1、2014届广东珠海高三上学期期末学生学业质量监测理数学卷（带解析） 选择题 设全集 ，集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， ，故选 B. 考点：集合的交集与补集运算 对定义域为 的函数，若存在距离为 的两条平行直线 和，使得当 时， 恒成立，则称函数 在有一个宽度为 的通道 .有下列函数： ； ； ； .其中在 上通道宽度为 的函数是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：对于 中的函数 ，当 时， ，即 ，取直线 与 即可，故函数 是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，当 时，结合图象可知，不存在距离为 的两条平行直线 和 ，使得当 时，恒
2、成立，故 中的函数 不是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，当 时，函数 的图象表示的是双曲线在第一象限内的图象 ，其渐近线方程为 ，可取直线 和直线 ，则有 在 上恒成立，故函数 是在 上通道宽度为 的函数；对于 中的函数 ，函数 在上增长速度较一次函数快，结合图象可知，不存在距离为 的两条平行直线和 ，使得当 时， 恒成立，故 中的函数 不是在 上通道宽度为 的函数 .故选 A. 考点： 1.新定义； 2.函数的图象 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为 的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个四棱锥
3、，其底面为一个直角梯形，且该直角梯形的高为主视图等腰直角三角形的斜边长 ，底面积为，高为等腰 直角三角形斜边上的高，其长度为斜边的一半，即 ，所以该四棱锥的体积为 ，故选 A. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 在 中， ，则 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ， ，则 ，因此 ， ，因此，故选 C. 考点： 1.三角形的内角和定理； 2.正弦定理 已知 、 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故选 C. 考点： 1.平面向量的数量积； 2.平面向量模的计算 学校为了解学生课外读物方面的支出情况，抽取了 个同学进
4、行调查，结果显示这些同学的支出都在 （单位：元），其中支出在 （单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如下图所示，则支出在 （单位：元）的同学人数是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：支出在 （单位：元）的同学所占的频率为，所以 ，支出在 （单位：元）的同学所占的频率为，故支出在 （单位：元）的同学人数是 ，故选 C. 考点： 1.频率分布直方图； 2.分层抽样 执行如下图所示的程序框图，则输出的 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 不成立，执行第一次循环， ， ； 不成立，执行第二次循环， ， ； 不成立，执行第三次循环， ， ； 不成立，执行第四次循环， ， ； 成立
5、，跳出循环体，输出 的值为 .故选 B. 考点：算法与程序框图 若复数 是纯虚数，则实数 的值为（ ） A B C 或 D 答案： B 试题分析：复数 是纯虚数，则有 且 ，解得 ，故选 B. 考点：复数的概念 填空题 如图， 是圆 的直径， 是圆 的切线，切点为 ， 平行于弦 ，若 ，则 . 答案： 试题分析：由于 ， ，而 ，因此 ， ， ， ， ， ，故 ，由于 切圆 于点 ，易知 ，由勾股定理可得 ，因此 . 考点： 1.全等三角形； 2.勾股定理 已知在平面直角坐标系 中圆 的参数方程为： ，（ 为参数），以 为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为： ，则圆 截直线所得弦长为 . 答案
6、： . 试题分析：圆 （ 为参数）表示的曲线是以点 为圆心，以为半径的圆，将直线 的方程化为直角坐标方程为 ，圆心到直线 的距离 ，故圆 截直线所得弦长. 考点： 1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化； 2.点到直线的距离； 3.勾股定理 定义在 上的函数 满足 ，则 . 答案： . 试题分析：当 时，则当时， ，故函数 在 上是周期为的周期函数，所以. 考点： 1.分段函数； 2.函数的周期性 曲线 在点 处的切线方程为 . 答案： 或 . 试题分析： ， ，当 时， ，故曲线 在点处的切线方程为 ，即 或 . 考点：利用导数求函数图象的切线方程 变量 、 满足线性约束条件 ，则使目
7、标函数 取得最大值的最优解有无数个，则 的值为 . 答案： . 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示，由于 ，且为直线 在 轴上的截距，结合图形可知，当直线 与直线重合时，直线 在 轴上的截距最大，此时相应的最优解有无数个，因此有. 考点：线性规划问题的最优解 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 . 答案： . 试题分析：当 时， ； 当 且 时， ； 而 不适合上式，故 . 考点：定义法求数列通项公式 已知 ，则 . 答案： . 试题分析： ， ，故 ，因此 . 考点： 1.同角三角函数的基本关系； 2.二倍角公式 解答题 已知 ， . （ 1）求 的值； （ 2）当 时，求 的
8、最值 . 答案：（ 1） ；（ 2） ， . 试题分析：（ 1）先利用诱导 公式、二倍角公式以及辅助角公式将函数 的式化简，化简为 ，然后再代数求 的值；（ 2）利用 求出 的取值范围，然后结合正弦函数的图象求出 的取值范围，进而确定 的取值范围，最后求出函数 在区间 上的最大值和最小值 . 试题：（ 1） ， ； （ 2） ， ， ， ， . 考点： 1.诱导公式； 2.二倍角公式； 3.辅助角公式； 4.三角函数的最值 是指大气中直径小于或等于 微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物 .我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 日均值在 微克 /立方米以下空气质量为一级；在 微克 /立方米 微克
9、 /立方米之间空气质量为二级；在 微克 /立方米以上空气质量为超标 .某试点城市环保局从该市市区 年上半年每天的监测数据中随机的抽取 天的数据作为样本，监测值如下图茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） . （ 1）在这 天的 日均监测数据中，求其中位数； （ 2）从这 天的数据中任取 天数据，记 表示抽 到 监测数据超标的天数，求 的分布列及数学期望； （ 3）以这 天的 日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按 天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见； （ 3） . 试题分析：（ 1）根据茎叶图中的信息，将数据按一定的顺序（由大到小或由小到大）依次进
10、行排列，然后取相应的中位数即可；（ 2）先确定 天中空气质量超标的天数以及补超标的天数，然后利用超几何分布列举出随机变量 的概率分布列，并求出随机变量 的数学期望；（ 3）先根据 天中空气质量达到一级或二级的天数，求出相应的概率，然后利用二项分布的计算公式求出相应的均值 . 试题：（ 1）由茎叶图可得中位数是 ； （ 2）依据条件， 服从超几何分布：其中 ， ， ， 的可能值为 、 ， 由 ， 得 ， ， ， 所以 的分布列为： ; （ 3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 ， 一年中空气质量达到一级或二级的天数为 ，则 ， 所以，一年中平均有 天的空气质量达到一级或二级
11、. 考点： 1.茎叶图； 2.中位数； 3.超几何分布； 4.离散型随机变量的分布列与期望；5.二项分布 如图，在三棱柱 中，四边形 为菱形， ，四边形为矩形，若 ， ， . （ 1）求证： 面 ； （ 2）求二面角 的余弦值； 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）先证 平面 ，进而得到 ，再由四边形 为菱形得到 ，最后结合直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ；（ 2）先在平面 内作 ，垂足为点 ，连接 ，通过证明 平面，从而得到 ，进而在直角三角形 中求该角的余弦值即可 . 试题：（ 1）证明：在 中 ， ， ， 满足 ，所以 ，即 ， 又因为四边形 为矩形，所以 ， 又 ，
12、所以 面 ， 又因为 面 ，所以 ， 又因为四边形 为菱形，所以 ， 又 ，所以 面 ； （ 2）过 作 于 ，连接 由第（ 1）问已证 面 ， 又 平面 ， ，又 ，所以 面 ， 又因为 面 ，所以 ， 所以， 就是二面角 的平面角在直角 中， ， ， ， ， 在直角 中， ， ， ，所以 . 考点： 1.直线与平面垂直； 2.利用三垂线法求二面角 已知数列 的各项都是正数，且对任意 都有 ，其中 为数列 的前 项和 . （ 1）求 、 ； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）设 ，对任意的 ，都有 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：
13、（ 1）分别令 和 代入题干中的等式求出 和 的值；（ 2）利用定义法进行求解，在原式中利用 替换 得到，将此等式与原式作差得到 ，再次利用定义法得到数列 为等差数列，最后利用等差数列的通项公式进行求解；（ 3）利用 化简得到 ，对 进行分奇偶讨论求出 的取值范围 . 试题：（ 1）令 ，则 ，即 ，所以 或 或 ， 又因为数列 的各项都是正数，所以 ， 令 ，则 ，即 ，解得 或或 ， 又因为数列 的各项都是正数，所以 ， （ 2） ， ， 由 得 ， 化简得到 ， ， 由 得 ， 化简得到 ，即 ， 当 时， ，所以 ， 所以数列 是一个以 为首项， 为公差的等差数列， ； （ 3） ，
14、因为对任意的 ，都有 恒成立，即有， 化简得 ， 当 为奇数时， 恒成立， ，即 ， 当 为偶数时， 恒成立， ，即 ， ，故实数 的取值范围是 . 考点： 1.定义法求数列的通项公式； 2.数列不等式恒成立； 3.分类讨论 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 的单调区间； （ 2）若函数 在区间 上为减函数，求实数 的取值范围； （ 3）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）增区间 ，减区间 ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）将 代入函数式，直接利用导数求出函数 的单调递增区间和递减区间；（ 2）将条件 “ 在区间 上为减函数 ”等价转化为 “不等式在区
15、间 上恒成立 ”，结合参数分离法进行求解；（ 3）构造新函数，将 “不等式 在区间 上恒成立 ”等价转化为“ ”，利用导数结合函数单调性围绕 进行求解，从而求出实数的取值范围 . 试题：（ 1）当 时， ， ， 解 得 ；解 得 ， 故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ； （ 2）因为函数 在区间 上为减函数， 所以 对 恒成立， 即 对 恒成立， ； （ 3）因为当 时，不等式 恒成立， 即 恒成立，设 ， 只需 即可 由 ， 当 时， ， 当 时， ，函数 在 上单调递减，故 成立； 当 时，令 ，因为 ，所以解得 ， （ i）当 ，即 时，在区间 上 ， 则函数 在 上单调递增，故
16、在 上无最大值，不合题设； （ ii）当 时，即 时，在区间 上 ；在区间上 函数 在 上单调递减，在区间 单调递增，同样 在无最大值，不满足条件； 当 时，由 ，故 ， ， 故函数 在 上单调递减，故 成立 综上所述，实数 的取值范围是 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为原点 . （ 1）如图 1，点 为椭圆 上的一点， 是 的中点，且 ，求点 到轴的距离； （ 2）如图 2，直线 与椭圆 相交于 、 两点，若在椭圆 上存在点 ，使四边形 为平行四边形，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先设点 的坐标，并利用点 的坐标来表示点 的坐标，利用以及点 在椭圆
17、 上列方程组求解点 的坐标，从而求出点 到 轴的距离；（ 2）先设点 、 ，利用 为平行四边形，得到，将直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理与点在椭圆上这一条件，列相应等式求出实数 的取值范围 . 试题：（ 1）由已知得 、 ， 设 ，则 的中点为 ， ， ，即 ， 整理得 ， ，又有 ， 由 联立解得 或 （舍） 点 到 轴的距离为 ； （ 2）设 ， ， ， 四边形 是平行四边形 线段 的中点即为线段 的中点，即 ， ， 点 在椭圆上， ， 即 ， 化简得 ， 由 得 ， 由 得 ， 且 ，代入 式得 ， 整理得 代入 式得 ，又 ， 或 ， 的取值范围是 . 考点： 1.直线与椭圆的位置关系； 2.韦达定理
