1、2012届江西省白鹭洲中学高三第二次月考试卷与答案理科数学 选择题 若集合 则 （ ） A B C D 答案： B 函数 y 的图象与函数 y 2sinx(-2x4)的图象所有交点的横坐标之和 等于 ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 答案： D ABCD-A1B1C1D1单位正方体，黑白两个蚂蚁从点 A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为 “走完一段 ”。白蚂蚁爬地的路线是 AA1A 1D1 ，黑蚂蚁爬行的路线是 ABBB 1 ，它们都遵循如下规则：所爬行的第 与第段所在直线必须是异面直线 (其中 是自然数 )。设白，黑蚂蚁都走完 2011段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的
2、距离是（ ） A 1 B C D 0 答案： A 函数 是函数 的导函数，且函数 在点处 的切线为 ，如果函数在 区间 上的图象如图所示，且 ，那么（ ） A 是 的极大值点 B = 是 的极小值点 C 不是 极值点 D 是 极值点 答案： B 样本 的平均数为 ，样本 的平均数为 ，那么样本的平均数是（ ） A + B ( + ) C 2( + ) D ( + ) 答案： B 对函数 作 =h(t)的代换，则不改变函数 值域的代换是（ ） A h(t)=10t B h(t)=t2 C h(t)=sint D h(t)=log2t 答案： D 等差数列 前 n项和为 ，满足 ，则下列结论中正确
3、的是（ ） A 是 中的最大值 B 是 中的最小值 C =0 D =0 答案： D 已知角 的顶点与原点重合，始边与 x轴的正半轴重合，终边在直线 y 2x上， 则 cos2 ( ) A - B - C D 答案： B 已知 (n N， n1)的展开式中含有常数，则 n的最小值是（ ） A 4 B 5 C 9 D 10 答案： B 设向量 a， b均为单位向量，且 |a b| ，则 a与 b夹角为（ ） A B C D 答案： C 填空题 等比数列 的公比为 ，其前 项的积为 ，并且满足条件 ， ， 。给出下列结论： ； ， 的 值是 中最大的； 使 成立的最大自然数 等于 198。 其中正确
4、的结论是 . 答案： 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角 形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 OLMN ，如果用 表示三个侧面面积， 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 答案： =6n-4(n=1， 2， 3， 4， 5， 6)构成集合 A， (n=1， 2， 3， 4， 5， 6)构成集合 B，任取 x A B，则 x AB的概率是 。 答案： 以原点为顶点，以椭圆 C： 的左准为准线的抛物线交椭圆 C的右准 线交于 A、 B两点，则 |AB|= 。 答案： 若 t
5、an( ) ，则 tan2的值是 . 答案： 解答题 (本小题满分 12分 )已知条件 ，（ ）和条件， 请选取适当的实数 的一个值，使命题： “ ”为真命题，它的逆命题为假命题，并说明理由。 答案：解：已知条件 即 ，或 ， ，或 ， 已知条件 即 ， ，或 ； 令 ，则 即 ，或 ，此时必有 成立，反之不然 . 故可以选取的一个实数是 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题 . (本小题满分 12分 )一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗 ,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的 ,并且概率都是 . （ 1）求这位司机遇到红灯前 ,已经通过了两个交通岗的
6、概率 ; （ 2）求这位司机遇到红灯数 的期望与方差 . 答案： (1)因为这位司机第一二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯 .所以 (2)设司机遇到红灯次数为随机变量 ， ， . (本小题满分 12分 )已知函数 . (1)若 ，求 x的取值范围； (2)若 对于 1,2恒成立，求实数 m的取值范围 答案：解： (1)当 x0， x 1 (2)当 t 1,2时， 2t m 0， 即 m(22t-1)-(24t-1) 22t-10， m-(22t 1) t 1,2， -(1 22t) -17， -5， 故 m的取值范围是 -5， ) （本小题满分 12分）已知 ABC的面积 S满足 ,
7、 且 , 与 的夹角为 . (I) 求 的取值范围 ; (II)求函数 的最小值 . 答案：解 :(1)由题意知 , , , (2 分 ) 由 , 得 , 即 由 得 , 即 .(4 分 ) 又 为 与 的夹角 , , .(6 分 ) (2) (9 分 ) , .(10 分 ) , 即 时 , 的最小值为 3.(12 分 ) （本小题满分 13分） 已知二次函数 ，直线 ，直线 （其中， 为常数）； .若直线 1、 2与函数 的图象以及 、 轴与函数的图象所围成的封闭图形如图阴影所示 . （ ）求 、 、 的值； （ ）求阴影面积 关于 的函数 的式； （ ）若 问是否存在实数 ，使得 的图象
8、与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 . 答案：解：（ I）由图形可知二次函数的图象过点（ 0， 0），（ 8， 0），并且 的最大值为 16 则 ， 函数 的式为 4 分 （ ）由 得 0t2， 直线 与 的图象的交点坐标为（ 6 分 由定积分的几何意义知： 9 分 （ ）令 因为 ，要使函数 与函数 有且仅有 2个不同的交点，则函数的图象与 轴的正半轴有且只有两个不同的交点 =1或 =3时， 当 （ 0， 1）时， 是增函数，当 （ 1， 3）时，是减函数，当 （ 3， +）时， 是增函数 12 分 又因为当 0 时， ；当 所以要使 有且仅有两个不同的正
9、根，必须且只须 即 ， 或 当 或 时，函数 与 的图象有且只有两个不同交点。 14 分 （本小题满分 14分）对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点。如果函数 有且仅有两个不动点 、，且 。 （ 1）试求函数 的单调区间； （ 2）已知各项均为负的数列 满足 ，求证：； （ 3）设 ， 为数列 的前 项和，求证： 。 答案：（ 1）设 由 又 3 分 于是 由 得 或 ； 由 得 或 故函数 的单调递增区间为 和 ， 单调减区间为 和 4 分 （ 2）由已知可得 ， 当 时， 两式相减得 或 当 时， ，若 ，则 这与 矛盾 6 分 于是，待证不等式即为 。为此，我们考虑证明不等式令 则 ， 再令 ， 由 知 当 时， 单调递增 于是 即 令 ， 由 知 当 时， 单调递增 于是 即 由 、 可知 10 分 所以， ，即 11 分 （ 3）由（ 2）可知 则 在 中令 n=1,2,3.2010 并将各式相加得 即
