分） A、 B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中 2只服用 A，另 2只服用 B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用 A有效的小白鼠的只数比服用 B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A有效的概
7、率为 ，服用 B有效的概率为 。 ( )求一个试验组为甲类组的概率； ( ) 观察 3个试验组，用 表示这 3个试验组中甲类组的个数，求 的分布列和数学期望。 答案： (1)设 Ai表示事件 “一个试验组中，服用 A有效的小鼠有 i只 , i=0,1,2, Bi表示事件 “一个试验组中，服用 B有效的小鼠有 i只 , i=0,1,2,2 分 依题意有 : P(A1)=2 = , P(A2)= = . P(B0)= = , P(B1)=2 = , 4 分 所求概率为 : P=P(B0 A1)+P(B0 A2)+P(B1 A2) = + + = 6 分 ( )的可能值为 0,1,2,3且 B(3,
8、) . P(=0)=()3= , P(=1)=C31()2=, P(=2)=C32( )2 = , P(=3)=( )3= 10 分 的分布列为 : 0 1 2 3 P 数学期望 : E=3 = .12 分 （本小题满分 13分） 已知定点 ， ，动点 A满足 AE|=4，线段 AF的垂直平分线交 AE于点 M。 （ 1）求点 M的轨迹 C1的方程； （ 2）抛物线 C2： 与 C1在第一象限交于点 P，直线 PF交抛物线于另一个点 Q，求抛物线的 POQ弧上的点 R到直线 PQ的距离的最大值。 答案：）依题意有 ME|+ MF| ME|+ MA| AE| 4 EF| 2 点 M的轨迹是以 E
9、， F为焦点的椭圆。 3 分 ， 故所求点 M的轨迹方程是 6 分 （ 2）联立方程 解得 或 （舍去） 将 代入抛物线方程得 点 P的坐标为 8 分 ，于是可得 PQ所在直线的方程为： 9 分 设 PQ的平行线方程为： 由 令 11 分 R到 PQ的最大距离即为直线 与 PQ之间的距离，故所求为 13 分 （本小题满分 13分） 某奖励基金发放方式为：每年一次，把奖金总额平均分 成 6份，奖励在某 6个方面为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息存入基金总额，以便保证奖金数逐年增加。假设基金平均年利率为 ， 2000年该奖发放后基金总额约为 21
10、000万元。用表示为第 年该奖发放后的基金总额（ 2000年为第一年）。 （ 1）用 表示 与 ，并根据所求结果归纳出 的表达式； （ 2）试根据 的表达式判断 2011年度该奖各项奖金是否超过 150万元？并计算从 2001年到 2011年该奖金累计发放的总额。 （参考数据： ） 答案：由题意知： 2 分 4 分 6 分 （ 2） 2010年该奖发放后基金总额为 7 分 2011的度该奖各项奖金额为 （万元） 由此可知， 2011年度该奖各项奖金没有超过 150万元。 9 分 从 2001年到 2011年该奖金累计发放的总额为 （万元）。 13 分 函数 （ 1）求 的单调区间； （ 2）求使函数 f(x)有零点的最小正整数 a的值； （ 3）证明： 答案：）函数 f(x)的定义域为（ 0， +）， 2 分 ， ， 由 得 ， ， f(x)在 (0,a+1)上递减，在 (a+1,+)上递增。 4 分 （ 2） a N*, 由（ 1）知 fmin=f(a+1)=a+2-aln(a+1) 有零点， 有 a+2-aln(a+1)0，得 令 ，易知 在定义域内是增函数； 6 分 ，而 成立， ，而 成立， 故使函数 f(x)有零点的最小正整数 a的值为 4.9 分 （ 3）由 (2)知 ，即 (a4)， ( ， n5), ( ， n3), 即 ( ， n3)， 11 分 即 13 分
