1、湖南省长沙市一中 2009 2010学年度高一第二次单元考试 选择题 （空间三条直线互相平行 ,由每两条平行线确定一个平面 ,则可确定平面的个数为（ ） A 3 B 1或 2 C 1或 3 D 2或 3 答案： C （已知 ABC的三个顶点的坐标分别为 A(0,3),B(4,1),C(3,4),点 P(x,y)在 ABC的边界及其 内部运动 ,则 的最大值为 ,最小值为 答案： 4， 2.5 （ 8分）已知 A(3,1),B(0,-1),C(1,3), D(a,b),则当 a,b满足什么条件时 ,可以使得 (1)AB CD; (2)AB CD. 答案： （ 9分）如图所示三棱锥 PABC 中，
2、异面直线 PA与 BC所成的角为，二面角 PBCA 为 ， PBC和 ABC的面积分别为 16和 10， BC . 求： （） PA的长；（）三棱锥 PABC 的体积 答案： PA ;(2) （如图， ABCDA 1B1C1D1是正方体， B1E1 D1F1 ， 则 BE1与 DF1所成角的余弦值是 ( ) A B C D 答案： A （设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列四个命题 若 若 其中正确的命题的个数是（） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： B （一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ). A B C D 答案： C 两个平面平行的
3、条件是（ ） A一个平面内一条直线平行于另一个平面 B一个平面内两条直线平行于另一个平面 C一个平面内的无数条直线平行于另一个平面 D一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面 答案： D （在正方体 A1B1C1D1ABCD 中， AC与 B1D所成的角的大小为 （ ） . A B C D 答案： D （已知 ， 是异面直线，直线 直线 ,则 与 的位置关系是（ ） . B一定是相交C不可能是平D不可能是相直线 行直线 交直线 答案： C 下列命题中正确的个数是（ ） . 三角形是平面图形 四边形是平面图形 四边相等的四边形是平面图形 矩形一定是平面图形 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
4、 答案： B 填空题 （已知三个球的半径 ， ， 满足 ，则它们的表面积 ， ，满足的等量关系是 _ 答案： （如图所示，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是边长为 a的正方形，侧棱PA=a， PB=PD= a，则它的 5个面中，互相垂直的面有 对 . 答案： （长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1 2 3，对角线长为 2 ，则这个长方体的体积是 答案： 48 （已知 ABC所在平面外一点 P到 ABC三顶点的距离都相等 ,则 P在平面 ABC内的射影是 ABC的 答案： 外心 （已知 a,b,c是三条直线，且 a b， a与 c的夹角为 ，那么 b与 c夹角是 答案： （过点 P(2,3
5、),倾斜角为 135的直线的点斜式方程为 答案： y-3=-(x-2) 解答题 （ 8分）在正四面体 PABC 中 ,D,E,F分别是 AB、 BC、 CA的中点 ,求证 : （） BC 平面 PDF; （） BC 平面 PAE 答案： （ 10分）如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面为直角梯形， AD BC， BAD=90， PA 底面 ABCD，且 PA=AD=AB=2BC， M、 N分别为 PC、 PB的中点 . （ 1）求证： PB DM； （ 2）求 BD与平面 ADMN所成的角 . 答案： （ 10分）如图所示，已知四棱锥 PABCD ，底面 ABCD为菱形，PA 平面 ABC
6、D， ABC=60,E,F分别是 BC,PC的中点 . (1)证明 :AE PD; (2)若 H为 PD上的动点 ,EH与平面 PAD所成最大角的正切值为 , 求二面角 EAFC 的余弦值 . 答案： (1)证明 由四边形 ABCD为菱形 , ABC=60, 可得 ABC为正三角形 .因为 E为 BC的中点 ,所以 AE BC.又 BC AD,因此AE AD. 因为 PA 平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PA AE. 而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD且 PAAD=A, 所以 AE 平面 PAD.又 PD 平面 PAD,所以 AE PD. (2)解 如图所示，设 AB=2,
7、H为 PD上任意一点 ,连结 AH、 EH, 由 (1)知 ,AE 平面 PAD, 则 EHA为 EH与平面 PAD所成的角 . 在 Rt EAH中 ,AE= , 所以 ,当 AH最短时 , EHA最大 ,即当 AH PD时 , EHA最大 . 此时 ,tan EHA= = = ,因此 AH= .又 AD=2,所以 ADH=45,所以PA=2. 方法一 因为 PA 平面 ABCD,PA 平面 PAC, 所以 ,平面 PAC 平面 ABCD.过 E作 EO AC于 O,则 EO 平面 PAC, 过 O作 OS AF于 S,连接 ES,则 ESO为二面角 EA FC 的平面角 . 在 Rt AOE
8、中 ,EO=AE sin30= ,AO=AE cos30= ,又 F是 PC的中点 , 在 Rt ASO中 ,SO=AO sin45= , 又 SE= = = , 在 Rt ESO中 ,cos ESO= = = , 即所求二面角的余弦值为 . （ 10分）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是 a的正方形， PA 平面ABCD， 且 PA=2AB （ 1）求证：平面 PAC 平面 PBD； （ 2）求二面角 BPCD 的余弦值 . 答案： （ 10分）数列 首项 ，前 项和 与 之间满足. 求证：数列 是等差数列； 求数列 的通项公式； 设存在正数 ，使 对 都成立，求 的最大值 . 答案： ， 因为 时， 得 由题意 又 是以 为首项， 为公差的等差数列 . 由 有 时， 又 设 则 在 上递增 故使 恒成立，只需 . 又 又 ，所以， 的最大值是 .
