1、理科数学试题 第 1页（共 11 页） 绝密 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共 23题，共 150分，共 4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0 5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡 面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂
2、改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 1 2i1 2i A 43i55B 43i55C 34i55D 34i552已知集合 22 ( , ) | 3 , ,A x y x y x y Z Z ，则 A 中元素的个数为 A 9 B 8 C 5 D 4 3函数2ee()xxfx x 的图象大致为 4已知向量 a ， b 满足 | | 1a ， 1 ab ，则 (2 ) a a b A 4 B 3 C 2 D 0 5双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的离心率为 3 ，则其渐近线
3、方程为 A 2yx B 3yx C 22yxD 32yx6在 ABC 中， 5cos25C， 1BC ， 5AC ，则 AB A 42 B 30 C 29 D 25 理科数学试题 第 2页（共 11 页） 7为计算 1 1 1 1 112 3 4 9 9 1 0 0S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是 “每个大于 2的偶数可以表示为两个素数的和 ”，如 30 7 23 在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30的概率是 A 112B 114C
4、115D 1189在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中， 1AB BC， 1 3AA ，则异面直线 1AD 与 1DB 所成角的余弦值为 A 15B 56C 55D 2210若 ( ) cos sinf x x x在 , aa 是减函数，则 a 的最大值是 A 4B 2C 34D 11已知 ()fx是定义域为 ( , ) 的奇函数，满足 (1 ) (1 )f x f x 若 (1) 2f ， 则 (1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 5 0 )f f f f A 50 B 0 C 2 D 50 12已知 1F ， 2F 是椭圆 22 1 ( 0 )xyC a bab ：的左，右焦点
5、， A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 36的直线上， 12PFF 为等腰三角形， 12 120FFP ，则 C 的离心率为 A 23B 12C 13D 14二 、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2ln( 1)yx在 点 (0,0) 处的切线方程为 _ 14若 ,xy满足约束条件 2 5 0,2 3 0,5 0,xyxyx则 z x y 的最大值为 _ 15已知 sin cos 1 ， cos sin 0 ，则 sin( ) _ 开 始0 , 0N T S N T S输 出1i 1 0 0i 1N Ni 11T Ti 结 束是 否理科数学试题
6、 第 3页（共 11 页） 16已知圆 锥的 顶点 为 S ，母线 SA， SB 所成角的余弦值为 78， SA与圆锥底面所成角为 45，若 SAB 的面积为 515 ，则该圆锥的侧面积为 _ 三、解答题：共 70 分。解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23 为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（ 12分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知 1 7a ， 3 15S （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）求 nS ，并求 nS 的最小值 18（ 12分） 下图是某地区 2000
7、年至 2016年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型根据 2000 年至 2016 年 的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,17 ）建立模型 ： 30.4 13.5yt ；根据 2010年至 2016年的数据（时间变量 t 的值依次为 1,2, ,7 ）建立模型 ： 99 17.5yt （ 1）分别利用这两个模型，求该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值； （ 2）你认为 用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（ 12分） 设抛物线 2 4C y x： 的焦点为
8、F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，| | 8AB （ 1）求 l 的方程； （ 2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 理科数学试题 第 4页（共 11 页） 20（ 12分） 如图，在三棱锥 P ABC 中， 22AB BC， 4PA PB PC AC ， O 为 AC 的中点 （ 1）证明： PO 平面 ABC ； （ 2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C为 30 ，求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值 21（ 12分） 已知函数 2( ) exf x ax （ 1）若 1a ，证明：当 0x 时， ( )
9、 1fx ； （ 2）若 ()fx在 (0, ) 只有一 个零点，求 a （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2cos ,4sin ,x y （ 为参数），直线 l 的参数方程为 1 cos ,2 sin ,xtyt （ t 为参数） （ 1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率 23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 设函数 ( ) 5
10、| | | 2 |f x x a x （ 1）当 1a 时，求不等式 ( ) 0fx 的解集； （ 2）若 ( ) 1fx ，求 a 的取值范围 PAOCBM理科数学试题 第 5页（共 11 页） 绝密 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理 科数学试题参考答案 一、选择题 1 D 2 A 3 B 4 B 5 A 6 A 7 B 8 C 9 C 10 A 11 C 12 D 二、填空题 13 2yx 14 9 15 12 16 40 2 三、解答题 17解： （ 1）设 na 的公差为 d，由题意得 13 3 15ad 由 1 7a 得 d=2 所以 na 的通 项 公式为 29n
11、an （ 2）由（ 1）得 228 ( 4 ) 1 6nS n n n 所以当 n=4时 ， nS 取得最小值 ， 最小值为 16 18解： （ 1）利用模型 ， 该地区 2018年的环境基础设施投资额的预测值为 3 0 .4 1 3 .5 1 9 2 2 6 .1y (亿元 ) 利用模型 ， 该地区 2018年的环境基础设施投资额 的预测值为 9 9 1 7 .5 9 2 5 6 .5y (亿元 ) （ 2）利用模型 得到的预测值更可靠 理由如下： （ ）从折线图可以看出 ， 2000年至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.4 13.5yt 上下 这说明利用 2000年至 20
12、16年的数据建立的线性模型 不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势 2010年相对 2009年的环境基础设施投资额有明显增加， 2010年至 2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010年开始环境基理科数学试题 第 6页（共 11 页） 础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势 ， 利用 2010年至 2016年的数据建立的线性模型 99 17.5yt 可以较好地描述 2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势 ， 因此利用模型 得到的预测值更可靠 （ ）从计算结果看 ， 相对于 2016年的环境基础设施投资额 220亿元 ， 由模型 得到的预测值 226 1亿元的增幅明显
13、偏低 ， 而利用模型 得到的预测 值的增幅比较合理 说明利用模型 得到的预测值更可靠 以上给出了 2种理由 ， 考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 19解： （ 1）由题意得 (1,0)F ， l的方程为 ( 1)( 0)y k x k 设 1 2 21( , ), ( , )Ay x yx B ， 由2( 1),4y k xyx 得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k 216 16 0k ， 故122224kx kx 所以122244| | | | | | ( 1 ) ( 1 )x kA B A F B F kx 由题设知 22448kk ， 解得 1k （舍去），
14、1k 因此 l的方程为 1yx （ 2）由（ 1）得 AB的中点坐标为 (3,2) ， 所以 AB的垂直平分线方程为 2 ( 3)yx ，即 5yx 设所求圆的圆心坐标为 00( , )xy ， 则 0022 0005,( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx 解得 003,2xy 或 0011,6.xy 因此所求圆的方程为 22( 3) ( 2 ) 1 6xy 或 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy 20解： 理科数学试题 第 7页（共 11 页） （ 1）因为 4AP CP AC ， O 为 AC 的中点，所以 OP AC ，且 23OP 连结 OB 因为 22AB BC A
15、C ，所以 ABC 为等腰直角三角形， 且 OB AC ， 1 22OB AC 由 2 2 2OP OB PB知 PO OB 由 ,OP OB OP AC知 PO 平面 ABC （ 2）如图，以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐 标系 O xyz 由已知得 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 3 ) , ( 0 , 2 , 2 3 ) ,O B A C P A P取平面 PAC 的法向量 (2,0,0)OB 设 ( , 2 , 0 )(0 2 )M
16、a a a ，则 ( , 4 , 0)AM a a 设平面 PAM 的法向量为 ( , , )x y zn 由 0, 0AP AM nn得 2 2 3 0(4 ) 0yzax a y ，可取( 3 ( 4 ), 3 , )a a a n ， 所以2 2 22 3 ( 4 )c o s , 2 3 ( 4 ) 3aOB a a a n 由已知得3| cos , | 2OB n 所以2 2 22 3 | 4 | 3= 22 3 ( 4 ) 3aa a a 解得 4a （舍去）， 43a 所以 8 3 4 3 4( , , )3 3 3 n 又 (0, 2, 2 3)PC ，所以 3cos , 4P
17、C n 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 34 理科数学试题 第 8页（共 11 页） 21解： （ 1）当 1a 时， ( ) 1fx 等价于 2( 1)e 1 0xx 设函数 2( ) ( 1)e 1xg x x ，则 22( ) ( 2 1 ) e ( 1 ) exxg x x x x 当 1x 时， ( ) 0g x ，所以 ()gx在 (0, ) 单调递减 而 (0) 0g ，故当 0x 时， ( ) 0gx ，即 ( ) 1fx （ 2）设函数 2( ) 1 e xh x ax ()fx在 (0, ) 只有一个零点当且仅当 ()hx在 (0, ) 只有一个零点 （ i）
18、当 0a 时， ( ) 0hx ， ()hx没有零点； （ ii）当 0a 时， ( ) ( 2)e xh x ax x 当 (0,2)x 时， ( ) 0h x ；当 (2, )x 时， ( ) 0h x 所以 ()hx在 (0,2) 单调递减，在 (2, ) 单调递增 故24(2) 1 eah 是 ()hx在 0, ) 的最小值 理科数学试题 第 9页（共 11 页） 若 (2) 0h ，即 2e4a， ()hx在 (0, ) 没有零点； 若 (2) 0h ，即 2e4a， ()hx在 (0, ) 只有一个零点； 若 (2) 0h ，即 2e4a，由于 (0) 1h ，所以 ()hx在 (
19、0,2) 有一个零点， 由（ 1）知，当 0x 时， 2ex x ，所以3 3 34 2 2 41 6 1 6 1 6 1( 4 ) 1 1 1 1 0e (e ) ( 2 )aaa a aha aa 故 ()hx在 (2,4)a 有一个零点，因此 ()hx在 (0, ) 有两个零点 综上， ()fx在 (0, ) 只有一个 零点时， 2e4a 22 解： （ 1） 曲线 C 的直角坐标方程为 2214 16xy 当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 ta n 2 ta nyx ， 当 cos 0 时， l 的直角坐 标方程为 1x （ 2）将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整
20、理得关于 t 的方程 22(1 3 c o s ) 4 ( 2 c o s s i n ) 8 0tt 因为 曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内，所以有两个解，设为 1t ， 2t ，则120tt 又由得12 24 ( 2 c o s s in )1 3 c o stt ，故 2 cos sin 0，于是直线 l 的斜率tan 2k 23 解： （ 1）当 1a 时，2 4 , 1,( ) 2 , 1 2 ,2 6 , 2 .xxf x xxx 理科数学试题 第 10页（共 11 页） 可得 ( ) 0fx 的解集为 | 2 3xx （ 2） ( ) 1fx 等价于
21、| | | 2 | 4x a x 而 | | | 2 | | 2 |x a x a ，且当 2x 时等号成立 故 ( ) 1fx 等价于 | 2| 4a 由 | 2| 4a可得 6a 或 2a ，所以 a 的取值范围是 ( , 6 2, ) 21（ 12分） 已知函数 2( ) exf x ax （ 1）若 1a ， 证明 ： 当 0x 时 ， ( ) 1fx ； （ 2）若 ()fx在 (0, ) 只有一个零点 ，求 a 解： （ 1） ( ) e 2xf x x ， ( ) e 2xfx 当 ln2x 时， ( ) 0fx ，当 ln2x 时， ( ) 0fx ，所以 ()fx 在 ( ,
22、ln2) 单调递减，在 (ln2, ) 单调递增，故 ( ) ( ln 2 ) 2 2 ln 2 0f x f ， ()fx在 ( , ) 单调递增 因为 0x ， 所以 ( ) (0) 1f x f （ 2）当 0x 时，设2e()xg x ax， 则 2( ) ( )f x x g x ， ()fx在 (0, ) 只有一个零点等价于 ()gx在 (0, ) 只 有一个零点 3e ( 2)()x xgx x ， 当 02x时， ( ) 0gx ，当 2x 时， ( ) 0gx ，所以 ()gx在 (0,2)单调递减，在 (2, ) 单调递增，故 2e( ) (2) 4g x g a 若 2e4a ， 则 ( ) 0gx ， ()gx在 (0, ) 没有零点 若 2e4a ， 则 ( ) 0gx ， ()gx在 (0, ) 有唯一零点 2x 若 2e4a ，因为 (2) 0g ， 由（ 1）知当 0x 时， 2e1x x，22e1( ) 1xg x a axx ，理科数学试题 第 11 页（共 11 页） 故 存在1 1(0 , ) (0 , 2 )1x a， 使 1( ) 0gx 4422ee( 4 ) 1 6 1 6aag a a a 2ex x ，
