1、2014届山西省高三第一次四校联考理数学卷（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ,则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：将集合化简 表示大于 的整数； ，表示小于等于 的数，故 ,选 D. 考点：集合的运算 已知函数 定义域为 ，且函数 的图象关于直线对称，当 时， ，（其中 是的导函数），若 ，则 的大小关系是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 是将 的图象向左平移 个单位得到，而其图象关于直线 对称，故 的图象关于 轴对称，可见 为偶函数，又 ，所以 ，令 得，所以 时， ，且为偶函数，而在 减，因为 ，而 ，所以 ，选 B. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.
2、函数的单调性的应用； 3.导数在研究函数单调性的应用 . 抛物线 的焦点为 ，点 为抛物线上的动点，点 为其准线上的动点，当 为等边三角形时，则 的外接圆的方程为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：设 点坐标为 ，因为 要构成等边三角形，由抛物线的性质（抛物线上的点到焦点和准线的距离相等）得 点坐标为 ，由题意可得 ，解得 .当 时，其外接圆的圆心坐标为，即 ，半径的平方 ，所以外接圆的方程为 ；当 时，可得圆心坐标为， ，所以外接圆的方程为，综上可知 的外接圆的方程为，选 B. 考点： 1.抛物线的性质； 2.圆的标准方程 . 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 为球 的直
3、径，且, ， 为等边三角形，三棱锥 的体积为 ，则球的半径为 ( ) A 3 B 1 C 2 D 4 答案： C 试题分析：设球的半径为 ，根据题意画出图形，则 ，所以的体积 = 的体积 + 的体积，即，解得 ，选 C. 考点：空间几何体的体积 . .已知函数 ，若方程 有两个实数根，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：要使方程 有两个实数根，则函数 和的图象有两个交点， 而 ，画出图象，由于过定点 ，要使函数 和 的图象有两个交点，由上图可知，选 B. 考点： 1.分段函数； 2.函数与方程； 3.函数图象 . 设 ,当实数 满足不等式组 时，目标函数 的最大值等
4、于 2，则 的值是 ( ) A 2 B 3 C D 答案： D 试题分析：根据不等式组画出可行域为图中黄色部分，目标函数写为，因为 所以 ，当 时， 取值大值，函数的图象落在图中红色部分，将其平移进过可行域 时，在 点 有最大值，此时 ，所以有 ，解得 ，选 D. 考点：线性规划 . 如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是 ( ) A 9 B 10 C 12 D 18 答案： A 试题分析：由三视图还原出原几何图形如图，其中正视图由 面看入， ,所以体积，选 A. 考点： 1.空间几何体的三视图； 2.空间几何体的体积 . 已知 展开式中，奇数项的二项式系数之和为 64，则展开式中含 项的
5、系数为 ( ) A 71 B 70 C 21 D 49 答案： B 试题分析：因为奇数项的二项式系数之和为 ，所以 ，因此展开式中含 项的系数为 ，选 B. 考点：二项式定理 . 已知等比数列 的首项 公比 ，则( ) A 50 B 35 C 55 D 46 答案： C 试题分析：,选 C. 考点： 1.对数的运算性质； 2.等比数列的定义； 3.等差数列求和 . 按照如图的程序运行，已知输入 的值为 2+log23，则输出 的值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 故，选 C. 考点： 1.程序框图； 2.对数式的计算 . 若焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，则该
6、双曲线的渐近线方程为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：由题意可得 ，因为 ，所以，故渐近线方程为 ，选 A. 考点：双曲线的离心率 . 复数 的虚部为 ( ) A 2 B C D 答案： B 试题分析： 由复数的定义知其虚部为 ，选 B. 考点： 1.复数的定义； 2.复数的计算 . 填空题 已知数列 的前 项和 满足 ， ，则的最小值为 答案： 试题分析：因为 ，所以 因为 ，显然 化简得 ，可见 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，从而，要使 最小则需最小，即 时最小，此时 ，当 时，故对任意的 ， 最小为 . 考点： 1.数列 和前 项和 的关系； 2.等差数列 .
7、设 为第四象限角， ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以，又 ， ，所以 . 考点：三角函数诱导公式 . 已知数列 满足 ，则 的值为 答案： 试题分析： 由 得 可见数列的周期为 ，所以 . 考点：周期数列 . 已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 与向量 的夹角为 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，因为 ，故 . 考点：向量的数量积 . 解答题 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的极坐标方程为 ,过点 (-2， -4)的直线 的参数方程为 （ 为参数），直线 与曲线 相交于 两点 （ ）写出曲线 的直角坐标方程和直线 的普通方程； （ ）
8、若 ，求 的值 答案：（ ）直角坐标方程为 ，普通方程为 ；（ ）. 试题分析：（ ）由 得 ，极坐标方程 得 ，将参数方程中的参数 消去可得 的普通方程；（ ）将参数方程代入直角坐标方程化为关于 的一元二次方程，结合条件利用韦达定理解出 . 试题： (1)由 得 曲线 的直角坐标方程为 2分 直线 的普通方程为 4分 (2)将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程 中， 得 设 两点对应的参数分别为 则有 6分 即 8分 解之得： 或 (舍去 ) 的值为 10分 考点： 1.参数方程； 2.极坐标方程； 3.一元二次方程的解法 . 如图，直线 为圆 的切线，切点为 ，直径 ，连接 交 于点
9、 . （ ）证明： ； （ ）求证： . 答案：（ ）见；（ ）见 . 试题分析：（ ）连接 ， ，证明 ； （ ）证明 得 ，从而 . 试题： (1) 直线 为圆 的切线 ,切点为 2分 为圆 的直径， 4分 又 5分 (2)连接 ,由 (1)得 , 8分 10分 考点： 1.证明三角形相似； 2.同弧所对的圆心角和圆周角的关系 . 设函数 (1) 当 时，求 的单调区间； (2) 若当 时， 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（ 2） 的取值范围为 . 试题分析： (1)此类题目考查利用导数研究函数的单调性，解法是：求函数导数，令导数大于零，解得
10、单调增区间（有的题目还需要和定义域求交集），令导数小于零，解得单调减区间（注意定义域）；（ 2）此类题目需要求出 的最小值，令最小值大于等于零，解得 的范围，就这一题而言因为因为 大于等于零 ，求出的最小值，确定 的范围 . 试题：（ 1）当 时， , 令 ，得 或 ；令 ，得 的单调递增区间为 的单调递减区间为 4分 （ 2） ,令 当 时， 在 上为增函数，而 从而当时， ，即 恒成立，若当 时，令 ，得 当 时， 在 上是减函数，而 从而当 时， ，即 ，综上得 的取值范围为 . 12分 考点： 1.利用导数研究函数的单调性； 2.利用导数求函数的最值； 3.一元二次不等式的解法 . 设
11、椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ，过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 . (1) 求椭圆方程 . (2) 过点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ，当 面积最大时，求. 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）由离心率得 ，由过点 且与 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 得 ，再加椭圆中 可解出 ，可得椭圆方程；（ 2）将直线方程设为 ，交点设出，然后根据题意算出的面积 ，令 则，所以 当且仅当 时等号成立，求出 面积最大时的 . 试题： (1)由题意可得 ， ，又 ，解得 ，所以椭圆方程为 （ 4分） (2)根据题意可知，直线 的斜率存在，故设直线 的方程为 ，设， 由方程组 消
12、去 得关于 的方程（ 6分）由直线 与椭圆相交于 两点，则有 ，即 得 由根与系数的关系得 故 (9分 ) 又因为原点 到直线 的距离 ， 故 的面积 令 则 ，所以 当且仅当 时等号成立， 即 时， (12分 ) 考点： 1.椭圆方程； 2.椭圆与直线综合； 3.基本不等式 . 在一次数学考试中，第 22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，设 5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为 ，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响 . （ 1）求其中甲、乙两人选做同一题的概率； （ 2）设选做第 23题的人数为 ，求 的分布列及数学期望 . 答案：
13、（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1) 设事件 表示甲选 22题， 表示甲选 23题， 表示甲选 24题，表示乙选 22题， 表示乙选 23题， 表示乙选 24题，则甲、乙两人选做同一题事件为 ，且 相互独立，根据相互独立事件概率的求法计算可得；（ 2） 服从二项分布，根据二项分布概率的计算方法可列出分布列 . 试题： (1)设事件 表示甲选 22题， 表示甲选 23题， 表示甲选 24题， 表示乙选 22题， 表示乙选 23题， 表示乙选 24题， 则甲、乙两人选做同一题事件为 ，且相互独立， 所以4分 (2)设 可能取值为 0,1,2,3,4,5. ， 分布列为 0 1 2 3 4
14、5 12分 考点： 1.相互独立事件概率的计算； 2.二项分布的分布列和数学期望 . 如图，四棱锥 P-ABCD中， ， ， ， 是 的中点 （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的平面角的正弦值 答案： (1)见；（ 2） . 试题分析：（ 1）要证线面垂直，需证线与平面内的两条相交直线垂直，由底面 ，先证 面 ，得 ，再证 ，从而得；（ 2）以 为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题 . 试题：（ 1）证明： 底面 ， ,又 ， ，故 面 面 ，故 4分 又 ， 是 的中点，故 ,从而 面 ，故 易知 ，故 面 6分 （ 2）如图建立空间直角坐标系，设 ，则 、 、 ， ，从而 ，
15、 ， 9分 设 为平面 的法向量， 则 可以取 11分 又 为平面 的法向量，若二面角 的平面角为 则 11分 因此 。 12分 考点： 1.线面垂直的判定； 2.二面角； 3.空间向量在解决立体几何问题中的应用 . 已知函数 . (1)求 的单调递增区间； (2)在 中，三内角 的对边分别为 ，已知 , , .求 的值 . 答案： (1) ;(2) . 试题分析：（ 1）此类题目需将原函数化为一角一函数形式，然后根据正余弦函数的性质，确定单调区间；（ 2）先由 确定 的值，然后利用余弦定理和条件解出 . 试题： (1) 3分 由 得 5分 的单调递增区间为 6分 (2)由 得 8分 由余弦定理得 10分 又 12分 考点： 1.倍角公式； 2.余弦定理； 3.正弦函数的性质 . 已知函数 . （ ）求使不等式 成立的 的取值范围； （ ） ， ，求实数 的取值范围 答案：（ ） ;（ ） . 试题分析：（ ）利用绝对值的几何意义可得范围是 ；（ ）利用决定值得几何意义求出 的最小值，可得 . 试题： (1)由绝对值的几何意义可知 的取值范围为 5分 （ ） ， ，即 7分 由绝对值的几何意义知： 可看成数轴上到 和 对应点的距离和 . 9分 所求 的取值范围为 10分 考点： 1.绝对值不等式； 2.函数的最值； 3.绝对值的几何意义 .
