1、北京市宣武区 2010 年高三第一次质量检测数学（文）试题 选择题 设集合 ，则下列关系中正确的是 （ ） A B C D 答案： D 设圆 C的圆心在双曲线 的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆 C被直线 截得的弦长等于 2，则 a的值为 （ ） A B C 2 D 3 答案： A 考点：圆与圆锥曲线的综合 分析：圆 C的圆心 C（ ， 0），双曲线的渐近线方程为 xay=0，再由 C到渐近线的距离可求出圆 C方程 (x- )2+y2=2由 l被圆 C截得的弦长是 2及圆 C的半径为 可知 =1，由此能求出 a的值 解：圆 C的圆心 C（ ， 0）， 双曲线的渐近线方程为 xay=0， C
2、到渐近线的距离为 d= = ， 故圆 C方程 (x- )2+y2=2 由 l被圆 C截得的弦长是 2及圆 C的半径为 可知， 圆心 C到直线 l的距离为 1， 即 =1， a= 故选 A 在 中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a， b， c， S表示 的面积，若 = （ ） A 90 B 60 C 45 D 30 答案： C 考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；余弦定理的应用 分析：先利用正弦定理把 acosB+bcosA=csinC中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得 C=90，进而可利用两直角边表示出三角形的面积，利用勾股定理化简整理可求得 a=b，推断出三角形为直角等腰
3、三角形，进而求得B 解：由正弦定理可知 a=2rsinA， b=2rsinB， c=2rsinC， acosB+bcosA=csinC， sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，即 sin（ A+B） =sin2C， A+B=-c sin（ A+B） =sinC=sin2C， 0 C sinC0 sinC=1 C=90 S= = (b2+c2-a2) b2+a2=c2， (b2+c2-a2)= b2= a=b ABC为等腰直角三角形 B=45 故答案：为 C 设函数 在区间（ 1， 2）内有零点，则实数 a的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 考点：函数零点的判定定理
4、分析：根据零点存在定理，若函数 f(x)=log3 -a在区间（ 1， 2）内有零点，则 f（ 1） F（ 2） 0，结合对数的运算性质，我们可以构造一个关于 a的不等式，解不等式即可得到答案： 解： 函数 f(x)=log3 -a在区间（ 1， 2）内有零点， f（ 1） F（ 2） 0 又 f(1)=log3 -a=1-a f(2)=log3 -a=log32-a 则（ 1-a） （ log32-a） 0 解得 log32 a 1 故答案：为： C 若 为等差数列， 是其前 n项和，且 ，则 的值为 （ ） A B C D 答案： B 考点：等差数列的性质 分析：根据所给的前 11项的和，
5、根据前 11项的和等于 11倍的第六项，写出第六项的结果是 ，求出第六项的正切值是 - ，得到结果 解： S11= =11a6= a6= tana6=- ， 故选 B 设 i是虚数单位，则复数 所对应的点落在 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： B 考点：复数代数形式的乘除运算；象限角、轴线角 分析：按照多项式乘法的运算法则，展开为 a+bi（ a， b R）的形式，然后判断象限 解：复数 z=（ 1+i） 2i=-2+2i 所以复数 z=（ 1+i） 2i所对应的点落在第二象限 故答案：为： B 下列函数中，既是奇函数又是区间 上的增函数的是 （ ） A B C
6、D 答案： C 试题分析：四个选项中，是奇函数的有 B,C，而在区间 上的增函数的是， 故选 C。 考点：常见函数的奇偶性、单调性。 点评：简单题，对常见函数的性质，应了如指掌。 设平面向量 等于 （ ） A B C D 答案： A 填空题 有下列命题： x=0是函数 的极值点； 三次函数 有极值点的充要条件是 奇函数 在区间（ -4， 4）上是单调减函数 . 其中假命题的序号是 . 答案： 设 且满足 ，则 的最小值为 ；若 又满足的取值范围是 . 答案： 执行如图程序框图，输出 S的值等于 . 答案： 若将下面的展开图恢复成正方体，则 的度数为 .答案： 命题 “任意常数列都是等比数列 ”
7、的否定形式是 . 答案：存在一个常数列不是等比数列 把容量是 100的样本分成 8组，从第 1组到第 4组的频数分别是 15， 17，11， 13，第 5组到第 7组的频率之和是 0.32，那么第 8组的频率是 . 答案： .12 解答题 （本小题共 13分） 已知函数 （ I）当 a=1时，求函数 的最小正周期及图象的对称轴方程式； （ II）当 a=2时，在 的条件下，求 的值 . 答案：（ I） （ II） （本小题共 13分） 如图，在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD，底面 ABCD为直角梯形， ABC= BAD=90， AD BC， E， F分别为棱 AB， PC的中点
8、 . （ I）求证： PE BC； （ II）求证： EF/平面 PAD. 答案：（ I）证明见。 （ II）证明见。 证明：（ I） PA BC BC 平面 PAB 又 E是 AB中点， 平面 PAB BC PE. 6 分 （ II）证明：取 CD中点 G，连结 FG， EG， F为 PC中点， FG/PD FG/平面 PAD； 同理， EG/平面 PAD 平面 EFG/平面 PAD. EF/平面 PAD. 13 分 （本小题共 13分） 某校高三年级有男生 105人，女生 126人，教师 42人，用分层抽样的方法从中抽取 13人，进行问卷调查 .设其中某项问题的选择支为 “同意 ”， “不
9、同意 ”两种，且每人都做了一种选择 .下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息 . 同意 不同意 合计 教师 1 女生 4 男生 2 （ I）请完成此统计表； （ II）试估计高三年级学生 “同意 ”的人数； （ III）从被调查的女生中选取 2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意 ”一人 “不同决的概率 .” 答案：（ I）统计表见。 （ II） 105人 （ III） （本小题共 13分） 已知函数 （ I）若 x=1为 的极值点，求 a的值； （ II）若 的图象在点（ 1， ）处的切线方程为 ，求在区间 -2， 4上的最大值； （ III）当 时，若 在区间（ -1， 1）上不单调，求 a的取值范围 . 答案：（ I） 0或 2 （ II） 8 （ III） （本小题共 14分） 已知椭圆的中点在原点 O，焦点在 x轴上，点 是其左顶点，点 C在椭圆上且 （ I）求椭圆的方程； （ II）若平行于 CO的直线 和椭圆交于 M， N两个不同点，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程 . 答案：（ I） （ II） （本小题共 14分） 数列 的前 n项和为 ，点 在直线 上 . （ I）求证：数列 是等差数列； （ II）若数列 满足 ，求数列 的前 n项和 （ III）设 ，求证： 答案：（ I）证明见。 （ II） （ III）证明见。
