1、2014届广东珠海高三上学期期末学生学业质量监测文数学卷（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：， ， ， ， ，故选 B. 考点：集合的交集与补集运算 对定义域为的函数，若存在距离为的两条平行直线 和 ，使得当 时， 恒成立，则称函数在 有一个宽度为的通道 .有下列函数： ； ； ； .其中在 上通道宽度为 的函数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：对于 中的函数 ，当 时， ，即 ，取直线 与 即可，故函数 是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，当 时，结合图象可知，不存在距离为 的两条平行直线 和，使得当 时， 恒成
2、立，故 中的函数不是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，当 时，函数 的图象表示的是双曲线 在第一象限内的图象，其渐近线方程为 ，可取直线 和直线 ，则有在 上恒成立，故函数 是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，函数 在 上增长速度较一次函数快，结合图象可知，不存在距离为 的两条平行直线 和 ，使得当 时，恒成立，故 中的函数 不是在 上通道宽度为 的函数 .故选 A. 考点： 1.新定义； 2.函数的图象 已知 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： ， ，故 ，因此 ，故选 D. 考点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.二倍角公式 等比数列 共有奇数项，所
3、有奇数项和 ，所有偶数项和 ，末项是 ，则首项 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：末项为奇数项的一项，设等比数列 共有 项，则，则，解得 ，而 ，解得 ，故选 C. 考点：等比数列求和 一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：如图可知，该几何 体是由一个正方体中挖去一个正四棱锥而形成的，且挖去的四棱锥的底面边长为 ，高为 ，故该几何体的体积为，故选 B. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 在 中， ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ，则 ，因此 ， ，因此，故选 C. 考点： 1.三角形
4、的内角和定理； 2.正弦定理 已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故选 C. 考点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量模的计算 学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在 （单位：元），其中支出在 （单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在 （单位：元）的同学人数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：支出在 （ 单位：元）的同学所占的频率为，所以 ，支出在 （单位：元）的同学所占的频率为，故支出在 （单位：元）的同学人数是 ，故选 C. 考点： 1.频率分布
5、直方图； 2.分层抽样 执行如下图所示的程序框图，则输出的 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 不成立，执行第一次循环， ，； 不成立，执行第二次循环，； 不成立，执行第三次循环， ， ； 不成立，执行第四次循环， ， ； 成立，跳出循环体，输出 的值为 .故选 B. 考点：算法与程序框图 若复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ） A B C 或 D 答案： B 试题分析：复数 是纯虚数，则有 且 ，解得 ，故选 B. 考点：复数的概念 填空题 如图， 是圆 的直径， 是圆 的切线，切点为 ， 平行于弦 ，若 ，则 . 答案： 试题分析：由于 ， ，而 ，因此 ， ， ， ， ， ，
6、故，由于 切圆 于点 ，易知 ，由勾股定理可得，因此 . 考点： 1.全等三角形； 2.勾股定理 已知在平面直角坐标系 中圆 的参数方程为： ，（ 为参数），以 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： ，则圆 截直线所得弦长为 . 答案： . 试题分析：圆 （ 为参数）表示的曲线是以点 为圆心，以为半径的圆，将直线 的方程化为直角坐标方程为 ，圆心到直线 的距离 ，故圆 截直线所得弦长. 考点： 1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化； 2.点到直线的距离； 3.勾股定理 定义在 上的函数 满足，则 . 答案： . 试题分析：当 时，则当时， ，故函数在上是周期为 的周期函数，所以 .
7、考点： 1.分段函数； 2.函数的周期性 曲线 在点 处的切线方程为 . 答案： 或 . 试题分析： ， ，当 时， ，因此曲线 在点 处的切线方程为 ，即 或. 考点：利用导数求函数图象的切线方程 变量 、满足线性约束条件，则目标函数 的最大值为 . 答案： . 试题分析：作出不等式组所表示的可行域如下图所示，联立 得 ，作直线 ，则 为直线 在 轴上的截距，当直线 经过可行域上的点 时，直线在 轴上的截距最大，此时 取最大值，即 . 考点：线性规划 解答题 已知 ， . （ 1）求 的值； （ 2）当 时，求 的最值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）先利用诱导公式
8、、二倍角公式以及辅助角公式将函数的式化简，化简为 ，然后再代数求 的值；（ 2）利用 求出 的取值范围，然后结合正弦函数的图象求出 的取值范围，进而确定的取值范围，最后求出函数在区间 上的最大值和最小值 . 试题：（ 1） ， ； （ 2） ， ， ， ， . 考点： 1.诱导公式； 2.二倍角公式； 3.辅助角公式； 4.三角函数的最值 城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此， 某市公交公司在某站台的 名候车乘客中随机抽取 人，将他们的候车时间作为样本分成 组，如下表所示（单位： min）： 组别 候车时间 人数 一 二 三 四 五 （ 1）求这 名乘客的平均候
9、车时间； （ 2）估计这 名乘客中候车时间少于 分钟的人数； （ 3）若从上表第三、四组的 人中选 人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率 . 答案：（ 1） min；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）根据频率分布直方图求平均值的办法来进行求解，即利用每组的组中值乘以相应的频率，最后再相加即可；（ 2）根据表中的数据求出候车时间少于分钟的人数所占的频率，然后再根据人数 =总容量 频率算出即可；（ 3）先确定好个人中第三组和第四组的人数，并将两组的人员进行编号，利用列举法确定基本事件总数以及问题中涉及的事件所包含的基本事件数目，最后利用古典概型的概率公式进行计算 . 试
10、题：（ 1） min； （ 2）候车时间少于 分 钟的概率为 ， 所以候车时间少于 分钟的人数为 人； （ 3）将第三组乘客编号为、 、 、 ，第四组乘客编号为 、 从 人中任选两人有包含以下基 本事件： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 其中两人恰好来自不同组包含 个基本事件，所以，所求概率为 . 考点： 1.平均数； 2.频率分布表； 3.古典概型 如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ，四边形为矩形，若 ， ， . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 面 ； （ 3）求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）由四边形
11、为矩形得到 ，再结合直线与平面平行的判定定理即可证明 平面 ；（ 2）先证 平面 ，进而得到，再由四边形 为菱形得到 ，最后结合直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ；（ 3）由 平面 ，从而将三棱锥 的高转化为点 到平面 的距离，计算出高后再利用锥体体积的计算公式计算三棱锥 的体积 . 试题：（ 1）证明： 四边形 为矩形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （ 2）证明：在 中 ， ， ， 满足 ，所以 ，即 ， 又因为四边形 为矩形，所以， 又 ，所以 面 ， 又因为 面 ，所以 ， 又因为四边形 为菱形，所以 ， 又 ，所以 面 ； （ 3）解：过 作 于， 由第（ 1）问已证 面 ，面
12、 ， ， 平面 ， 由题设知 ， ， 三棱锥 的体积是 . 考点： 1.直线与平面平行； 2.直线与平面垂直； 3.三棱锥的体积的计算 已知数列 的各项都是正数，且对任意 都有 ，其中 为数列 的前 项和 . （ 1）求、 ； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）设 ，对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）分别令 和 代入题干中的等式求出和 的值；（ 2）利用定义法进行求解，在原式中利用 替换 得到 ，将此等式与原式作差得到 ，再次利用定义法得到数列 为等差数列，最后利用等差数列的通项公式进行求解；（ 3）利用 化
13、简得到，对 进行分奇偶讨论求出 的取值范围 . 试题：（ 1）令 ，则 ，即，所以 或 或 ， 又因为数列 的各项都是正数，所以 ， 令 ，则 ，即 ，解得 或或 ， 又因为数列 的各项都是正数，所以 ， （ 2） ， ， 由 得 ， 化简得到 ， ， 由 得 ， 化简得到 ，即 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是一个以 为首项， 为公差的等差数列， ； （ 3） ， 因为对任意的 ，都有 恒成立，即有， 化简得， 当 为奇数时，恒成立，即， 当 为偶数时， 恒成立， ，即 ， ，故实数 的取值范围是 . 考点： 1.定义法求数列的通项公式； 2.数列不等式恒成立； 3.分类讨论 已知函数
14、 ， . （ 1）求的极值点； （ 2）对任意的 ，记在 上的最小值为 ，求 的最小值 . 答案：（ 1） 是极大值点， 是极小值点；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用导数求出函数的两个极值点，并结合导数符号确定相应的极大值点与极小值点；（ 2）在（ 1）的基础上，对 与极小值 的大小作分类讨论，结合图象确定 的表达式，然后再根据 的表达式确定相应的最小值 . 试题：（ 1） ， 由 解得： ， ， 当或 时， ， 当 时， 所以，有两个极值点： 是极大值点， ； 是极小值点，； （ 2）过点 作直线 ，与 的图象的另一个交点为， 则 ，即 ， 已知有解 ，则 ， 解得 ， 当 时， ； ；
15、 当 时， 其中当 时， ； 当 时， ， ； 所以，对任意的 ， 的最小值为 （其中当 时， ） . 考点： 1.利用导数求函数的极值； 2.分类讨论 . 已知椭圆的左、右焦点分别为 、 ， 为原点 . （ 1）如图 1，点 为椭圆 上的一点， 是 的中点，且，求点 到轴的距离； （ 2）如图 2，直线 与椭圆 相交于 、 两点，若在椭圆 上存在点 ，使四边形 为平行四边形，求的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先设点 的坐标，并利用点 的坐标来表示点 的坐标，利用以及点 在椭圆 上列方程组求解点 的坐标，从而求出点 到轴的距离；（ 2）先设点 、 ，利用 为平行四边形，得到，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理与点在椭圆上这一条件，列相应等式求出实数的取值范围 . 试题：（ 1）由已知得、 ， 设 ，则 的中点为 ， ， ，即 ， 整理得 ， ，又有 ， 由 联立解得 或 （舍） 点 到轴的距离为 ； （ 2）设 ， ， ， 四边形 是平行四边形 线段 的中点即为线段 的中点，即 ， ， 点 在椭圆上， 即 ， 化简得 ， 由 得 ， 由 得 ， 且 ，代入 式得 ， 整理得 代入 式得 ，又 ， 或 ， 的取值范围是 . 考点： 1.直线与椭圆的位置关系； 2.韦达定理
