1、2011年湖南省长沙市一中高二上学期期末检测数学理卷 选择题 “ ”的否定是（） A B C D 答案： A 已知函数 ， ，若 在上为减函数，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 设 ，若函数 ( )有小于零的极值点，则（） A B C D 答案： B ，令 有 ， 故 如图，已知点 ，过点 C作两条互相垂直的直线 、 ， 分别与 轴、 轴交于点 A、 ，设点 是线段 的中点，则点 M的轨迹方程为（） A B C D 答案： A 函数 在定义域 内可导，其图象如图所示，记 导函数为 ，则不等式 的解集为 （） A B C D 答案： A 如图，由曲线 ，直线 和 轴围成的封闭图
2、形的面积是（ ） A B C D 答案： C 定积分 的值为（） A B 1 CD 答案： B 设 ，则 为（） A B C D 答案： D 填空题 已知函数 的图象在点 处的切线恰好与 垂直，则（ ） 的值分别为 1， ；（ ）若 在 上单调递增，则 m的取值范 答案： “正三角形中，其内切圆与外接圆的半径比为 ”，类比到空间，请你写出一个正确的结论 答案：正四面体的内切球与外接球的半径比为 若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为 答案： 在平行六面体 中， ， ，则 的长为 答案： 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是 答案： 抛物线 上一点 M到焦点的距离是 ，则点
3、 M的纵坐标是 答案： 若椭圆 上一点 P到它的一个焦点的距离等于 4,那么点 P到另一个焦点的距离等于 _. 答案： 解答题 如图，设 是抛物线 上的一点 （ ）求该抛物线 在点 A处的切线 的方程； （ ）求曲线 C、直线 和 轴所围成的图形的面积 答案：解：（ ） 直线 的斜率 ： 即 为所求 6 分 （ ）面积 曲线 C、直线 和 轴所围成的图形的面为 12 分 如图，已知正方体 的棱长为 2,点 分别为 和 的中点 （ ）求异面直线 CM与 所成角的余弦值； （ ）求点 到平面 的距离 答案：略 设数列 满足关系式： （ p是常数） （ ）求 ； （ ）猜想 的通项公式，并证明 答案
4、： 2假设 时，命题成立，即 ，则 故 时，命题仍然成立 综上所述：对任何 ，均有 12 分 湖南日报 12月 15日讯：今天，长沙飞起了今冬以来的第一场雪，省会城管部门采取措施抗冰除雪，确保道路畅通铲雪车是铲冰除雪的主力，铲雪车行驶的费用分为两部分，第一部分是车的折旧费及其他服务费，每小时 480元，第二部分为燃料费，它 与车速的立方成正比，并且当速度为 10km/h时，燃料费为每小时 30元问车速为多少时，才能使行驶每公里的费用最小？并求出这个最小值以及此时每小时费用的总和 答案：解：设第二部分 的燃料费为 (元 /小时 )，速度为 （公里 /小时），则 将 ， 代入上式 . 解得， ，
5、2 分 设每公里费用的总和为 (元 /公里 ), 则 7 分 ，令 ，有 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 有最小值为 36 11 分 所以，速度为 20公里 /小时时，每公里费用最小，最小值为 36元 /公里，此时，每小时费用的总和为 720元 /小时 13 分 另解： = = 当且仅当 ，即 时，等号成立，此时，每小费用的总和为 720 所以，速度为 20公里 /小时时，每公里费用最小，最小值为 36元 /公里，此时，每小时费用的总和为 720元 /小时 已知函数 （ ）讨论函数的单调区间与极值； （ ）当 a 1时，是否存在过点（ 1， -1）的直线与函数 的图象相切 若存在，
6、有多少条 若不存在，说明理由 答案：解：（ ）由题意函数 的定义域为， 1 分 2 分 ，即 ， 10分 设 ，则 ， 在区间 ， 上是增函数，在区间 上是减函数， 故 又 ， 注意到 在其定义域上的单调性，知 仅在 内有且仅有一根 所以方程 有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条 13 分 如图， 是双曲线 的两个焦点， O为坐标原点，圆 是以为直径的圆，直线 ： 与圆 O相切，并与双曲线交于 A、 B两点 ( )根据条件求出 b和 k的关系式 ; （ ）当 时，求直线 的方程； （ ）当 ，且满足 时，求 面积的取值范围 答案：解：（ ） 3 分 ( )由（ ）知： 于是 10 分 又 到 的距离 13 分
