1、2011年广东省深圳市高三级第二次调研考试数学理卷（深圳二模） 选择题 设集合 ， ， ，则 等于 A B C D 答案： B 设 ，则任取 ，关于 的方程 有实根的概率为 A B C D 答案： C 学校准备从 5位报名同学中挑选 3人，分别担任 2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类 3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有 A 24种 B 36种 C 48种 D 60种 答案： C 已知 中， ， ， 分别是 ， 的等差中项与等比中项，则 的面积等于 A B C 或 D 或 答案： D 甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击 20次，三人
2、测试成绩的频率分布条形图分别如图 1，图 2和图 3，若 ， ， 分别表示他们测试成绩的标准差，则 A B C D 答案： D 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则此双曲线的离心率为 A B C D 答案： A 已知 ， 是非零向量，则 与 不共线是 的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充分必要条件 D既非充分也非必要条件 答案： A 复数 （ 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 填空题 （几何证明选讲选做题）如图 6，直角三角形 中， ， ，以 为直径的圆交 边于点 ， ，则 的大小为 答案： （极坐标与参数方程选做题）在平面
3、直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）若以 为极点，以 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，则曲线 的极坐标方程为 答案： 如图 5，一个树形图依据下列规律不断生长： 1个空心圆点到下一行仅生长出 1个实心圆点， 1个实心圆点到下一行生长出 1个实心圆点和 1个空心圆点则第 11行的实心圆点的个数是 答案： 如果对于任意的正实数 ，不等式 恒成立，则 的取值范围是 答案： 如图 4，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形，且面积分别为 3， 4， 6，则该锥体的体积是 答案： 已知函数 的定义域是 ，则 的值域是 答案： 二项式 的展开式中含 的
4、项的系数是 （用数字作答） 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 设函数 ， （ 1）若 ，求 的最大值及相应的 的集合； （ 2）若 是 的一个零点，且 ，求 的值和 的最小正周期 答案：（ 1） ， 1分 当 时， ， 2 分 而 ，所以 的最大值为 ， 4 分 此时， ， Z，即 ， ， 相应的 的集合为 6 分 （ 2）（法一）因为 ， 所以， 是 的一个零点 ， 8分 即 ， ，整理，得 ， 又 ，所以 ， ，而 ，所以 ， 10 分 ， 的最小正周期为 12 分 （法二） 是 的一个零点 ， 即 8 分 所以 ， ，整理，得 ， 又 ，所以 ， ，而 ，所以 ， ， 10分 ，
5、的最小正周期为 12 分 （本小题满分 12分） 为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近 50多年的气象数据资料的统计分析，发现 8月份是我市雷电天气高峰期，在 31天中平均发生雷电 14.57天（如图 7）如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立 （ 1）求在大运会开幕（ 8月 12日）后的前 3天比赛中，恰好有 2天发生雷电天气的概率（精确到 0.01）； （ 2）设大运会期间（ 8月 12日至 23日，共 12天），发生雷电天气的天数为，求 的数学期望和方差 答案：（ 1）设 8月份一天中发生雷电天气的概率为 ，由已知 2 分 因
6、为每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立，所以，在大运会开幕后的前3天比赛中，恰好有 2天发生雷电天气的概率 6 分 （ 2）由已知 8 分 所以， 的数学期望 10 分 的方差 12 分 （本小题满分 14分） 如图 8，在直角梯形 中， ， ，且现以 为一边向形外作正方形 ，然后沿边 将正方形 翻折，使平面 与平面 互相垂直，如图 9 （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小 答案：证明（ 1）（法一）因为平面 平面 ， 且平面 平面 ， 又在正方形 中， ， 所以， 平面 2 分 而 平面 ， 所以， 3 分 在直角梯形 中， , ， ， 所以， ， 所以
7、， 4 分 又 ， 平面 ， ， 所以， 平面 6 分 而 平面 ， 所以，平面 平面 7 分 （法二）同法一，得 平面 2 分 以 为原点， ， ， 分别为 ， 轴，建立空间直角坐标系 则 ， ， ， 3 分 所以， ， ， , ， ， 所以， ， 5 分 又 ， 不共线， ， 平面 ， 所以， 平面 6 分 而 平面 ， 所以，平面 平面 7 分 （ 2）（法一）因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以， 平面 （本小题满分 14分） 平面直角坐标系中，已知直线 : ，定点 ，动点 到直线 的距离是到定点 的距离的 2倍 . （ 1）求动点 的轨迹 的方程； （ 2）若 为轨迹 上的
8、点，以 为圆心， 长为半径作圆 ，若过点可作圆 的两条切线 , （ ， 为切点），求四边形 面积的最大值 答案：解（ 1）设点 到 的距离为 ，依题意得 ， 即 ， 2 分 整理得，轨迹 的方程为 4 分 （ 2）（法一）设 ，圆 ： ，其中由两切线存在可知，点 在圆 外， 所以， ，即 ， 又 为轨迹 上的点，所以 而 ，所以， ，即 6分 由（ 1）知， 为椭圆的左焦点， 根据椭圆定义知， ， 所以 ，而 ， 所以，在直角三角形 中， ， ， 由圆的性质知，四边形 面积 ，其中 10 分 即 （ ） 令 （ ），则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减 所以，在 时， 取极
9、大值，也是最大值， 此时 14 分 （法二）同法一，四边形 面积 ，其中 10 分 所以 由 ，解得 ，所以 14 分 （本小题满分 14分） 执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为 ， ， ， ， （注：框图中的赋值符号 “ ”也可以写成 “ ”或 “： ”） （ 1）若输入 ，写出输出结果； （ 2）若输入 ，求数列 的通项公式； （ 3）若输入 ，令 ，求常数 （ ），使得 是等比数列 答案：解（ 1）输出结果是： 0， ， 3 分 （ 2）（法一）由程序框图可知， ， ， ， 所以，当 时， ， 5 分 ，而 中的任意一项均不为 1，（否则的话，由可以得到 ， ，与 矛盾）
10、， 所以， ， （常数）， ， 故 是首项为 ，公差为 的等差数列， 7 分 所以， ，数列 的通项公式为 ， ， 8分 （法二）当 时，由程序框图可知， ， ， ， 猜想 ， ， 5 分 以下用数学归纳法证明： 当 时， ，猜想正确； 假设 （ ， ）时，猜想正确即， 7 分 那么，当 时， 由程序框图可知， 即 时，猜想也正确 由 ，根据数学归纳法原理，猜想 正确， ， 8 分 （ 3）（法一）当 时， ， 令 ，则 ， ， 10分 此时， ， 12 分 所以 ， ， ，又 ， 故存在常数 （ ）， 使得 是以 为首项， 为公比的等比数列 14 分 （法二）当 时，令 ，即 ，解得 （本小
11、题满分 14分） 已知函数 满足如下条件：当 时， ，且对任意 ，都有 （ 1）求函数 的图象在点 处的切线方程； （ 2）求当 ， 时，函数 的式； （ 3）是否存在 ， ，使得等式 成立？若存在就求出 （ ），若不存在，说明理由 答案：（ 1） 时， ， 2 分 所以，函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 3 分 （ 2）因为 ， 所以，当 ， 时， 4 分 6 分 （ 3）考虑函数 ， ， ， 则 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ； 当 时， ， 单调递增； 所以，当 ， 时， ， 当且仅当 时， 10分 所以， 而 ， 令 ，则 ， 两式相减得， 所以， ， 故 12 分 所以， 当且仅当 时， 所以，存在唯一一组实数 ， ， 使得等式 成立 14分
