1、2011届福建省宁德市高三普通班质量检测理科数学 选择题 若集合 ， ， 且 ，则集合 等于 A B C D 答案： B 将双曲线 绕原点逆时针旋转 后可得到双曲线 据此类推可求得双曲线 的焦距为 A B C D 答案： D 设不等式组 表示的平面区域的面积为 ，若 ，则与 满足 A B C D 答案： D 已知函数 ，若存在 ，使得不等式 成立，则实数的最小 值是 A 3 B C D 答案： A 若在边长为 的等边三角形 的边 上任取一点 ，则使得 的概率为 A B C D 答案： D 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象对应的函 数为偶函数，则 的最小值是 A B C D 答案：
2、 A 在 中，角 所对的边分别为 若 ，则的值为 A B C D 答案： B 已知三次函数 的图象如图所示，则该函数的导函数的图象是 答案： A 设 为虚数单位， 为实数，则 “ ”是 “复数 在复平面上对应的点在第一象限 ”的 A充分非必要条件 B 必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 答案： B 若各项均不为零的数列 满足 ，则 的值等于 A 4 B 8 C 16 D 64 答案： C 填空题 由方程 所确定的 的函数关系记为 .给出如下结论： 是 上的单调递增函数； 对于任意 ， 恒成立； 存在 ，使得过点 ， 的直线与曲线 恰有两个公共点 其中正确的结论为 (写出所有
3、正确结论的序号 ) 答案： 若 ，则 =_ 答案： 若圆 ： （ ）上的点均在第二象限内，则实数的取值范围为 答案： 某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 _ 答案： 2011 年 1 月 9 日，是中国承诺全面履行世界卫生组织烟草控制框 架公约 在公共场所实现全面禁烟的最后期限右图为某社区 100名志愿者在 20 10年12月参加社区控烟活动的次数统计条形图，则该 100名志愿者在 2010年 12月参加社区控烟活动的人均次数 = 答案： . 解答题 （ 2） (本小题满分 7分 )选修 44 ：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），若圆 在以该直
4、角坐标系的原点 为极点、 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 （ ）求曲线 的普通方程和圆 的直角坐标方程； （ ）设点 是曲线 上的动点，点 是圆 上的动点，求 的最小值 答案：解：（ ）曲线 的直角坐标方程为 ， 圆 的直角坐标方程为 . 4 分（ ）求 的最小值可转化为求 的最小值 . 过圆心 作射线 的垂线，垂足 在该射线的反向延长线上， 当点 在射线的端点时， ， 此时 的长最小，故此时 取最小值 . 所以所求的最短距离为 . 7 分 （ 1） (本小题满分 7分 )选 修 42 ：矩阵与变换 已知二阶矩阵 有特征值 及对应的一个特征向量 （ ）求矩阵； （ ）设曲线 在矩阵的作用
5、下得到的方程为 ，求曲线 的方程 答案：解：（ ） = ， 解得 . 4 分 （ ）设点 为曲线 上的任一点，它在矩阵的作用下得到的点为 ， 则 ，所以 代入 得 ， 所以所求的曲线方程为 . .7 分 (本小题满分 14分 ) 已知函数 的极值点为 和 （ ）求实数 ， 的值； （ ）试讨论方程 根的个数； （ ）设 ，斜率为 的直线与曲线 交于 两点，试比较 与 的大小，并给予证明 答案：解：（ ） ， ， 1 分 由 的极值点为 和 ， 的根为 和 ， 解得 3 分 （ ）由 得 ， ，设 ， . ， 5 分 当 变化时， 与 的变化情况如下表： - + 单调递减 单调递增 由此得，函数
6、 的单调减区间为 ，单调增区间为 .6 分 ， 且当 正向趋近于 0时， 趋近于 ， 当 趋近于 时， 趋近于 . 7 分 当 时，方程只有一解； 当 时，方程有两解； 当 时，方程无解 . 9 分 （ ） . 10 分 证明：由（ ）得 ， ， . 要证 ，即证 ， 只需证 ，（因为 ） (本小题满分 13分 ) 某慈善机构举办一次募捐演出，有一万人参加，每人一张门票，每张 100元 . 在演出过程中穿插抽奖活动第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽取 10张，其持有者获得价值 1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个数 ， （ ， ），随即按如
7、右所示程序框图运行相应程序若电脑显示 “中 奖 ”，则抽奖者获得 9000元奖金；若电脑显示 “谢谢 ”，则不中奖 （ ）已知小曹在第一轮抽奖中被抽中， 求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率； （ ）若小叶参加了此次活动，求小叶参加此次活动收益的期望； （ ）若此次募捐除奖品和奖金外，不计其它支出，该机构想获得 96万元的慈善款问该慈善机构此次募捐 是否能达到预期目标 答案：解 :（ ）从 1， 2， 3三个数字中有重复取 2个数字，其基本事件有 共 9个， 2 分 设 “小曹在第二轮抽奖中获奖 ”为事件 ， 且事件 所包含的基本事件有 共 2个， . 4 分 （ ）设小叶参加此次活动的收益为 ，
8、的可能取值为 . 5 分 ， ， 的分布列为 900 9900 8 分 10 分 （ ）由（ ）可知，购票者每人收益期望为 . 有一万人购票，除奖金和奖品外，不计其它支出， 该机构此次收益期望为 元 = 万元， ， 该慈善机构此次募捐能达到预期目标 . 13 分 (本小题满分 13分 ) 已知椭圆 的焦点为 ， ， 离心率为 ，直线 与 轴， 轴分别交于点 ， （ ）若点 是椭圆 的一个顶点，求椭圆 的方程； （ ）若线段 上存在点 满足 ，求 的取值范围 答案：解法一：（ ）由椭圆的离心率为 ，故 ， 1 分 由 ，得 ， ， 4 分 所以所求的椭圆方程为 . 5 分 （ ）由 ，可设椭圆方
9、程为 ， 联立 得 ， 7 分 已知线段 上存在点 满足 ，即线段 与椭圆 有公共点， 等价于方程 在 上有解 .9 分 ， 由 ，故 ， 故所求的 的取值范围是 . 13 分 解法二：（ ）同解法一； （ ）由 ，设椭圆方程为 ， 联立 得 ， 7 分 已知线段 上存在点 满足 ，即线段 与椭圆 有公共点， 等价于方程 在 有解 . 9 分 设 ， ，解得 ， 故所求的 的取值范围是 . 13 分 (本小题满分 13分 ) 如图，矩形 所在的平面与平面 垂直，且 ， ， ， 分别为 的中点 （ ） 求证：直线 与平面 平行； （ ）若点 在直线 上，且二面角 的大小为 ，试确定点 的位置 答
10、案：（ ）证明：取 的中点 ，连结 ， 分别是 的中点， ， 平面 ， 3 分 又 ， 且 平面 ， 平面 ， 平面 6 分 （ ）解：如图，在平面 内，过 作 的垂线，记为 ，则 平面 . 以 为原点， 、 、 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立建立空间直角坐标系 . . ， ， 8 分 设 ，则 . 设平面 的法向量为 ， 则 取 ，得 ， ， 又平面 的法向量为 ， .11 分 ， 解得 或 . 故 或 （ 或 ） . 13 分 (本小题 满分 13分 ) 已知函数 在 处取得最值 （ ）求函数 的最小正周期及 的值； （ ）若数列 是首项与公差均为 的等差数列，求 的值 答案：解：（ ） . 3 分 由已知得 ，又 ， . . 5 分 . 7 分 （ ）由已知得 ， 8 分 ， 10 分 又 的周期为 4， 13 分 （ 3） (本小题满分 7分 )选修 45 ：不等式选讲 已知函数 ，不等式 在 上恒成立 （ ）求 的取 值范围； （ ）记 的最大值为 ，若正实数 满足 ，求 的最大值 答案：解：（ ） ， . 2 分 不等式 在 R上恒成立， ， 的取值范围为 . 3 分 （ ）由（ ）得 ， 由柯西不等式得： ， . 5 分 当且仅当 即 时， 的最大值为 . 7 分
