1、2013届陕西省三原县北城中学高三第一次月考理科数学卷（带解析） 选择题 已知集合 = A B（ ， 0 C（ ,0 ） D 0,+） 答案： C 试题分析：由已知得 ，所以 . 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：解决集合的运算问题，先搞清楚集合中的元素是什么再求解，必要时可以借助数轴或韦恩图辅助解决 . 电子钟一天显示的时间是从 00:00到 23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23的概率为 A B C D 答案： C 试题分析：由于一天有 1440分钟，所以有 1440种不同的结果，其中符合要求的有 19： 49， 19： 58， 18： 59，
2、 09： 59共四种，所以所求概率为 考点：本小题主要考查古典概型求概率。 点评：古典概型求概率，要保证每个基本事件都是等可能的 . 某台小型晚会由 6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A 36种 B 42种 C 48种 D 54种 答案： B 试题分析：因为节目甲必须排在第四位，所以可以不再考虑节目甲，又因为节目乙不能排在第一位，节目丙不能排在最后一位，所以如果节目乙排在最后一位，则有 种排法；如果节目乙也不排在最后一位，则最后一位还有三个节目可选，所以有 种排法，所以共有 42种排法 .
3、考点：本小题主要考查排列的应用 . 点评：应用排列组合知识解决有限制条件的实际问题时，要注意采用特殊元素优先、特殊位置优先等方法 . 已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为函数 在区间 上的最小值是 ，所以结合三角函数图象可知当 ，需要 当 时，需要，所以 的取值范围为 . 考点：本小题主要考查三角函数的周期与最值 . 点评：求解本小题时，不要忘记讨论 的正负，然后结合三角函数图象数形结合解决问题 . 已知某四棱锥的三视图（单位： cm）如图所示，则该四棱锥的体积是 A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该四棱锥是横着
4、放的，该四棱锥的地面是矩形，有一个侧面垂直于地面，高为 ，所以该四棱锥的体积为 考点：本小题主要考查三视图和椎体的体积 . 点评：解决与三视图有 关的问题的关键是根据三视图正确还原几何体 . 正方体 中 与截面 所成的角是 A B C D 答案： A 试题分析：连接 交 于点 ，连接 ,则 为直线 与平面所成的角，在 中， ,所以直线 与平面所成的角的大小为 考点：本小题主要考查直线与平面所成的角 . 点评：考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题 . 已知函数 上有两个零点，则 m的取值范围是 A（ 1,2） B 1,2）
5、C（ 1,2 D l,2 答案： B 试题分析：由已知， ，而 ，所以 ，结合三角函数图象可知 m的取值范围是 1,2） . 考点：本小题主要考查三角函数的值域 . 点评：解决此类问题时，一般把零点个数转化为两条曲线交点个数问题 . 已知向量 ，且 ，则 等于 A B C D 答案： A 试题分析：向量 ，且 ，所以 ，即 . 考点：本小题主要考查向量共线的坐标运算 . 点评：向量共线与垂直是两种特殊的位置关系，它们的坐标运算经常考查，要熟练掌握，仔细运算 . 已知函数 图象相邻两对称轴间的距离为 ，则 的值是 A B C D 答案： C 试题分析：因为函数 图象相邻两对称轴间的距离为 ，所以
6、该函数的半个周期为 4，周期为 8，所以 考点：本小题主要考查三角函数的性质 . 点评：三角函数的性质是每年高考必考的内容，要结合三角函数图象数形结合进行求解。 已知函数 ， x R，则 是 A最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 的奇函数 C最小正周期为 的偶函数 D最小正周期为 的奇函数 答案： B 试题分析：由已知得：所以 是最小正周期为 的奇函数 . 考点：本小题主要考查三角函数的化简，三角函数的性质 . 点评：求解三角函数的性质，先要把三角函数化成 或的形式 . 填空题 若 分别是曲线 和 上的动点，则 两点间的距离的最小值是 ； 答案： 试题分析：曲线 和 可化为直角坐标方程为：
7、与 ， 在直线与圆心 半径为 1的圆上，圆心 到直线的距离 ， 两点间的距离的最小值 考点：本小题主要考查简单曲线的极坐标方程 . 点评：遇到极坐标方程，可以先化为直角坐标方程，再进行求解 . 如图，过点 作圆 的割线 与切线 ， 为切点，连接 ，的平分线与 分别交于点 ，若 ，则 ； 答案： 试题分析：由题意可知 ,又所以 考点：本小题主要考查圆周角定理 . 点评：解决本小题的关键是正确运用圆周角定理，此内容属于选修内容 . 不等式 的解集是 ； 答案： 试题分析：当 时， 当时， ，综上可知原不等式的解集为 . 考点：本小题主要考查含绝对值的不等式的求解 . 点评：求解含绝对值的不等式，一
8、般要分类讨论，分类讨论时要做到不重不漏 . 在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的名增至 14名，但只任取其中名裁判的评分作为有效分，若 14名裁判中有 2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率 是 。（结果用数值表示） 答案： 试题分析：根据题意可知，有效分中没有受贿裁判的评分的概率是 考点：本小题主要考查古典概型，组合 . 点评：高考中古典概型的概率问题一般也离不开排列、组合，要仔细分析到底有序还是无序，到底是应该用排列还是应该用组合 . 执行如图的程序框图，那么输出 的值是 答案： -1 试题分析：根据程序框图可知，该程序中 S 的值依次为 ，周期为 3
9、，所以该程序输出的 S的值为 -1. 考点：本小题主要考查程序框图 . 点评：读懂框图，把程序框图中所表示的问题抽象成熟悉的数学问题是解决此类问题的关键。 已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为 ,则他在3天乘车中 ,此班次公共汽车至少有 2天准时到站的概率为 答案： 试题分析：根据独立重复试验恰好发生 k次的概率公式可知，此班次公共汽车至少有 2天准时到站的概率为 考点：本小题主要考查独立重复试验恰好发生 k次的概率的求法 . 点评：解决本小题也可以先计算对立事件的概率 . 将函数 的图象向左平移 个单位后，得函数的图象，则 等于 . 答案： 试题分析：将函数 的 图象向左
10、平移 个单位后得到函数，因为得到的是 ，又有 ，所以 等于. 考点：本小题主要考查三角函数图象的平移 . 点评：三角函数图象左右平移时，要注意平移的单位是相对于 x说的 . 解答题 如图所示，等腰 ABC的底边 AB=6 ,高 CD=3，点 E是线段 BD上异于点 B、 D的动点 .点 F在 BC 边上，且 EF AB.现沿 EF 将 BEF折起到 PEF的位置，使 PE AE.记 ,用 表示四棱锥 P-ACFE的体积 . （ ）求 的表达式； （ ）当 x为何值时 , 取得最大值？ ( ）当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF所成角的余弦值 答案：（ ） （ ） 时 取得最大值
11、( ) 试题分析： ( )根据四棱锥的体积公式可知， 即 ; ( ) , 时 , 时 , 时 取得最大值 . ( )以 E为空间坐标原点 ,直线 EF 为 轴 ,直线 EB为 轴 ,直线 EP 为 轴建立空间直角坐标系 ,则 ; , 设异面直线 AC 与 PF夹角是 ， . 考点：本小题主要考查四棱锥的体积，异面直线所成的角，函数的最值 . 点评：本小题融合了四棱锥的体积计算，函数的最值，异面直线所成的角等问题，比较综合，但是难度不大，求解时要注意取值范围 . 已知函 数 （ ）的最小正周期为 ， （ ）当 时，求函数 的最小值； （ ）在 中，若 ,且 ,求 的值。 答案：（ ） （ ） 试
12、题分析： ， 依题意函数 的最小正周期为 ，即 ，解得 ， 所以 . （ ）由 得 ， 所以，当 时， . （ ）由 ，得 ， 而 , 所以 ，解得 ， 在 中， , , 所以 ， ，解得 12分 考点：本小题主要考查三角函数的化简求值 . 点评：三角函数中公式比较多，应用时要灵活选择，准确应用，还要注意各公式的适用条件 . 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20海里的 A处，并正以 30海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇。 （ ）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的
13、大小应为多少？ （ ）假设小艇的最高航行速度只能达到 30海里 /小时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。 答案：（ ） 海里 /小时（ ）方案如下：航行方向为北偏东 ，航行速度为 30海里 /小时，小艇能以最短时间 与轮船相遇 . 试题分析：（ I）设相遇时小艇航行的距离为 S海里，则 = = ， 故当 时， ，此时 ， 即小艇以 海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小。 （ II）设小艇与轮船在 B出相遇，则 ， 故 ， ， ， 即 ，解得 ， 又 时， ， 故 时， t取最小值，且最小值等于 ， 此时，在 中，有 ，故
14、可设计方案如下： 航行方向为北偏东 ，航行速度为 30海里 /小时，小艇能以最短时间与轮船相遇 . 考点：本小题主要考查解三角形在实际问题中的应用 . 点评：正弦定理和余弦定理在解三角形中应用十分广 泛，要准确灵活应用，应用正弦定理时要注意解的个数问题 . 2013年春节前，有超过 20万名广西、四川等省籍的外来务工人员选择驾乘摩托车沿 321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交事故，肇庆市公安交警部门在 321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让过往返乡过年的摩托车驾驶人有一个停车休息的场所。交警小李在某休息站连续 5天对进站休息
15、的驾驶人员每隔 50辆摩托车就进行省籍询问一次，询问结果如图所示： （ 1）问交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ （ 2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有 5名，则四川籍的应抽取几名？ （ 3）在上述抽出的驾驶人员中任取 2名，求抽取的 2名驾驶人员中四川籍人数的分布列及其数学期望。 答案：（ 1）系统抽样（ 2） 2名 （ 3） 的分布列为： 0 1 2 数学期望 试题分析：（ 1）根据题意因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点， 所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法 . 3分 （ 2）从图中可知，被询问了省籍的
16、驾驶人员广西籍的有：人， 四川籍的有： 人， 5 分设四川籍的驾驶人员应抽取名，依题意得 ，解得 ， 即四川籍的应抽取 2名 . 8 分 (3) 的所有可能取值为 0， 1， 2； ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 13 分 数学期望 . 14 分 考点：本小题主要考查随机抽样，分布列，数学期望 . 点评：随机抽样分简单随机抽象，系统抽样，分层抽样三种，各自有各自的特点和适用范围，要灵活选择；写分布列时，要准确求出各自的概率，并通过验证概率和是否是 1验证所写分布列是否正确 . 如图 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面为直角梯形ABCD,AD BC, BAD=90O,PA 底面 ABCD,
17、且 PA=AD=AB=2BC,M,N 分别为PC,PB的中点 .(1)求证 :PB DM;(2)求 CD与平面 ADMN 所成角的正弦值 ;(3)在棱 PD上是否存在点 E,且 PE ED=,使得二面角 C-AN-E的平面角为 60o.若存在求出 值，若 不存在，请说明理由。 答案：（ 1）建系，利用 ，证明 PB DM （ 2） （ 3）先假设存在，求出法向量，可以算出无解，所以不存在符合要求的解 . 试题分析：（ 1）如图以 A为原点建立空间直角坐标系 A（ 0， 0， 0）， B（ 2， 0， 0）， C（ 2， 1， 0）， D（ 0， 2， 0） M（ 1， ， 1）， N（ 1，
18、0， 1）， E（ 0， m， 2-m）， P（ 0， 0， 2） （ 2， 0， -2）， （ 1， - ， 1）， =0 （ 2） =（ -2， 1， 0）平面 ADMN 法向量 =（ x,y,z）， =（ 0， 2， 0）， =（ 1， 0， 1） ， 所以 ，即 ，解得 =（ 1， 0， -1）， 设 CD与平面 ADMN 所成角 ，则 . （ 3）设平面 ACN 法向量 =（ x,y,z） , 所以 ，解得 =（ 1,-2,-1）， 设 ,所以 ， 同理可以求出平面 AEN 的法向量 ， 因为 ，所以 ， 所以 ， 此方程无解，所以不存在符合要求的点 . 考点：本小题主要考查空间中线线垂直、线面角和二面角 . 点评：解决立体几何问题，可以建立空间向量，但是证明时也要根据相应的判定定理和性质定理，定理中要求的条件要一一列举出来，另外还要注意各种角的取值范围 .
