1、洞口四中数学必修 2模块结业考试试卷与答案 选择题 1.将球的半径变为原来的两倍，则球的体积变为原来的（ ） A 2倍 B 4倍 C 8倍 D 0.5倍 答案： C 10. 如图，将一正方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为（ ） A 1 6 B 1 5 C 1 2 D 1 3 答案： B 9. 已知圆 C1： x2 + y2 + 2x + 8y-8 = 0，圆 C2： x2 + y2-4x-4y-2 = 0，则圆 C1与圆 C2的位置关系为（ ） A相交 B外切 C内切 D外离 答案： A 8.已知 ABC中，三个顶点的坐标分别为 A(5,-1)， B
2、(1,1)， C(2,3)，则 ABC的形状为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 答案： B 7.直线 x + y-1 = 0与直线 x + y + 1 = 0的距离为（ ） A 2 B C 2 D 1 答案： B 6. 直线 y = k(x-1)与以 A(3,2)、 B(2,3)为端点的线段有公共点，则 k的取值范围是（ ）。 A 1, B 1, C 1,3 D ,3 答案： C 5.若 l、 a、 b表示直线， 、 表示平面，下列命题正确的是（） A B C D 答案： C 4.关于斜二侧画法，下列说法正确的是（ ） A三角形的直观图可能是一条线段 B平行四
3、边形的直观图一定是平行四边形 C正方形的直观图是正方形 D菱形的直观图是菱形 答案： B 3.过点 P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ） A 3x-2y = 0 B x + y-5 = 0 C 3x-2y = 0 或 x + y-5 = 0 D 2x-3y = 0 或 x + y-5 = 0 答案： C 2.多面体的直观图如右图所示，则其正视图为（ ） 答案： A 填空题 15.如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1中（侧棱垂直于底面）， ABC = 90，且 AB = BC = AA1，则 BC1与面 ACC1A1所成的角的大小为 . 答案： 30 14.已知线段 AB的端点
4、B的坐标为 (4,0)，端点 A在圆 x2 + y2 = 1上运动，则线段 AB的中点的轨迹方程为 答案： (x-2)2 + y2 = 13.圆台的上下底面半径分别为 1、 2，母线与底面的夹角为 60，则圆台的侧面积为 . 答案： 6 12.已知圆的方程为 x2 + y2-2x + 4y + 1 = 0，则此圆的圆心坐标和半径分别为 . 答案：（ 1， -2）， 2 11.空间直角坐标系中两点 A(0,0,1)， B(0,1,0)，则线段 AB的长度为 . 答案： 解答题 16.（本小题满分 8分）直线 l过直线 x + y-2 = 0和直线 x-y + 4 = 0的交点，且与直线 3x-2
5、y + 4 = 0平行，求直线 l的方程 . 答案：解法一：联立方程： 解得 ，即直线 l 过点 (-1,3)， 由直线 l与直线 3x-2y + 4 = 0平行得：直线 l的斜率为， 所以直线 l的方程为： y-3 = (x + 1) 即 3x-2y + 9 = 0. 解法二： 直线 x + y-2 = 0不与 3x-2y + 4 = 0平行 可设符合条件的直线 l的方程为： x-y + 4 + (x + y-2)= 0 整理得： (1 + )x + (-1)y + 4-2 = 0 直线 l与直线 3x-2y + 4 = 0平行 解得 = 直线 l的方程为： x-y + = 0即 3x-2y
6、 + 9 = 0 17.（本小题满分 8 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1中， E 为 DD1中点， （ 1）求证： BD1 平面 AEC； （ 2）求：异面直线 BD与 AD1所成的角的大小 . 答案：证明：（ 1）设 AC、 BD交点为 O，连结 EO， E、 O分别是 DD1、 BD中点 EO BD1 又 EO 面 AEC， BD1 面 AEC BD1 平面 AEC （ 2）连结 B1D1， AB1 DD1 =BB1 B1D1 =BD AD1B1即为 BD与 AD1所成的角 在正方体中有面对角线 AD1 = D1B1 = AB1 AD1B1为正三角形 AD1B1 = 60 即
7、异面直线 BD与 AD1所成的角的大小为 60 18.（本小题满分 8分）已知圆心为 C的圆经过点 A(1,0)， B(2,1)，且圆心 C在 y轴上，求此圆的方程。 答案：解法一：设圆心 C的坐标为 (0,b)，由 |CA| = |CB|得： 解得： b = 2 C点的坐标为 (0,2) 圆 C的半径 = |CA| = 圆 C的方程为： x2 + (y-2)2 = 5 即 x2 + y2-4x-1 = 0 解法二： AB的中点为 (,)，中垂线的斜率为 -1 AB的中垂线的方程为 y- = -(x-) 令 x = 0求得 y = 2，即圆 C的圆心为 (0,2) 圆 C的半径 = |CA|
8、= 圆 C的方程为： x2 + (y-2)2 = 5 即 x2 + y2-4x-1 = 0 19.（本小题满分 8分）已知，过点 M(-1,1)的直线 l被圆 C： x2 + y2-2x + 2y-14 = 0所截得的弦长为 4，求直线 l的方程 . 答案：解：由圆的方程可求得圆心 C的坐标为 (1,-1)，半径为 4 直线 l被圆 C所截得的弦长为 4 圆心 C到直线 l的距离为 2 (1)若直线 l的斜率不存在，则直线 l的方程为 x =-1，此时 C到 l的距离为 2，可求得弦长为 4，符合题意。 (2)若直线 l的斜率存在 ,设为 k, 则直线 l的方程为 y-1 = k(x + 1)
9、 即 kx-y + k + 1 = 0, 圆心 C到直线 l的距离为 2 = 2 k2 + 2k + 1 = k2 + 1 k = 0 直线 l的方程为 y =1 综上 (1)(2)可得：直线 l的方程为 x =-1或 y =1. 20.（本小题满分 8分）如图， AB是 O的直径， PA O所在的平面， C是圆上一点， ABC = 30， PA = AB. (1)求证：平面 PAC 平面 PBC； (2)求直线 PC与平面 ABC所成角的正切值； (3)求二面角 APBC 的正弦值 . 答案：解： (1)证明： AB是直径 ACB = 90，即 BC AC PA BC BC 平面 PAC 又
10、 BC 平面 PBC 平面 PBC 平面 PAC （ 2） PA 平面 ABC 直线 PC与平面 ABC所成角即 PCA 设 AC = 1， ABC = 30 PA = AB = 2 tan PCA = = 2 (3) 在平面 PAC中作 AD PC于 D，在平面 PAB中作 AE PB于连结 DE 平面 PAC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC = PC，AD PC AD 平面 PBC AD PB 又 PB AE PB 面 AED PB ED DEA即为二面角 APBC 的平面角 在直角三角形 PAC中和直角三角形 PAB中， 分别由等面积方法求得 AD = AE = 在直角三角形 A
11、DE中可求得： sin DEA = 即二面角 APBC 的正弦值为 . （本小题满分 9分） 在一个特定时段内，以点 E为中心的 10海里以内海域被设为警戒水域 .点 E正北 40海里处有一个雷达观测站 A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 30且与点 A相距 100海里的位置 B，经过 2小时又测得该船已行驶到点 A北偏东 60且与点 A相距 20海里的位置 C. （ I）求该船的行驶速度（单位：海里 /小时） ; （ II）若该船不改变航行方向继续行驶 .判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由 . 答案：解：（ 1）如图建立平面直角坐标系：设一个单位为 10海里 则坐标平面中 AB = 10， AC = 2A(0,0)， E(0, -4) 再由方位角可求得： B(5,5)， C(3,) 所以 |BC| = = 2 所以 BC两地的距离为 20海里 所以该船行驶的速度为 10海里 /小时 （ 2）直线 BC的斜率为 = 2 所以 直线 BC的方程为： y- = 2(x-3) 即 2x-y-5 =0 所以 E点到直线 BC的距离为 = 1 所以直线 BC会与以 E为圆心，以一个单位长为半径的圆相交， 所以若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。 答：该船行驶的速度为 10海里 /小时，若该船不改变航行方向则会进入警戒水域。
