1、上海市普陀区高三数学高考临考自测练习卷与答案 选择题 （文）已知等差数列 的公差是 ， 是该数列的前 项和 . （ 1）求证： ； （ 2）利用（ 1）的结论求解： “已知 、 ，求 ”； （ 3）若各项均为正数的等比数列 的公比为 ，前 项和为 .试类比问题（ 1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明 .并利用此结论求解问题： “已知各项均为正数的等比数列 ，其中 ， ，求数列 的前 项和 .” 答案： 体育课上，八年级一班两个组各 10人参加立定跳远，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两个组立定跳远成绩的（ ） A频率分布 B平均数 C方差 D众数 答案： C 若向量 =（ 1， 1
2、）， =（ -1,1）， =（ 4， 2），则向量 =（ ） A 3 + B 3 - C - +3 D +3 答案： B 如图，一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 、腰和上底均为 1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ） A B C D 答案： D 在 100个零件中，有一级品 20个，二级品 30个，三级品 50个，从中抽取20 个作为样本： 采用随机抽样法，将零件编号为 ，抽出 20 个； 采用系统抽样法，将所有零件分成 20组，每组 5个，然后每组中随机抽取 1个； 采用分层抽样法，随机从一级品中抽取 4个，二级品中抽取 6个，三级品中抽取 10个；则（ ） A不论采取哪种抽
3、样方法，这 100个零件中每个被抽到的概率都是 B 两种抽样方法，这 100个零件中每个被抽到的概率都是 ， 并非如此 C 两种抽样方法，这 100个零件中每个被抽到的概率都是 ， 并非如此 D采用不同的抽样方法，这 100个零件中每个被抽到的概率各不相同 答案： A （理）已知等差数列 的公差是 ， 是该数列的前 项和 . （ 1）试用 表示 ，其中 、 均为正整数； （ 2）利用（ 1）的结论求解： “已知 ，求 ”； （ 3）若数列 前 项的和分别为 ，试将问题（ 1）推广，探究相应的结论 . 若能证明，则给出你的证明并求解以下给出的问题；若无法证明，则请利用你的研究结论和另一种方法计算
4、以下给出的问题，从而对你猜想的可靠性作出自己的评价 .问题： “已知等差数列 的前 项和 ，前 项和 ，求数列 的前 2010项的和 .” 答案： （ 1）解：不妨设 ，则有 ， . （ 2）（文科）解法一：由条件，可得 得： ，由（ 1）中结论得： 。 解法二： ，则 。 （理）由条件，可得 得： ， 则 . （ 3）（理科）推广的结论为：若公差为 的等差数列 的前 项和为， 则该数列的前 项和为： + （ ） 对正整数 ，可用数学归纳法证明如下： 1 当 时，由问题（ 1）知 ，等式（ ）成立； 2 假设当 时结论成立，即 ， 当 时， ， 这表明对 等式（ ）也成立； 根据 1 、 2
5、知，对一切正整数 ，（ ）式都成立 . 利用以上结论，问题解法如下： 由 ， 则利用探究结论可得： . 不利用以上结论，解法如下： 由 得： ； 代入 可得 . 所以， . 填空题 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 _. 答案： 理）如图，正四面体 的顶点 ， ， 分别在两两垂直的三条射线， ， 上，则在下列命题中，正确命题的个数为 _. （ 1） 是正三棱锥 ； （ 2）直线 平面 ； （ 3）直线 与 所成的角是 ； （ 4）二面角 为 . 答案： 为迎接世博会召开，某区开展城市绿化工程现有甲、乙、丙、丁 4个工程队承包 5个不同的绿化工程，每个工程队至少承包 1项工程，那
6、么工程队甲承包两项工程的概率是 答案： .25 若方程 在区间 上有零点，则所有满足条件的的值的和为 _ 答案： -1 从某批灯泡中随机抽取 10只做寿命试验，其寿命（以小时计）如下： 1050， 1100， 1120， 1280， 1250， 1040， 1030， 1110， 1240， 1300则该批灯泡寿命标准差的点估计值等于 （结果保留一位小数） 答案： .9 根据右面的程序框图，请回答： 若输入 x的值为 4，则输出的结果为 _. 要是输出的值最小，则输入的 x值应为 _. 答案：（ 1）若 x=4，则 ；（ 2）当 x4时，三阶行列式 中第二行第一列元素 0的代数余子式是 _.
7、答案： 线性方程组 的增广矩阵是 _ 答案： 已知两直线方程分别为 、 ，若 ，则直线 的一个方向向量为 . 答案： （理）在极坐标系中，直线 与圆 的交点坐标是_. 答案：（ 1， ）（ （文）点 P 满足条件 并使 取得最大值时 P点的坐标是 _ 答案：（ 0， 1） 已知 ， 则 _. 答案： 体积为 的球面上有 三点， ， ， 两点的球面距离为 ，则球心到平面 的距离为 _. 答案： 已知向量 ， ，则向量 在 上的投影为 _. 答案： 若圆锥的侧面积为 ，且母线与底面所成的角为 ，则该圆锥的体积为 _. 答案： 已知命题 P：实系数方程 无实数根；命题 Q:不等式.则命题 P与命题
8、Q 的推出关系是 _. 答案： 解答题 解关于 x、 y的二元一次方程组 ，并对解的情况进行讨论 . 答案： （ 1）当 且 时， ，原方程组有唯一解 ； （ 2）当 时， ， 原方程组无解 . （ 3）当 时， ， 原方程组有无穷多解， 此时，原方程组为 ，令 ，则原方程组解为 （理）袋中有同样的球 个，其中 个红色， 个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量 为此时已摸球的次数，求： . (1)随机变量 的概率分布律； (2)随机变量 的数学期望与方差 . 答案： 已知双曲线 1的右焦点是 ，右顶点是 ，虚轴的上端点是 ， . （ 1）
9、求该双曲线的方程； （ 2）设 是双曲线上的一点，且过点 、 的直线 与 轴交于点 ，若求直线 的斜率 . 答案： ， 杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家 . 杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律 .下图是一个 11阶杨辉三角： （ 1）求第 20行中从左到右的第 4个数； （ 2）若第 n行中从左到右第 14与第 15个数的比为 ，求 n的值； （ 3）在第 3斜列中，前 5个数依次为 1， 3， 6， 10， 15；第 4斜列中，第 5个数为 35.显然， 1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第 m斜列中（从右上到左下）前 k个数之和，一定等于第 m+1斜列中第 k个数 . 试用含有 m、 k 的数学公式表示上述结论，并给予证明 . 答案： ， 34， （文）袋中有同样的球 个，其中 个红色， 个黄色，现从中随机地摸球，求： (1)红色球与黄色球恰好相等的概率 (用分数表示结果 ) (2)红色球多于黄色球的不同摸法的和数 . 答案：（文）解： (1) （ 2) .
