1、2014届湖北襄阳四中、龙泉中学、荆州中学高三 10月联考理数学卷（带解析） 选择题 已知点 ， 则与 同方向的单位向量是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为点 ， ，所以 ，故，因此与 同方向的单位向量是 ，故选 A. 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量的单位化 设方程 和方程 的根分别为 和 ，函数，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：令 ，可得 ，同理，令 ，得，从而 为曲线 与直线 交点 的横坐标， 为曲线与直线 交点 的横坐标， 而曲线 与曲线 关于直线 对称，故点 与点 关于直线 对称，由于直线 与直线 对称，故 的中点 即为直线 与直线 的交
2、点，故点 的坐标为 ，由中点坐标公式可得， ，故曲线 的对称轴为直线 ，因此函数 在上单调递增，故有 ，故选 A. 考点： 1.函数的零点； 2.互为反函数的两个函数图象的关系； 3.二次函数 函数 有零点，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：令 ，则有 ，即 ，等价转化为曲线 与直线 的图象有交点，对于曲线 而言，等式两边平方得 ，整理得 ，该曲线表示圆 的上半部分，而直线 表示过定点 且斜率为 的直线，在同一直角坐标系中作出曲线 与直线 的图象如下图所示，将直线的方程 化为一般式得 ，当直线 与半圆 相切时， 则有 ，即 ，解得 ，由图象知， ，结合图象知，当
3、实数 的取值范围是 时，曲线 与直线的图象有交点，即函数 有零点，故选 C. 考点： 1.函数的图象； 2.直线与圆的位置关系 已知点 在圆 上，则函数 的最小正周期和最小值分别为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由于点 在圆 上，所以 ，可设 ， ，故函数 的最小正周期为，函数 的最小值为 ，故选 B. 考点： 1.二倍角公式； 2.两角和的余弦公式； 3.三角函数的周期； 4.三角函数的最值 已知向量 ， ，则 与 夹角的余弦值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ，解得 ， ，所以， ， ，故选 B. 考点： 1.平面向量的坐标运算； 2.平面向量的数量积 已
4、知函数 的导函数为 ，且满足关系式 ，则 的值等于（ ） A 2 B C D 答案： D 试题分析： ， ，所以，解得 ，故选 D. 考点：导数的计算 已知角 的终边上一点坐标为 ，则角 的最小正值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， ，所以 ，故当 时， ，即角 的最小正值为 ，故选 B. 考点：三角函数的定义 已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于复合函数 的定义域为 ，即 ，所以，故函数 的定义域为 ，故选 C. 考点：复合函数的定义域 命题 “对任意 都有 ”的否定是（ ） A对任意 ，都有 B不存在 ，使得 C存
5、在 ，使得 D存在 ，使得 答案： D 试题分析：由全称命题的否定知，命题 “对任意 都有 ”的否定是 “存在，使得 ”，故选 D. 考点：全称命题的否定 填空题 若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：当 时，代入原方程得 ，故 ，方程 有实根 方程 在 上有实根，令 ，其中 ，则 ，令 ，解得 ，列表如下： 增 极大值 减 减 极小值 增 作出函数 在 上的图像如下图所示，故函数 的值域为 已 知函数 在 处取得极值 ，则 取值的集合为 . 答案： . 试题分析： ， ，依题意有，从而有 ，且有，即 ，解得或 ，当 时， ，此时 ，此时函数 无极值，当 时，
6、 ，此时 ，此时函数 有极值，故 . 考点：函数的极值 中， ， ，三角形 面积 ， . 答案： . 试题分析：由三角形的面积公式得 ，所以 ，由余弦定理得 ，所以 ，. 考点： 1.三角形的面积公式； 2.余弦定理； 3.正弦定理 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 的取值范围是 . 答案： . 试题分析：函数 的图象的对称轴为直线 ，且 ，令 ，即 ，即 ，解得 或 ，由于函数 的值域为 ， 故 ，则有 ，结合图象知， ，故实数 的取值范围是 . 考点： 1.二次函数的图象； 2.二次函数的值域 已知 ，则 的值为 . 答案： . 试题分析： ，所以 . 考点： 1.诱导公式； 2.弦
7、化切 解答题 已知命题 方程 在 上有解，命题 函数的值域为 ，若命题 “ 或 ”是假命题，求实数 的取值范围 . 答案：实数 的取值范围是 . 试题分析：先就命题 为真和命题 为真时求出相应的参数 的值，然后就复合命题 “ 或 ”为假命题对命 题 和命题 的真假性进行分类讨论，从而得出参数 的取值范围 . 试题：若命题 为真 ，显然 ， 或 ， 故有 或 ， 5分 若命题 为真，就有 或 命题 “ 或 ”为假命题时， 12分 考点： 1.一元二次方程； 2.二次函数； 3.复合命题 已知函数 ，其中 为使 能在 时取得最大值的最小正整数 （ 1）求 的值； （ 2）设 的三边长 、 、 满足
8、 ，且边 所对的角 的取值集合为 ，当 时，求 的值域 答案：（ 1） ；（ 2）当 时，求 的值域 . 试题分析：（ 1）先利用二倍角公式以及辅助角公式将函数 的式化为，然后利用条件 “ 为使 能在 时取得最大值的最小正整数 ”这个条件先求出 的表达式，然后再确定 的值；（ 2）先利用余弦定理与基本不等式确定集合 ，然后根据 确定 的取值范围，最后结合正弦曲线求出 的值域 . 试题：（ 1） ，依题意有 即 的最小正整数值为 2 5分 （ 2） 又 即 即 8分 10分 故函数 的值域是 12分 考点： 1.三角函数的周期； 2.三角函数的最值； 3.余弦定理； 4.基本不等式； 5.二倍角
9、公式 中，设 、 、 分别为角 、 、 的对边，角 的平分线 交 边于 ， （ 1）求证： ； （ 2）若 ， ，求其三边 、 、 的值 答案：（ 1）详见；（ 2） ， ， . 试题分析：（ 1）将 分割成两个三角形 和 ，利用并结合面积公式来证明 ；（ 2）利用角平分线的相关结论得到 “ ”并结合（ 1）中的结论列方程组求出 和 的值，最后再利用余弦定理求 的值 . 试题：（ 1） 即 5分 （ 2） 7分 又 9分 由 解得 10分 又在 中 12分 考点： 1.面积公式； 2.角平分线的性质； 3.余弦定理 工厂生产某种产品，次品率 与日产量 （万件）间的关系 （为常数，且 ），已知每
10、生产一件合格产品盈利 元，每出现一件次品亏损元 . （ 1）将日盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数； （ 2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注： ） 答案：（ 1）日盈利额 （万元）与日产量 （万件）的函数关系式为； （ 2）当日产量为 万件时，日盈利额最大 . 试题分析：（ 1）根据 “日盈利额 合格产品盈利 次品亏损 ”的原则，以及对日产量为自变量进行分段求出日盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；（ 2）利用导数求出（ 1）中分段函数在每段定义域上的 最值，进而确定日盈利额的最大值以及相应的 值 . 试题：（ 1）当 时， ， 2分 当 时， 4分 日盈利额
11、（万元）与日产量 （万件）的函数关系式为 5分 （ 2）当 时，日盈利额为 0 当 时， 令 得 或 （舍去） 当 时， 在 上单增 最大值 9分 当 时， 在 上单增，在 上单减 最大值 10分 综上：当 时，日产量为 万件 日盈利额最大 当 时，日产量为 3万件时日盈利额最大 考点： 1.分段函数； 2.函数的最值 已知 ，当 时， （ 1）证明： ； （ 2）若 成立，请先求出 的值，并利用 值的特点求出函数 的表达式 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据题中条件并利用 得到 ；（ 2）先利用题中条件得到 ，并结合 得到 的取值范围，结合（ 1）中的结论求出 值，然后
12、借助题中条件分析出函数是 的图象关于 轴对称，从而求出 与 的值，从而最终确定函数 的式 . 试题：（ 1） 时 4分 （ 2）由 得到 5分 又 时 即 将 代入上式得 又 8分 又 时 对 均成立 为函数 为对称轴 10分 又 12分 13分 考点： 1.函数不等式； 2.二次函数的对称性 已知函数 （ 为常数， 为自然对数的底） （ 1）当 时，求 的单调区间； （ 2）若函数 在 上无零点，求 的最小值； （ 3）若对任意的 ，在 上存在两个不同的 使得成立，求 的取值范围 答案：（ 1） 的减区间为 ，增区间为 ； （ 2） 的最小值为 ； （ 3） 的取值范围是 . 试题分析：（
13、1）将 代入函数 的式，利用导数求出 的单调递增区间和递减区间；（ 2）将函数 在 上无零点的问题转化为直线 与曲线在 区间 上无交点，利用导数确定函数 在区间 上的图象，进而求出参数 的取值范围，从而确定 的最小值；（ 3）先研究函数在 上的单调性，然后再将题干中的条件进行适当转化，利用两个函数的最值或端点值进行分析，列出相应 的不等式，从而求出 的取值范围 . 试题：（ 1） 时， 由 得 得 故 的减区间为 增区间为 3分 （ 2）因为 在 上恒成立不可能 故要使 在 上无零点，只要对任意的 ， 恒成立 即 时， 5分 令 则 再令 于是在 上 为减函数 故 在 上恒成立 在 上为增函数 在 上恒成立 又 故要使 恒成立，只要 若函数 在 上无零点， 的最小值为 8分 （ 3） 当 时， ， 为增函数 当 时， ， 为减函数 函数 在 上的值域为 9分 当 时，不合题意 当 时， 故
