1、2014届哈师大、东北师大、辽宁实验中学高三第一次联合模拟文数学卷（带解析） 选择题 设集合 ，则 （ ） A R B C D 答案： C 试题分析：因为 ，又 ，所以.选 B 考点：集合的基本运算 . 已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：作出 的图象如图所示，由 得 .将求导得 ，易得 是 的极小值 .由图可知，要使得 的值域是 ，需 ，故选 B. 考点：函数的应用 . 双曲线 的右焦点为 ，以原点为圆心， 为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为 ，若此圆在 点处的切线的斜率为，则双曲线 的离心率为 A B C D 答案： A 试题分析：设切
2、点为 ，则 ，代入得：. 考点：圆与双曲线 . 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 ，当且仅当时称为 “凹数 ”（如 213， 312等），若 ，且 互不相同，则这个三位数为 “凹数 ”的概率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于 ，且 互不相同，故可得 个三位数 .若 ，则 “凹数 ”有： . 共 6个；若 ，则 “凹数 ”有： . 共 2个 .所以这个三位数为 “凹数 ”的概率为有 . 考点：古典概型 . 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由三视图可知，该几何体是三分之一个圆锥，其体积为. 考
3、点：三视图及几何体的体积 . 已知函数 的零点依次为 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，所以 ，而 必然大于 0.选A. 考点：函数的零点 . 直线 均不在平面 内，给出下列命题： 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 ； 若 ，则 .则其中正确命题的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 答案： D 试题分析：注意前提条件直线 均不在平面 内 .对 ，根据线面平行的判定定理知， ；对 ，如果直线 与平面 相交，则必与 相交，而这与矛盾，故 ；对 ，在平面 内取一点 ，设过 、 的平面 与平面 相交于直线 .因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ；对 ，设 ，在 内作
4、 ，因为 ，所以 ，从而 . 故四个命题都正确 . 考点：空间直线与平面的位置关系 . 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 答案： D 试题分析：作出不等式组 表示的区域如下图所示，从图可看出，当时， 最大 .故选 D. 考点：线性规划 . 执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ； ； ； .则输出的函数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：对 ，显然满足 ，且存在零点 .故选 A. 考点：程序框图及函数的性质 . 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是（ ） A 21 B 24 C 28 D 7 答案： C 试题分析：由题意得
5、，所以 . 考点：等差数列 . 命题 “ ”的否定是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：全称命题： “ ”的否定为 “ ”，据此可知，选 A. 考点：简单逻辑，全称命题的否定 . 若复数 满足 ，则复数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： .选 C. 考点：复数的基本运算 . 填空题 已知函数 ，给出下列五个说法： ； 若 ，则 ； 在区间 上单调递增； 函数 的周期为 . 的图象关于点成中心对称 . 其中正确说法的序号是 . 答案： 试题分析：对 ：，正确；对 ： ，故不正确；对 ： 时，易知 在区间 上单调递增，故正确；对 ： ，故函数 的周期不是 .对 ：，显然二者
6、不恒相等，故 不是 的中心对称 . 考点：三角函数及其性质 . 正四面体 ABCD的棱长为 4， E为棱 BC的中点，过 E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 . 答案： 试题分析：将四面体 ABCD补为正方体，如下图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球 .设球心为 O，面积最小的截面就是与 OE垂直的截面 .由图可知，这个截面就是底面正方形的外接圆，其面积为： . . 考点：空间几何体 . 正方形 ABCD的边长为 2， ， ，则 . 答案： 试题分析：由 知， 是 的中点 . 所以. 考点：向量的基本运算 . 若 ，则 . 答案： 试题分析：，所以 . 考点：三角恒等变换 . 解
7、答题 已知在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 （ 为参数），直线 经过定点 P（ 3， 5），倾斜角为 （ 1）写出直线 的参数方程和曲线 C的标准方程；（ 2）设直线 与曲线 C相交于 A、 B两点，求 的值 答案：（ 1）直线 ， 为参数；曲线 C：（ 2） 3 试题分析：（ 1）对曲线 C，利用 消去 即得：，这就是曲线 C的标准方程一般地，直线的参数方程为， 为参数，将条件代入即得 （ 2）根据直线的参数方程中的参数 几何意义知 ，因此将直线的参数方程代入圆的方程可得，再利用韦达定理即可得 的值 试题：（ ）圆 C： ，直线 ， 为参数 5分 （ ）将直线的参数方程代入圆的方
8、程可得 ， 8分 设 是方程的两个根，则 ，所以 10分 考点：直线与圆的参数方程及其应用 如图， PA、 PB是圆 O的两条切线， A、 B是切点， C是劣弧 AB（不包括端点）上一点，直线 PC交圆 O于另一点 D， Q在弦 CD上，且求证： （ 1） ；（ 2） 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 试题分析：（ 1）比例问题，常常考虑通过相似三角形证明在本题中，注意两组相似三角形： ， ，利用这两组相似三角形中的相似比，通过等量代换即可得证 （ 2）连结 因为弦切角等于同弧所对的圆周角，又由已知 ，所以 又因为同弧对的圆周角相等，所以 ，由此得 ，从而 ，结合（ 1）得 ，又因为，所以 试
9、题：（ 1）因为 ，所以 同理 又因为 ，所以 ，即 5分 （ 2）因为 ， ， 所以 ，即 故 又因为 ， 所以 10分 考点：几何证明 已知函数 （ e为自然对数的底数） （ 1）求函数 的单调区间； （ 2）设函数 ，存在实数 ，使得成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 在 上单调递增，在 上单调递减；（ 2）试题分析：（ 1）求导得 ，根据导数的符号即可求出 的单调区间（ 2）如果存在 ，使得 成立，那么由题设得 ，求导得由于含有参数 ，故分情况讨论，分别求出 的最大值和最小值如何分类呢？由 得 ，又由于 故以 0、1为界分类 当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增以上
10、两种情况都很容易求得 的范围当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增，所以最大值为 中的较大者，最小值为， ，一般情况下再分类是比较这两者的大小，但，由（ 1）可知 ，而 ，显然 ，所以 无解 试题：（ 1） 函数的定义域为 R， 2分 当 时， ，当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减 4分 （ 2）假设存在 ，使得 成立，则 。 6分 当 时， ， 在 上单调递减， ，即 8分 当 时， ， 在 上单调递增， ，即10分 当 时， 在 ， ， 在 上单调递减， 在 ， ， 在 上单调递增， 所以 ，即 相关试题 椭圆 的离心率为 ，且经过点 过坐标原点的直线 与 均不在坐标轴上， 与椭
11、圆 M交于 A、 C两点，直线 与椭圆 M交于 B、 D两点 （ 1）求椭圆 M的方程； （ 2）若平行四边形 ABCD为菱形，求菱形 ABCD的面积的最小值 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3）最小值为 试题分析：（ 1）依题意有 ，再加上 ，解此方程组即可得的值，从而得故椭圆 的方程（ 2）由于四边形 ABCD是平行四边形，所以 ABCD的对角线 AC和 BD的中点重合 利用（ 1）所得椭圆方程，联立方程组 消去 得：，显然点 A、 C 的横坐标是这个方程的两个根，由此可得线段 的中点为 同理可得线段 的中点为，由于中点重合，所以 解得，或 (舍 )这说明 和 都过原点即相交于原点 （
12、 3）由于对角线过原点且该四边形为菱形，所以其面积为 由方程组易得点 A的坐标（用 表示），从而得 （用 表示）；同理可得 （由于 ，故仍可用 表示）这样就可将 表示为 的函数，从而求得其最小值 试题：（ 1）依题意有 ，又因为 ，所以得 故椭圆 的方程为 3分 （ 2）依题意，点 满足 所以 是方程 的两个根 得 所以线段 的中点为 同理，所以线段 的中点为 5分 因为四边形 是平行四边形，所以 解得， 或 (舍 ) 即平行四边形 的对角线 和 相交于原点 7分 （ 3）点 满足 所以 是方程 的两个根，即 故 同理， 9分 又因为 ，所以 ，其中 从而菱形 的面积 为 相关试题 如图，在四
13、棱锥 S-ABCD中，底面 ABCD是直角梯形， AD垂直于 AB和DC，侧棱 SA 底面 ABCD，且 SA 2， AD DC 1， 点 E在 SD上，且 （ 1）证明： 平面 ； （ 2）求三棱锥 的体积 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析： (1)由于侧棱 底面 ， 又 ， 侧面 从而 ,又因为 ，所以 平面 (2) 平面 ， 所以 ，从而 又由题设可得： 平面 ，所以点 B到平面 SCD的距离等于点 A到平面 SCD的距离 AE ，所以 试题： ( )证明： 侧棱 底面 ， 底面 1分 又 底面 是直角梯形， 垂直于 和 ,又 侧面 , 3分 侧面 平面 5分 （ 2） 平面 7分
14、 在 中 ， 9分 ， 所以点 B到平面 SCD的距离等于点 A到平面 SCD的距离 AE 11分 所以 12分 考点： 1、空间直线与平面的位置关系； 2、空间几何体的体积； 3、二面角 某城市随机抽取一年（ 365天）内 100天的空气质量指数 API的监测数据，结果统计如下： API 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 重度污染 天数 4 13 18 30 9 11 15 （ 1）若某企业每天由空气污染造成的经济损失 S（单位：元）与空气质量指数API（记为 w）的关系为： ，试估计在本年度内随机抽取一天，该天经济损失S大于 200元且不超过 600元的概率； （
15、 2）若本次抽取的样本数据有 30天是在供暖季，其中有 8天为重度污染完成下面 列联表，并判断能否有 的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？ 附： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 答案：（ 1） ；（ 2）有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 试题分析：（ 1）根据所给数据，求出经济损失 S大于 200元且不超过 600元的天数的频率，以此频率作为 “在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S大于 200元且不超过 600元 ”的概率（估计） （ 2）由于总共有 15天为重度污染，其中有 8天在供暖季，那么有 7天在非供暖季；在 30天供暖季中有 8天为重度污
16、染，那么有 22天为非重度污染；非重度污染有 85天其中有 22天在供暖季，那么有 63天在非供暖季，由此可完成列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 代入公式 即可求得 K2的观测值，从而确定是否有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 试题：（ ）设 “在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S大于 200元且不超过 600元 ”为事件 A 1分 由 ，得 ，频数为 39， 3分 所以 4分 （ ）根据以上数据得到如下列联表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 1
17、5 100 8分 K2的观测值 10分 所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关 12分 考点： 1、概率与统计； 2、函数的应用 三角形 ABC中，内角 A、 B、 C所对的边 a、 b、 c成公比小于 1的等比数列，且 .（ 1）求内角 B的余弦值；（ 2）若 ，求三角形 的面积 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析： (1) 首先应考虑将 的角换掉一个，那么换掉哪一个？比较一下，可知只有换掉角 B可使式子简化 .换掉角 B之后用公式化简可得 .接下来又怎么办？我们的目的是求 ，而，故应将 转化为边的关系 .由 得.又因为 a、 b、 c成公比小于 1的等比数列，所以 ，这样
18、将， 代入 便可得 .（ 2）由 ， ，. 再求出 ，用面积公式得 . 试题： (1) . . 2分 4分 又因为 所以 6分 (2) 8分 又因为 10分 所以 12分 考点： 1、三角变换； 2、正弦定理与余弦定理； 3、三角形的面积 设函数 （ 1）求不等式 的解集； （ 2）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围 答案：（ 1）解集为 ；（ 2） 或 试题分析：（ 1）该函数实质上是如下的一个分段函数， 所以原不等式转化为 或 或 ，求出每个不等式的解，然后取并集即可（ 2）关于 的不等式 在 上无解，则由上问可知函数在 0,1单调递增，因此只要，解此不等式即可 试题：（ 1） ， 所以原不等式转化为 或 或 3分 解得 ，所以原不等式的解集为 6分 （ 2）由上问可知函数在 0,1单调递增，因此只要 8分 解得 或 10分 考点： 不等式及其应用
