1、2011届重庆一中高三考前最后一次考试理数试卷与答案 选择题 已知集合 M= ，集合 为自然对数的底数），则 = （ ） A B C D 答案： A 在直角梯形 ABCD中， ，动点 在以点 C为圆心，且与直线 BD相切的圆内运动，设 ，则的取值范围是 A B C D 答案： D 在棱锥 中，侧棱 PA、 PB、 PC两两垂直， Q为底面 内一点，若点 Q到三个侧面的距离分别为 1、 2、 3，则以线段 PQ为直径的球的表面积为 （ ） A B C. D. 答案： C 为互不相等的正数，且 ，则下列关系中可能成立的是（ ） A B C D 答案： C 一个总体共有 600个个体，随机编号为 0
2、01， 002， ， 600采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽得的号码为 003这 600个个体分三组，从 001到 300在第 1组，从 301到 495在第 2组，从 496到 600在第 3组则第 3组被抽中的个数为 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 答案： B 已知数列 (n= )满足 ,且当时 , . 若 , ，则符合条件的数列 的个数是 （ ） A 140 B 160 C 840 D 5040 答案： A 在 (0, )内，使 成立的 的取值范围为 （ ） A B C D 答案： A 过点 ，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为 （ ） A 1 B 2
3、 C 3 D 4 答案： C 在各项均为实数的等比数列 中， ，则 （ ） A 2 B 8 C 16 D 32 答案： B 已知复数 ，则 = （ ） A B C D 答案： B 填空题 ABC的三边 和面积 满足 : ,且 ABC的外接圆的周长为 ,则面积 的最大值等于 . 答案： 已知 分别是双曲线 的左、右焦点 ,以 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 P,则当 的面积等于 时，双曲线的离心率为 . 答案： 函数 的最大值等于 . 答案： 若 是 上的奇函数，则函数 的图象必过定点 . 答案： 答案： 解答题 (本小题满分 13分 ) 已知函数 ，求 （ ）函数 的定义域和值域； （
4、）写出函数 的最小正周期和单调递增区间 . 答案： （ ）函数 的定义域 函数 的值域为 . ( ) 的最小正周期为 , 令 得 函数 的单调递增区间是 . (本小题满分 13分 ) 重庆电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著 A、 B、 C、 D与它们的作者 连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线每连对 一个得 3分，连错得 分，一名观众随意连线，将他的得分记作 （ ）求该观众得分 为正数的概率； （ ）求 的分布列及数学期望 答案： (1) 的可能取值为 ， 该同学得分正数的概率为 (2) , 的分布列为 : 数学期望 (本小题满分 13分 ) 已知
5、函数 （ ）当 时，求函数 的最大值； （ ）当 时，曲线 在点 处的切线 与 有且只有一个公共 点，求 的值 . 答案：（ ） 时 , , 在 上 ,在 上 ,故 ( )由题设知： 切线 的方程为 ,于是方程 : 即 有且只有一个实数根 ; 设 ,得 ; 当 时， , 为增函数 ,符合题设 ; 当 时，有 得 在此区间单调递增 , ; 在此区间单调递减 , ; 在此区间单调递增 , ;此区间存在零点 ,即得 不符合题设 . 综上可得 . (本小题满分 12分 ) 已知斜三棱柱 ， ， ， 在底面 上的射影恰 为 的中点 ， 为 的中点， . （ I）求证： 平面 ； （ II）求二面角 余弦
6、值的大小 . 答案：法一 :（ I）如图， ，因为 ，所以 ，又平面 ， 以 为 轴建立空间坐标系，则 ， ， ， ， ， , ， ， ，由 ， 知 ，又 ，从而 平面 ； （ II）由 ，得 。 设平面 的法向量为 ， ， ，所以 ，设 ，则 再设平面 的法向量为 ， ， 所以 ，设 ，则 故 , 可知二面角 余弦值的大小 . 法二 : （ I）如图， ，因为 ， 平面 ，所以又 ,所以 ， 从而平面 ； （ II）由（ I）知 为菱形， . 作 于 ,连 ,则 故 为二面角 的平面角， . 故二面角 余弦值的大小 . (本小题满分 12分 ) 设 A ,B 是椭圆 上的两点， 为坐标原点 . （ ）设 ， , .求证 :点 M在椭圆上 ; （ ）若 ,求 的最小值 . 答案：（ ） 设 ,则 则 故点 M在椭圆上 . ( )设 , , , 则 则 从而 故 (本小题满分 12分 ) 若实数列 满足 ,则称数列 为凸数列 . （ ）判断数列 是否是凸数列 （ ）若数列 为凸数列 , 求证： ; 设 是数列 的前 项和 ,求证： . 答案：（ ） 数列 是凸数列 . ( ) 由 得 , ,故 . 由 得 . 故先证 是凸数列 . 在 中令 得 ,令 叠加得 , 故 是凸数列 , 由 得 .
