1、2013届广东省韶关市高三 4月第二次调研测试数学理科试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 U=R， ，则右图中阴影部分表示的集合为（ ） . A B C D 答案： C 试题分析：由已知中 U为全集， M， N 是集合 U的子集，及图中阴影，分析阴影部分元素满足的性质，可得答案：解：由已知中阴影部分在集合 M中，而不在集合 N 中 ,故阴影部分所表示的元素属于 M，不属于 N（属于 N 的补集） ,即（ UN） M= ,故选 C 考点：集合的关系与运算 点评：本题考查的知识点是 Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键 将高一 (6)班 52名学生分
2、成 A， B两组参加学校组织的义务植树活动， A组种植 150棵大叶榕树苗， B组种植 200棵红枫树苗假定 A， B两组同时开始种植每名学生种植一棵大叶榕树苗用时 小时，种植一棵枫树苗用时 小时 .完成这次植树任务需要最短时间为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 A 组人数为 x,0X52,A 组活动需要的时间为 ，B组活动需要的时间为 ，令 f(x)=g(x)，得到 x= ,所以两组同时开始植树的时间 ，故可知 F(19)= , F(20)= ,故可知 ,故选 C. 考点：函数性质 点评：主要是考查了对于函数性质的运用，分析问题和解决问题的能力，属于基础题。 已知函数 是 R
3、上的奇函数，若对于 ，都有 ， 时， 的值为 A B C 1 D 2 答案： B 试题分析：根据函数的奇偶性可得 f（ -2013） =-f（ 2013），根据函数的周期性可得 f（ 2012） =f（ 0）， f（ 2013） =f（ 1），结合 x 0， 2）时， f（ x） =log2（ x+1），代入可得答案：解： 函数 f（ x）是定义在 R上的奇函数， f（ -2013） =-f（ 2013），又 x0，都有 f（ x+2） =f（ x），故 f（ 2012） =f（ 0），f（ 2013） =f（ 1），又由当 x 0， 2）时， f（ x） =log2（ x+1）， f（ 20
4、12）+f（ -2013） =f（ 2012） -f（ 2013） =f（ 0） -f（ 1） =log21-log22=0-1=-1，故选 C 考点：对数函数图象与性质 点评：本题考查的知识点是对数函数图象与性质的综合应用，函数奇偶性的性质，其中熟练掌握函数的奇偶性和周期 性是解答的关键 给出如下四个命题： 若 “ 且 ”为假命题，则 、 均为假命题； 命题 “若 ，则 ”的否命题为 “若 ，则 ”； “ ”的否定是 “ ”； 等比数列 中，首项 ，则数列 是递减数列的充要条件是公比； 其中不正确的命题个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 试题分析：对于 若 “ 且 ”为假命题
5、，则 、 均为假命题；应该是至少有一个为假命题，错误 对于 命题 “若 ，则 ”的否命题为 “若 ，则 ”；成立， 对于 “ ”的否定是 “ ”；结论否定错误 对于 等比数列 中，首项 ，则数列 是递减数列的充要条件是公比，结合指数函数性质可知成立。故选 C. 考点：命题真假的判断 点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了不等式的性质、利用导数研究函数的单调性与极值和导数的运算法则等知识点，属于中档题 已知 , 圆 内的曲线 与 轴围成的阴影部分区域记为 （如图），随机往圆内投掷一个点 ，则点 落在区域 的概率为（ ） A. B . .C D 答案： A 试题分析：先求构成试验的全部区域为
6、圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线 y=sinx与 x轴围成的区域的面积，从而可求概率解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为 3，正弦曲线 y=-sinx与 x轴围成的区域记为M，根据图形的对称性得：面积为 S=2 =-2cosx|0=4，由几何概率的计算公式可得，随机往圆 O 内投一个点 A，则点 A落在区域 M内的概率 P= ，故答案：为 A 考点：定积分运用 点评：本题考查利用积分求解曲面的面积，几何概型的计算公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 一空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 12 ，则正视图与侧视图中 x的值为 ( ) . . . . 答案： C
7、 试题分析：几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为 4的正方形，侧棱长是 3，下面是一个圆柱，底面直径是 4，母线长是x，写出几何体的体积，得到关于 x的方程，解出结果解：由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为 4的正方形，侧棱长是 3，根据直角三角形勾股定理知圆锥的高是 下面是一个圆柱，底面直径是 4，母线长是 x， 几何体的体积为 12+ ， 4x+ (2 )2 =12+ x=3，故答案：为 C 考点：由 三视图求几何体的体积 点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，实际上本题不是直接求体积，而是根据
8、体积的值列出关于 x的方程，解方程即可 已知 则 （ ） . . . . 答案： A 试题分析：根据二倍角公式可知，则可知，故选 A. 考点：二倍角公式 点评：关键是将函数化为单一三角函数的式，属于基础题。 若 ，为虚数单位，且 ，则 （ ） . . . . . 答案： A 试题分析：根据题意，由于故可知 -2，故选 A. 考点：复数的运算 点评：主要是考查了复数的相等概念和复数的除法运算，属于基础题。 填空题 （几何证明选讲选做题）如图， 为圆 的直径， 为圆 上一点， 和过 的切线互相垂直，垂足为 ，过 的切线交过 的切线于 ， 交圆 于 ，若 ， ，则 = . 答案： 试题分析：解：连接
9、 AC、 AB、 OC， PT与圆 O 相切于点 C， OC PT，同理可得 BT AB，四边形 OBTC 中， OCT= OBT=90， COB+ CTB=180，可得 COB=180-120=60， OC=OB， OBC是等边三角形，可得 OBC=60， AB是圆 O 的直径， AC BC， Rt ABC中， AB=4，可得 AC=ABsin60=2 PC与圆 O 相切于点 C， PCA= CBA=60 AP PC， Rt PAC中， PC=ACcos60= PC与圆 O 相切于点 C， PQB是圆 O 的割线， PQ PB=PC2=3，故答案：为： 3 考点：圆的切线 点评：本题借助于圆
10、的切线和含有 60的直角三角形，求切线长的值，着重考查了直角三角形中三角函数的定义、四边形内角和与圆中的比例线段等知识，属于基础题 （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中 ，过点 引圆的一条切线，则切线长为 答案： 试题分析：把极坐标转化为直角坐标，利用 2=x2+y2， sin=y，极坐标方程转化为直角坐标方程，如图：利用勾股定理求出切线长解：在极坐标系中，过点 A(1， )引圆 =8sin的一条切线，在直角坐标系下， A（ 0， -1），方程化为 x2+y2-8y=0，圆心（ 0， 4），半径： 4，切线长为 3，故答案：为 3. 考点：极坐标和直角坐标的互化 点评：本题考查点的极坐标和直
11、角坐标的互化，考查转化思想，计算能力，是基础题 下面给出四种说法： 下面给出四种说法： 设 、 、 分别表示数据 、 、 、 、 、 、 、 、 、 的平均数、中位数、众数，则 ； 在线性回归模型中，相关指数 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于 1，表示回归的效果越好 绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距； 设随机变量 服从正态分布 ，则 . 其中正确的说法有 （请将你认为正确的说法的序号全部填写在横线上） 答案： 试题分析：根据题意， 设 、 、 分别表示数据 、 、 、 、 、 、 、 、 的平均数、中位数、众数，则 ；成立。 在线性回归模型中，相关指数 表
12、示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于 1，表示回归的效果越好，成立 绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；错误。 设随机变量 服从正态分布 ，则 .成立，满足对称性。 表示解释变量对于预报变量变化的贡献率， 越接近于 1，表示回归的效果越好 故可知填写 考点：正态分布，直方图，回归方程 点评：主要是考查了统计中回归方程和统计中正态分布的综合运用，属于基础题。 已知 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：根 据题意，由于 ，使不等式 成立，则可知 ，所以，同时对数真数大于零，即a4，故答案：为 考点：绝对值不等式 点评：本题的考点是函数恒成立问题，
13、主要考查绝对值不等式的应用问题，属于基础题 设点 是双曲线 与圆 在第一象限的交点，其中 分别是双曲线的左、右焦点，若 ，则双曲线的离心率为 _. 答案： 试题分析：先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于 a、 c的等式，求得离心率解：依据双曲线的定义： |PF1|-|PF2|=2a，又 ，即|PF1|=3|PF2|， |PF1|=3a， |PF2|=a， 圆 x2+y2=a2+b2的半径 r=c， F1F2是圆的直径， F1PF2=90在直角三角形 F1PF2中由（ 3a） 2+a2=（ 2c） 2，得 e= ,故填写
14、 考点：双曲线的定义 点评：本题考查了双曲线的定义，双曲线的几何性质，离心率的求法 执行右边的程序框图，若 ，则输出的 .答案： 试题分析：根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断 ，依次得到 n=1,s= ;n=2, s=;n=3, ,n=4, 根据题意可知解得若 ，则输出的 ，故答案：为 考点：流程图 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是： 分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理） 建立数学
15、模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型 解模 已知平面向量 ， ， ， ， ；则 的值是 . 答案： 试题分析：根据题意，由于平面向量 ， ， ， ，；，那么可知 ，故答案：为 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的运算的运用，属于基础题。 解答题 的三个内角 对应的三条边长分别是 ,且满足（ 1）求 的值； （ 2）若 , ，求 和 的值 . 答案：（ 1） （ 2） ， b= 试题分析：解：（ 1）因为 由正弦定理得： 2分 由 3分 所以 ， ； 6分 （ 2）由 ， 则 ， 8分 10分 由 ， 12分 考点：解三角形 点评：主要是考查了解三角形中正弦定理和两角和
16、差的三角公式的运用，属于中档题。 甲、乙两人在罚球线互不影响地投球，命中的概率分别为 与 ，投中得 1分，投不中得 0分 . （ 1）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求两人得分之和 的数学期望； （ 2）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求甲恰好比乙多得分的概率 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1）依题意，记 “甲投一次命中 ”为事件 A， “乙投一次命中 ”为事件 B，则 与 相互独立，且 P（ A） = ， P（ B） = ， P（ ） = ， P（ ）= . 1分 甲、乙两人得分之和 的可能取值为 0、 1、 2， 2分 4分 则 概率分布为： 0 1 2 5分 =0 +1 +
17、2 = . 6分 答：每人在罚球线各投球一次，两人得分之和 的数学期望为 . 7分 （ 2）设甲恰好比乙多得分为事件 ，甲得分且乙得 分为事件 ，甲得分且乙得分为事件 ，则 = + ，且 与 为互斥事件 . 8分 11分 答：甲、乙两人在罚球线各投球二次，甲恰好比乙多得分的概率为 。 12分 考点：分布列和独立事件的概率 点评：主要是通过实际问题来考查同学们运用概率公式来求解事件发生的概率以及分布列的运用，属于中档题。 如图甲，在平面四边形 ABCD中，已知 ,现将四边形 ABCD 沿 BD折起，使平面 ABD 平面 BDC（如图乙），设点 E、 F分别为棱 AC、 AD的中点 （ 1）求证：
18、 DC 平面 ABC； （ 2）求 BF 与平面 ABC所成角的正弦值； （ 3）求二面角 B-EF-A的余弦值 答案：（ 1）对于线面垂直的证明主要是根据线线垂直来得到线面垂直。 （ 2） （ 3） （ 1） 试题分析：证明：在图甲中 且 （ 2） , 即 2分 在图乙中， 平面 ABD 平面 BDC ， 且平面 ABD 平面 BDC BD AB 底面 BDC， AB C D 4分 又 ， DC BC,且 DC 平面 ABC 5分 （ 2）解法 1： E、 F分别为 AC、 AD的中点 EF/CD，又由（ 1）知， DC 平面 ABC， EF 平面 ABC，垂足为点 E FBE是 BF 与平
19、面 ABC所成的角 7分 在图甲中， , , 设 则 , , -9分 在 Rt FEB中， 即 BF 与平面 ABC所成角的正弦值为 10分 解法 2：如图，以 B为坐标原点， BD所在的直线为 x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设 ，则 ， 6分 可得 , , ， ， , 8分 设 BF 与平面 ABC所成的角为 由（ 1）知 DC 平面 ABC 10分 （ 3）由（ 2）知 FE 平面 ABC， 又 BE 平面 ABC， AE 平面 ABC， FE BE， FE AE， AEB为二面角 B-EF-A的平面角 12分 在 AEB中， 即所求二面角 B-EF-A的余弦为 14分 考点：垂直的证
20、明，角的求解 点评：主要是考查了空间中垂直的证明，以及线面角和二面角的平面角的大小的求解，属于基础题。 如图，过点 P（ 1， 0）作曲线 C： 的切线，切点为 ，设点 在 轴上的投影是点 ；又过点 作曲线 的切线，切点为 ，设 在轴上的投影是 ； ；依此下去，得到一系列点 ，设点 的横坐标为 . （ 1）求直线 的方程； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）记 到直线 的距离为 ，求证： 时， 答案：（ 1） （ 2） （ 3）根据点到直线的距离公式来放缩得到证明。 试题分析：解：（ 1）令 ，由 得 1分 即 故 2分 ，则切线 的方程为： 4分 （ 2）令 ，则 5分 化简得 ， 6分
21、 故数列 是以 2为首项 2为公比的等比数列 7分 所以 9分 （ 3）由（ 2）知 ， ， 故 10分 11分 12 故 14分 考点：数列和点到直线的距离 点评：主要是考查了数列于几何的综合运用，属于难度题。 已知椭圆 的左右焦点为 ，抛物线 C： 以F2为焦点且与椭圆相交于点 、 ,点 在 轴上方，直线与抛物线 相切 . （ 1）求抛物线 的方程和点 、 的坐标； （ 2）设 A,B是抛物线 C上两动点，如果直线 ， 与 轴分别交于点 . 是以 , 为腰的等腰三角形，探究直线 AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由 . 答案：（ 1） M、 N 的坐标分别为（ 1， 2）
22、、（ 1， -2）。 （ 2） 为定值 试题分析：解：（ 1）由椭圆方程得半焦距 1分 所以椭圆焦点为 又抛物线 C的焦点为 3分 在抛物线 C上， ，直线 的方程为 4分 代入抛物线 C得 5分 与抛物线 C相切， ， 6分 M、 N 的坐标分别为（ 1， 2）、（ 1， -2）。 7分 （ 2）直线 AB的斜率为定值 -1. 证明如下：设 ， ， ， A、 B在抛物线 上，由 - 得， 由 - 得， 分 因为 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形，所以 分 由 得 化简整理， 得 由 得： 为定值 14分 解法二：设 ， 6分 则 ， 8分 因为 是以 MP,MQ 为腰的等腰三角形，所以 1
23、0分 即 所以 所以，由 得 12分 所以， 所以，直线 AB的斜率为定值，这个定值为 14分 考点：直线与抛物线的位置关系 点评：主要是考查了抛物线方程的方程的求解以及直线与抛物线的位置关系的运用，属于中档题。 设函数 其中 （）若 =0，求 的单调区间； （ 2）设 表示 与 两个数中的最大值，求证：当 0x1时， | | 答案：（ 1），函数 f(x)的单调增区间是 (-， )及 (1， +) 单调减区间是（ 2）根据导数判定单调性，进而得到最值，然后来证明结论。 试题分析：解： (1)由 =0，得 a=b 当 时，则 ， 不具备单调性 .2分 故 f(x)= ax3-2ax2+ax+c 由 =a(3x2-4x+1)=0，得 x1= ， x2=1 3分 列表： x (-， ) ( ， 1) 1 (1，+) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 由表可得，函数 f(x)的单调增区间是 (-， )及 (1， +) 单调减区间是5 分 （ 2）当 时， = 若 ， 若 ，或 ， 在 是单调函数， ，或 7分 所以， 当 时， =3ax2-2(a+b)x+b=3 当 时，则 在 上是单调函数， 所以 ，或
