1、 1 第 2 章 习题 解答 2.2 已知半径为 a 、长为 l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度 0V a ， 0 a 。试求总电量 Q 。 解： 2 2000 0 0 2d d d d 3laVVQ V z l aa 2.3 半径为0R的球面上均匀 分布着电荷，总电量为 Q 。当球以角速度 绕某一直径 (z 轴 )旋转时，试求其表面上的面电流密度。 解： 面电荷密度为 204SQR 面电流密度为 00 200s i ns i n s i n4 4 S S SQQJ v R RRR 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0SSJ e J。已知导线的 直径为 d ，导线中的
2、电流为0I，试求0SJ。 解： 每根导线的体电流密度为 00224 ( / 2 ) IIJ dd由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04S IJ Jd d因此，等效面电流密度为 04S IJed2.6 两个带电量分别为0q和02q的点电荷相距为 d ，另有一带电量为0q的点电荷位于其间。为使中间的点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为 -0q时，结果又如何？ 解： 设实验电荷 0q 离 02q 为 x ，那么离 0q 为 xd 。由库仑定律，实验电荷受 02q 的排斥力为 01 2214 qF x 实验电荷受 0q 的排斥力为 02 214 ()qF dx 要使实验电荷
3、保持平衡， 即 21 FF ，那么 由00222114 4 ()qqx d x ， 可以解得 ddx 5 85.012 2 如果实验电荷为 0q ，那么平衡位置仍然为 ddx 5 85.0122 。只是这时实验电荷与 0q 和 02q 不是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为 a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度 E 。 解： 设点电荷的位置分别为 0 0,0,0q， 0 ,0,0qa和 0 0, ,0qa， 由库仑定律 可得点 , ,0P a a 处的电场为 0 0 02 220 0 00201 1 1 1 14 4 4 22 22 2 182 x
4、y y xxyq q qE e e e eaaaqeea 2 2.9 半径为0R的半球面上均匀分布着面电荷，电荷密度为0S，试求球心处的电场强度；若同样的电荷均匀分布在半径为0R的半球内，再求球心处的电场强度。 解： 面电荷密度产生的电场强度为 0301 d4 SSrrE r Srr 根据面电荷分布的对称性，电场强度只沿着 z 方向。由于 20d s i n d dSR ，那么 2 /2 20000d s i n d 4 4SSzzE r e e 如果电荷均匀分布在半球内，那么体电荷密度为 20 0 0330 0 02 32 / 3 2 /3SSRQR R R 把体电荷密度分成很多薄球壳，根据
5、上述结果，厚度为 dr 的球壳产生的电场强度为 0dd4zE r e r 那么，半球内均匀分布的电荷密度在球心产生的电场强度为 0 0000 0 03)d4 4 4R Sz z zE r e r e R e 2.14 如题 2.14 图所示，两个半径分别为 a 和 b ba 的球面之间均匀分布着体电荷，电荷密度为0。两球面的球心相距为 d ，且 da 。试求空腔内的电场。 解： 我们把空腔看成是由电荷密度分别为 0 和 0 的体电荷 ，那么在空腔内电场可以看成电荷密度为 0 、半径为 b 的 大 圆 球 产生的场和电荷密度为 0 、半径为 a 的 小圆球查收的场的 叠加。由高斯定理，大圆 球
6、产生的电场为 0233b b bbQE r rr 而 小圆 球 产生的电场为 0233a a abQE r rr 因此合成场为 0 0 03 3 3baE r r d 2.22 如题 2.22 图所示，在半径为 a 的圆柱导体内并排挖了两个与其轴线平行、半径为 b 的圆柱形空腔。两空腔的轴线与导体柱的轴线的距离相等，均为 d ，且 db 。当导体通以均匀分布的电流 I 时，试求空腔内的 H 。 解： 假设导体中的电流是ze方向的。由于导体的电流密度为 220 / 2J I a b，所以可以 把空腔看成是 两个电流密度也为0J的ze方向的导体柱。 那么在空腔内 磁场 可以看成 该两个小导体柱和
7、半径为 a ，没有空腔的大圆柱导体柱所 产生的场 的 叠加。 利用 安培环路定律 ， 可以分别得到 大圆柱 在两个空腔内产生的 磁场 以及两个小导体柱在两个空腔内产生的磁场，最后得到 左腔内 H H H H 左 右大 2 2 2 22222 2222222 222 22 22 22 2x y x yxyxyIIe y e x e y e x da b a bIbe y e x dab x d yx d bI y be e dab x d y x d y 3 右腔内 H H H H 左 右大 222 2 2 2 222222222 222 22 22 22 2x y x yxyxyI I be
8、y e x e y e x da b a b x d yIe y e x dabx d bI y be e dab x d y x d y 2.30 已知无源的自由空间内 0 c o sxE e E t z，其中0E， 和 为常数。试求磁场强度 H 和位移电流dJ。 解： 由 麦克斯韦第二方程可得 00 0 s i n00x y z x y zyxx y ze e e e e eB E e E t zt x y z zEE E E 于是有 0000 0 01 s i n d c o styyEBH e E t z t e t z 而位移电流 d 0 0 0 s i nxDEJ e E t zt
9、t 2.31 已知无源的自由空间内 0 c o s s i ny xH e H t za ，其中0,Ha和 为常数。试求 E 和dJ。 解： 由于 在 无源的自由空间 0J ， 由 麦克 斯韦第一方程可得 000x y z x y zyyxzyx y ze e e e e eHHDH e et x y z x z z xHH H H 00 c o s c o s s i n s i nxz Hxxe H t z e t za a a 于是有 0000 0 0 01 d c o s s i n s i n c o stxzHHD x xE H t e t z e t za a a 而位移电流 0
10、d0 c o s c o s s i n s i nxz HD x xJ e H t z e t zt a a a 2.32 已知介电常数为 ，磁导率为 的空间内 0 c o sy x zE e E t k x k z 试求：电荷密度 和电流密度 J ， 0J 的条件是什么？ 解： 由 麦克斯韦第四方程可得 0DE 而 由 麦克斯韦第二方程可得 00000s i n s i nx y z x y zyx y zyyx z x z x z z x x ze e e e e eBEt x y z x zEE E EEEe e e k E t k x k z e k E t k x k zzx 4
11、于是有 0000 0 0 01 d c o s c o st zxx x z z x zk E k EBH E t e t k x k z e t k x k z 而 220000s i n s i nx y z x y zx zyxzx y zzxx x z x ze e e e e eH HHex y z x z z xHHH H Hk E k Ee t k x k z t k x k z 代入麦克斯韦第一方程可得 22 0 s i nyxy x ykkDJ H e E t k x k yt 由此可见， 0J 的条件是 2 2 2xykk 。 2.33 已知无源的自由空间内 12s i n
12、 4 c o s c o s 4 s i nxzH e A x t k y e A x t k y 试求相应的位移电流密度。 解： 由于 在 无源的自由空间 0J ， 由 麦克斯韦第一方程可得 00x y z x y zxzzx y zx y z x ze e e e e eHHHD H e e et x y z x y y x yH H H H H 2 2 1c o s 4 c o s 4 s i n 4 s i n s i n 4 s i nx y ze k A x t k y e A x t k y e k A x t k y 于是有 0002 2 101 d1 c o s 4 s i
13、n 4 s i n 4 c o s s i n 4 c o stx y zDE H te k A x t k y e A x t k y e k A x t k y 而位移电流 d 2 2 1c o s 4 c o s 4 s i n 4 s i n s i n 4 s i nx y zDJ e k A x t k y e A x t k y e k A x t k yt 2.34 已知半径为0R的球面内外的电场分别为 0003c o s s i n2 c o s s i nrrA e e r RREB e e r Rr 假设球内外的介电常数均为0。试求：（ 1）满足边界条件的 B ；（ 2）
14、球面上的面电荷密度及其总电量；（ 3）球面内外的体电荷密度。 解： 由电场 切向分 量连续的边界条件可得 0 0 0 021 t 2 t 1 2 0r R r R r R r RE E E E B A R 代入 电场 法向 方向分量满足的边界条件可得 0 0 0 0 0 01 n 2 n 1 n 2 n 0 1 2S S r rr R r R r R r R r R r RD D D D E E 003 c o sSAR 5 2.35 已知半径为0R、磁导率为 的球体内外的磁场强度为 0032 c o s s i n2 c o s s i nrre e r RH A e e r Rr 且球外为空气。试求：（ 1）满足边界条件的 A ；（ 2）球面上的面电流密度SJ。 解： 由 磁场法向 分量连续的边界条件可得 0 0 0 031 n 2 n r 0 1 0 2 r 0rrr R r R r R r RB B H H A R 代入磁场 切向方向分量满足的边界条件可得 n 1 2 1 2 r2 s i nS S re H H J J e H H e
