1、2012-2013学年浙江省台州中学高二下学期期中数学理试卷与答案（带解析） 选择题 函数 ，当自变量 由 变化到 时，函数 的改变量为 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意，函数 的改变量 为 ，故选 D 考点：本题考查了平均变化率 点评：掌握平均变化率的概念是解决此类问题的关键，属基础题 定义在 上的单调递减函数 ，若 的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 是定义在 上的单调递减函数， 当 x0 时， ，又 ， ， ， 当 x0时，函数 为增函数，因为 32，所以 即 ，故选 A 考点：本题考查了导数的运用 点评：构造函数，
2、然后利用导数判断其单调性，从而比较函数值的大小，属基础题 已知一个命题 P(k),k=2n(n N),若 n =1,2,1000 时 ,P(k)成立 ,且当时它也成立 ,下列判断中 ,正确的是 ( ) A P(k)对 k=2013成立 B P(k)对每一个自然数 k成立 C P(k)对每一个正偶数 k成立 D P(k)对某些偶数可能不成立 答案： D 试题分析：由已知得 k 2,4,6， ， 2000命题成立故排除 A， B， C，应选 D 考点：本题考查了数学归纳法的运用 点评：掌握数学归纳法的概念及步骤是解决此类问题的关键，属基础题 如图是导函数 的图像，则下列命题错误的是（ ） A导函数
3、 在 处有极小值 B导函数 在 处有极大值 C函数 处有极小值 D函数 处有极小值 答案： C 试题分析：由 图象知，导函数 在 处有极小值，导函数在 处有极大值，当 时， ，当时， ，当 时， ， 函数 在 处有极大值，在 处有极小值，故错误的选项为 C 考点：本题考查了极值的概念 点评：熟练掌握原函数与导函数的关系及极值的概念是解决此类问题的关键，属基础题 用反证法证明命题 “若 都是正数，则 三数中至少有一个不小于 ”，提出的假设是 （ ） A 不全是正数 B 至少有一个小于 C 都是负数 D 都小于 答案： D 试题分析： “至少一个 ”的否定为 “一个也没有 ”， “ 三数中至少有一
4、个不小于 ”否定为 “ 都小于 ”，即提出的假设是“ 都小于 ”，故选 D 考点：本题考查了反证法的运用 点评：反证法的假设就是对结论的否定，所以掌握常见的否定形式是解决此类问题的关键 若 ，则 等于 （ ） A -2 B -4 C 2 D 0 答案： B 试题分析： ， ， ， ， ，故选 B 考点：本题考查了导数的运用 点评：利用导数法则求解导函数，然后代入函数求值是解决此类问题的常用方法 记 为虚数集，设 ， .则下列类比所得的结论正确的是 （ ） A由 ，类比得 B由 ，类比得 C由 ，类比得 D由 ，类比得 答案： C 试题分析：对应选项 A：当 x=y=i时， ，错误；对于选项 B
5、：当x=i时， ，错误；对于选项 D： x=1+i,y=-1+i，满足 x+y=20，但是x与 y不能比较大小，错误；故选 C 考点：本题考查了类比推理及复数的运算 点评：掌握类比推理的概念及复数的运算是解决此类问题的关键，属基础题 下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A两条直线平行，同旁内角互补，如果 和 是两条平行直线的同旁内角，则 B由平面三角形的性质，推测空间四面体性质 C某校高二共有 10个班， 1班有 51人， 2班有 53人， 3班有 52人，由此推测各班都超过 50人 D在数列 中 ，由此归纳出 的通项公式 答案： A 试题分析：选项 B为类比推理。选项 C、 D为归纳推
6、理，选项 A为演绎推理，故选 A 考点：本题考查了推理的概念 点评：掌握几种推理的概念及运用是解决此类问题的关键，属基础题 已知函数 ,若 ，则实数 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，又 ， ，故选 A 考点：本题考查了导数的概念及运算 点评：掌握导数的概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题 如图，下列哪个运算结果可以用向量 表示 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 向量 对应的点为（ 4,3）， 可表示为复数 4+3i= ,故选B 考点：本题考查了复数的几何意义及运算 点评：掌握向量的坐标概念及复数的几何意义是解决此类问题的关键，属基础题 填空题 记
7、， ， ， 若 ，则 的值为 . 答案： 试题分析： ， ， ， 所有的偶数项都为 0，奇数项的和为 1-3+5-7+9-11+2013= （ -2） 503+2013=1007 考点：本题考查了导数的计算及周期数列的求和 点评：找到函数值的周期，然后利用数列的知识求和是解决此类问题的关键，属基础题 已知 ，观察下列不等式： ， ， ，则第 个不等式为 . 答案： 试题分析： ， ， 猜想第 n个不等式为 考点：本题考查了归纳推理 点评：掌握归纳推理的概念是解决此类问题的关键，属基础题 若函数 在其定义域的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围 _ 答案： 试题分析： ， ，令 得 x
8、= ,由题意 ， ，又 k-10, ， ,即实数 的取值范围 考点：本题考查了导数的运用 点评：掌握导数的计算及运用解决此类问题的关键，解题时不要忘掉定义域的限制 函数 在区间 上的最大值为 _ 答案： 试题分析： ， ，令 得 x=-1或 2, 令 得 -12，且 ，所以函数函数 在区间上的最大值为 10 考点：本题考查了导数的运用 点评：掌握利用导数知识求最值的步骤是解决此类问题的关键，属基础题 现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ，类比到空间，有两个棱长均为 的正方体，其中一个的某顶点
9、在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 _ 答案： 试题分析： 同一个平面内有两 个边长都是 a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为 ，类比到空间有两个棱长均为 a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 考点：本题考查了类比推理的知识点 点评：解答本题的关键是根据平面中正方形的性质类比推理出空间正方体的性质特征，本题难度不是很大 函数 处的切线方程是 . 答案： 试题分析： ， ， 在 x=1处的切线斜率 k=， 函数 处的切线方程是 考点：本题考查了导数的几何意义求切线 点评：掌握导数的几何意义及直线方程的求
10、法是解决此类问题的关键，属基础题 设复数 ，则 的值为 . 答案： 试题分析： ， 考点：本题考查了复数的运算 点评：掌握复数概念及运算是解决此类问题的关键，属基础题 解答题 已知复数 ，且 ，若 在复平面中对应的点分别为 ，求 的面积 . 答案： 试题分析： 3分 所以 所以 ，即 9分 考点：本题考查了复数的运算及三角形的面积 点评：掌握复数的运算及几何意义是解决此类问题的关键，运用法是求面积的常用方法，属基础题 请观察以下三个式子 : ; ; ， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明之 . 答案： 证明： 当 ，左边 =3，右边 =3， 左边 =右边 假设当 时，命题成立， 即 则当 时
11、 当 时命题成立 ,由（ 1）、（ 2）知，命题成立 . 试题分析： 3分 证明： 当 ，左边 =3，右边 =3， 左边 =右边 假设当 时，命题成立， 即 则当 时 当 时命题成立 ,由（ 1）、（ 2）知，命题成立 . 10分 考点：本题考查了数学归纳法的运用 点评：运用数学归纳法证明有关命题要注意以下几点：（ 1）数学归纳法的两步分别是数学归纳法的两个必要 条件，二者缺一不可，两步均得以证明才具备了充分性。（ 2）第二步中，证明 “当 n=k+1时结论也正确 ”，必须利用归纳假设，即必须用上 “当 n=k（ k N ,kn0）时结论正确 ”这一条件。 已知函数 . （ 1）求： 的值；
12、（ 2）类比等差数列的前 项和公式的推导方法，求： 的值 答案： (1) , (2) 试题分析： (1) ， , (2) ， ， 令 S=，则 S=， 2S= ， S= ，又f(1)= ， 考点：本题考查了倒序相加法的运用 点评：如果一个数列（一个式子），与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这种方法就是倒序相加法 已知点是 F抛物线 与椭圆 的公共焦点，且椭圆的离心率为 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）过抛物线上一点 P，作抛物线的切线 ，切点 P在第一象限，如图，设切线 与椭圆相交于不同的两点 A、 B，记直线 OP， F
13、A,FB的斜率分别为（其中 为坐标原点），若 ，求点 P的坐标 . 答案：（ 1） （ 2） . 试题分析：（ 1）因为点 F的坐标为 ，则有 ， 从而有 ，故椭圆方程为 4分 （ 2）设 由 ，得切线的斜率为 ，从而切线 的方程为：， 由 ，得 设 则有 ， 而 从而有 ，又 ， 则有 ，而 ，故有 ， 得 ，故 ，即得点 P的坐标为 . 10分 考点：本题考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系 点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算
14、方式 已知 . （ 1） 时，求 的极值 ; （ 2）当 时，讨论 的单调性 ; （ 3）证明： （ ， ，其中无理数） 答案：（ 1）极大值 ，极小值 .（ 2）当时， 上单调递减， 单调递增， 单调递减；当 时， 单调递减；当 时， 上单调递减，单调递增， 单调递减；（ 3）构造函数，利用函数的单调性处理 试题分析： 1分 （ 1）令 ，知 在区间 上单调递增，上单调递减，在单调递增 .故有极大值 ，极小值.4 分 （ 2）当 时， 上单调递减， 单调递增， ks5u单调递减，当 时， 单调递减 当 时， 上单调递减， 单调递增， 单调递减 7分 （ 3）由（ ）当 时， 在 上单调递减 . 当 时 ，即 . 10分 考点：本题考查了导数的运用 点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用 .把数学运算的 “力量 ”与数学思维的 “技巧 ”完美结合
