1、2014年第一学期电磁场与电磁波复习题 一填空题 1已知矢量 2z2y2x zexyexeA ，则 A = zxyx 222 ， A = 2yez 。 注： zxyxzAyAxAA zyx 222 22222)( yexxyezxyxzyxeeeAAAzyxeeeA zzzyxzyxzyx 2矢量 BA 、 垂直的条件为 0BA 。 3理想介质的电导率为 0 ，理想导体的电导率为 ，欧姆定理的微分形式为 EJ 。 4静电场中电场强度 E 和电位 的关系为 E ，此关系的理论依据为 0 E ；若已知电位22 z3xy2 ，在点（ 1,1,1）处电场强度 E 642 zyx eee 。 注： ze
2、xyeyezeyexeE zyxzyx 642 2 5恒定磁场中磁感应强度 B 和矢量磁位 A 的关系为 AB ；此关系的理论依据为 0 B 。 6通过求解电位微分方程可获知静电场的分布特性。静电场电位泊松方程为 /2 ，电位拉普拉斯方程为 02 。 7若电磁场两种媒质分界面上无自由电荷与表面电流，其 DE 、 边界条件为： 021 EEen和 021 DDe n ； HB 、 边界条件为： 021 BBe n 和 021 HHe n 。 8 空气与介质 )4(2r 的分界面为 z=0 的 平面，已知空气中的电场强度为 4e2eeEzyx1 ,则介质中的电场强度 2E 12zyx eee 。
3、注：因电场的切向分量连续，故有zzyx EeeeE 22 2 ，又电位移矢量的法向分量连续，即 14 22200 zzr EE 所以 122 zyx eeeE 。 9. 有一磁导率为 半径为 a 的无限长导磁圆柱，其轴线处有无限长的线电流 I，柱外是空气（ 0 ） ，则柱内半径为 1 处磁感应强度 1B =12 Ie ； 柱外半径为 2 处磁感应强度 2B =202 Ie。 10已知恒定磁场磁感应强度为 z4emyexeBzyx ,则常数 m= -5 。 注 :因为 0zByBxBB zyx ，所以 5041 mm 。 11半径为 a 的孤立导体球，在空气中的电容为 C0= a04；若其置于空
4、气与介质 （ 1 ）之间，球心位于分界面上，其等效电容为 C1= a102 。 解：（ 1）024 QrE r ，204 rQEr ，aQdrEUar04 ， aUQC 04 （ 2） QrDrD rr 2221 22 ，1201 rr DD ， 210 01 2 rQD r ， 210 12 2 rQD r ， 21021 2 rQEE rr ，aQdrEUar )(2101 ， aUC )(2 10 12已知导体材料磁导率为 ，以该材料制成的长直导线单位长度的内自感为8。 13空间有两个载流线圈，相互 平行 放置时，互感最大；相互 垂直 放置 时，互感最小。 14两夹角为n(n 为整数 )
5、的导体平面间有一个点电荷 q，则其镜像电荷个数为 （ 2n-1） 。 15空间电场强度和电位移分别为 DE 、 ，则电场能量密度 we= DE21。 16 空气中的电场强度 )2co s (20 kzteEx ，则空间位移电流密度 DJ = kzte x 2s in400。 注： )2s i n (40)2co s (2000 kztekztettDJ xxD （ A/m2）。 17在无源区内，电场强度 E 的波动方程为 022 EkEc。 18频率为 300MHz 的均匀平面波在空气中传播，其 波阻抗为 )(120 ，波的传播速度为 )/100.3( 8 smc ， 波长为 1m ，相位常数
6、为 )/(2 mrad ；当其进入对于理想介质 ( r = 4， 0)，在该介质中的波阻抗为 )(60 ，传播速度为 )/(105.1 8 sm ，波长为 0.5m ，相位常数为)/(4 mrad 。 注：有关关系式为 波阻抗 （ ），相速度1v （ m/s）， vf ， 2k （ rad/m） 空气或真空中， )(1200 ， )/(103 8 smcv 。 19已知平面波电场为 zjyxi eeje(EE )0 ，其极化方式为 右旋圆极化波 。 注：因为传播方向为 z 方向，且ymxm EE ， 0x，2 y， 02 xy，故为右旋圆极化波。 20已知空气中平面波 )86(, zxjm e
7、EezxE y，则该平面波波矢量 k 86 zx ee ， 角频率= )/(103 9 srad ，对应磁场 z,xH )/(36600 )86( mAeeeE zxjzxm 。 解 ：因为 zxzkykxkzyx 86 ，所有 6xk， 0yk， 8zk ， 10222 zyx kkkk，从而 86 zx eek ， )(2.02 mk ， )/(103 8 smcvf ， )(105.1 9 Hzf ，)/(1032 9 sr a df 。相伴的磁场是 )/(366 0 086101 2 0111)86()86(mAeeeEeEeeeEkkEeHzxjzxmzxjmyzxn21 海水的电导
8、率 =4S/m，相对介电常数 81r 。对于 f=1GHz 的电场，海水相当于 一般导体 。 解：因为 18172811036 1101242 990 rf所以现在应视为一般导体。 22导电媒质中，电磁波的相速随频率变化的现象称为 色散 。 23 频率为 f 的均匀平面波在良导体（参数为 、 ）中传播，其衰减常数 = f ，本征阻抗相位为 4/ ，趋肤深度 =f1 。 24均匀平面波从介质 1 向介质 2 垂直入射， 反射系数 和透射系数 的 关 系 为 1 。 25均匀平面波从空气向0,25.2 r的理想介质表面垂直入射，反射系数 = -0.2 ，在空气中合成波为 行驻波 ，驻波比 S= 1
9、.5 。 解： 12001 ， 8025.212020222 r， 2.01212 ，行驻波， 5.111 S 26均匀平面波从理想介质向理想导体表面垂直入射 ，反射系数 = -1 ，介质空间合成电磁波为 驻波 。 27均匀平面波从理想介质 1 向理想介质 2 斜入射，其入射角为 i, 反射角为 r, 折射角为 t ，两区的相位常数分别为 k1、 k2，反射定律为ir ，折射定律为ti kk s ins in 21 。 28均匀平面波从稠密媒质 ( 1)向稀疏媒质 ( 2)以大于等于 c12arcsin 斜入射，在分界面产生全反射，该角称为 临界角 ；平行极化波以 b12arctan 斜入射，
10、在分界面产生全透射，该角称为 布儒斯特角 。 29 TEM 波的中文名称为 横电磁波 。 30电偶极子是指 几何长度远小于波长的载有等幅同相电流的线元 ，电偶极子的远区场是指 1kr或 r 。 二简答题 1 导电媒质和理想导体形成的边界，电流线为何总是垂直于边界？ 答：在两种不同导电媒质交界面两 侧的边界条件为 021 JJe n ， 021 EEe n ，即nn JJ 21 ，tt EE 21 ，因此 212211221121 /t ant an nnntnt JJEE EE显然，当 1 时，可推得 02 ，即电流线垂直于边界。 2写出恒定磁场中的安培环路定律并说明：磁场是否为保守场？ 答
11、： 恒 定 磁 场 中 的 安 培 环 路 定 律 为 SCSdJldH， 由 斯 托 克 斯 定 理 可 得 SSC SdJSdHldH ，因此 JH 不恒为零，故不是保守场。 3电容是如何定义的？写出计算双导体电容的基本步骤。 答： 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。孤立导体的电容定义为所带电量 q 与其电位 的比值；对于两个带等量异号电荷（ q）的导体组成的电容器，其电容为 q 与两导体之间的电压 U 之比。 计算双导体的步骤为： 根据导体的几何形状，选取合适的坐 标系； 假定两导体上分别带电荷 +q和 -q； 根据假定的电荷求出 E ; 由 21 lE
12、dU求出电压 ; 由UqC 求出电容 C. 4叙述静态场解的惟一性定理，并简要说明其重要意义。 答：静态场解的惟一性定理：在场域 V 的边界面 S 上给定 或n的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V 具有惟一值。 惟一性定理的重要意义：给出了静态场边值问题具有惟一解的条件；为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据；为求解结果的正确性提供了判据。 5什么是镜像法？其理论依据是什么？如何确定镜像电荷的分布？ 答： 在适当的位置上，用 虚设的电荷等效替代分布复杂的电荷的方法称为镜像法。镜像法的理论依据是唯一性定理。 镜像法的原则为： 所有的镜像电荷必须位于所求场域之外的空间中； 镜像电荷的个数
13、、 位置及电荷量的大小以满足原边界条件来确定。 6分别写出麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式并做简要说明。 答：积分形式： dVdddtddtddVSSSSSCCSDSBSBlESDSJlH0 第一方程说明：磁场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。 第二方程说明：电场强度沿任意闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。 第三方程说明：穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于 0。 第四方程说明：穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面包含的自由电荷 的代数和。 微分形式： DBBEDJH0tt第一方程对安培环
14、路定理进行修正，表征电流与变化的电场都是磁场的漩涡源； 第二方程为电磁感应定律，说明变化的磁场产生电场； 第三方程说明磁场为无散场； 第四方程说明电荷为电场的源。 7写出坡印廷定理的积分形式并简要说明其意义。 答：坡印廷定理的积分形式为 VVS VVt dd)2121(ddd)( JEBHDESHE 物理意义：单位时间内，通过曲面 S 进入体积 V 的电磁能量等于体积 V 中所增加的电磁场能量与损耗的能量之和。坡印廷定理是表征电磁能量 守恒关系的定理。 V Vt d)2121(dd BHDE 单位时间内体积 V 中所增加的电磁能量。 V VdJE 时间内电场对体积 V 中的电流所作的功；在导电
15、媒质中，即为体积 V 内总的损耗功率。 S SHE d)( 通过曲面 S 进入体积 V 的电磁功率。 8什么是波的极化？说明极化分类及判断规则。 答：电磁波的极化是指在空间给定点处，电场矢量的端点随时间变化的轨迹，分为线极化、圆极化和椭圆极化三类。 电磁波的极化状态取决于 Ex 和 Ey 的振幅 Exm、 Eym 和相位差 y x，对于沿 + z 方向传播的均匀平面波： 线极化： = 0、 ， = 0，在 1、 3 象限， = ，在 2、 4 象限； 圆极化： Exm = Eym， = /2，取 “ ”，左旋圆极化，取 “ ”，右旋圆极化； 椭圆极化：其它情况， 0，左旋， 0，右旋。 9分别
16、定性说明均匀平面波在理想介质中、导电媒质中的传播特性。 答：均匀平面波在理想介质中的传播特性： 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电 磁波； 电场与磁场振幅不衰减； 波阻抗为实数，电场磁场同相位； 电磁波的相速与频率无关，无色散； 平均磁场能量密度等于平均电场能量密度。 均匀平面波在导电媒质中的传播特性： 电场、磁场与传播方向之间相互垂直，是横电磁波； 电场与磁场振幅呈指数衰减； 波阻抗为复数，电场与磁场不同相位； 电磁波的相速与频率有关，有色散； 平均磁场能量密度大于平均电场能量密度。 10简要说明行波、驻波、行驻波之间的区别。 答：行波是其振幅不变的波，反射系数 0 ，驻波系数 1S
17、；驻波的振幅有零点（驻点），在空间没有移动，只是在原来的位置振动，反射系数 1| ，驻波系数 S ；而行驻波则是其振 幅在最大值和不为零的最小值之间变化，反射系数 1|0 ，驻波系数 S1 。 11简要说明电偶极子远区场的特性。 答：电偶极子远区场的特性： 远区场是横电磁波，电场、磁场和传播方向相互垂直； 远区场电场与磁场振幅比等于媒质的本征阻抗； 远区场是非均匀球面波，电磁场振幅与 1/r 成正比； 远区场具有方向性，按 sin变化。 三、分析计算题 1电场中有一半径为 a 的圆柱体，已知圆柱体内、外的电位函数为：aaAac o s)(0221 求 圆柱体内、外的电场强度； 柱表面电荷密度。
18、 （提示：柱坐标 zueueueu z ） 解： 圆柱体内的电场强度为 011 E 圆柱体外的电场强度为 s i n1c o s1 222222222aAeaAezeeeE z柱表面电荷密度为 c os22012 AEeDDe aanS 2 同心球形电容器的内导体半径为 a、外导体半径为 b，其间填充介电常数为 的均匀介质。已知内导体球均匀携带电荷 q。求： 介质内的电场强度 E 该球形电容器的电容。 解： 高斯定理 )3(r4qeE,r4qD,qSdD2r2 分得 内外导体间电压： ab abqbaqrEU ba 4)11(4d由电容的定义UqC，得到 ab abUqC 43 空气中 有一磁
19、导率为 半径为 a 的无限长均匀导体圆柱，其轴线方向电流强度为 I，求圆柱内外的磁感应强度 B 和磁场强度 H。 解：由IldHC可得 圆柱内外的磁场强度都是 2 IeH 而 圆柱内外磁感应强度 是 aIeaIeB2204矩形线圈长与宽分别为 a、 b，与电流为 i 的长直导线放置在同一平面上，最短距离为 d，如图。 已知i=I，求：长直导线产生的磁场；线圈与导线间的互感。 已知导线电流 i(t)=I0cost，求：导线产生的磁场；线圈中的感应电动势。 解： 电流 i=I 产生的磁场： 2 0IeB 穿过矩形线圈的磁通量是 dbdIaadISdB bddS ln22 00 故线圈与导线间的互感
20、为 d bdaIM ln2 0 导线电流 i(t)=I0cost 产生的磁场： tIeB co s2 00 穿过矩形线圈的磁通量是 td bdaIadtISdB bddS c osln2c os2 0000 线圈中的感应电动势 td bdaIt s inln2 00 上式中约定感应电动势的方向是顺时针。 5一点电荷 q 放置在无限大的导体平面附近，高度为 h。已知空间介质的相对介电常数 r=2，求 点电荷 q 受到的电场力； 高度为 4h 的 P 点的电场强度与电位。 解：镜像法，确定镜像电荷 q的位置如图和大小 q=-q 。 20220 16)2(4)(F hqehqqe yy hqhhqh
21、hqhqehhqehhqeyyy000212020202130)4(4)4(42254)4(4)4(4EEE 6已知半径为 a 的导体球带电荷量为 Q ，距离该球球心 f=4a 处有一点电荷 q，求 q 受到的电场力。 解：4,422 afadadqqfaqdaq 则 q 受到的电场力为 )576003164()(44)(202202/0/20/aqaQqedfqqefqqQeFxxxq 7海水的电导率 =4S/m，相对介电常数 81r 。设海水中电场大小为 tcosEE m ，求频率 f=1MHz时， 海水中的传导电流密度 J; 海水中的位移电流密度 JD。 解： tEEJ m c o s4
22、 tEtEED mmr c o s81c o s 00 tEtEtEtDJ mmmD s i n458.1s i n10121036 181s i n81 690 8、在理想介质 ( 1,25.2 rr )中均匀平面波电场强度瞬时值为： )t -k zco s (40t,z xeE 。已知该平面波频率为 10GHz，求： 该平面波的传播方向、角频率、波 长、波数 k； 电场强度复矢量； 磁场强度瞬时值；平均能流密度矢量vSa。 解： 传播方向： +z； )/(102101022 109 sr a df ； 880010225.2 10311 rrcvf； )(02.0101010298 mfv
23、 )/(1 0002.0 22 mr a dk 。 )/(40)( mVeezE jk zx )(8025.2120000 rr，)/(2 180 40)(1)( mAeeeezEezH j k zyj k zyz ；)/()c o s (2 1),( mAkztetzH y )/(102140Re21Re21 2* mWeeeeeHESzj k zyj k zxav 9已知自由空间中均匀平面波磁场强度瞬时值为： )43(c o s 3 1, zxt-etzxH y A/m，求 该平面波角频率 、频率 f、波长 电场、磁场强度复矢量 瞬时坡印廷矢量、平均坡印廷矢量。 解： zxzkykxkzy
24、x 43 ； 3xk， 0yk， 4zk ； )/(5)4()3( 22222 mr a dkkkk zyx ； 2k ， )(4.02 mk cvf （因是自由空间）， )(105.74.0 103 88 Hzcf ； )/(10152 8 sr a df )/(3 1),( )43( mAeezxH zxjy ； )/()243254331120),(),(),()43()43(mVeeeeeeekkzxHezxHzxEzxjzxzxzxjyn（ )/()43(c o s2432),( mVzxteetzxE zx )43(c o s 3 1, zxt-etzxH y （ A/m） )/(
25、)43(c o s322431)43(c o s31)43(c o s243222 mWzxteezxt-ezxteeHESzxzx y )43(2432),( zxjzx eeezxE ， )43(3 1),( zxjy eezxH )/(322461312432Re21Re212*)43()43(*mWeeeeeeeHESzxzxjyzxjzxav 10均匀平面波从空气垂直入射到某介质 ( = r 0， 0),空气中驻波比为 3，分界面为合成电场最小点，求该介质的介电常数。 解： 3S ，11S ， 5.013 1311 SS；分界面为合成电场最小点， 0 ， 5.0 01 ，rr 000
26、2 ， 5.01100001212 rrrr ，9r 11已知空气中均匀平面波电场强度的复数表示为 zj0 eEt,z xeE ，由 z=0 区域的理想介质中，已知该理想介质 r = 4， 0， 求 反射波的电场强度、磁场强度； 透射波电场强度、磁场强度。 z0 区域合成波的电场强度、磁场强度并说明其性质。 解： zjxi eEeE 0，zjyzjxzi eEeeEeeH 00001 01 ，2 000 02 rr，312200001212 ，322222000122 zjxzjxr eEeeEeE 00 31 ，zjyzjxzrzr eEeeEeeEeH 3 6 031)(1)(1 0000
27、 2002 rzjxzjkxt eEeeEeE 200 322 zjyzjxztzt eEeeEeeEeH 202022 9032)(1)(1 zeEeeeeEeeeEeeEeeEeEzjxzjzjzjxzjzjxzjxzjxc o s3232313132313000001 zjeEeeeeEeeeEeeEeeEeHzjyzjzjzjyzjzjyzjyzjys i n323212031313212031120360120000001行驻波，驻波系数 231131111 S 12已知空气中均匀平面波电场强度的复矢量表示为 zjeEz 0xi eE，垂直入射于 z=0 的理想导体板上，求 反射波电
28、场强度、磁场强度复矢量； 导体板上的感 应电流密度； 真空中合成电场强度的瞬时值表示式并说明合成波特性。 解： zjeEz 0xi eE，zjyzjxzi eEeeEeeH 00001 zjxzjxr eEeeEeE 00)1( ， zjyzjxzrzr eEeeEeeEeH 1 2 0)(1)(1 0000 zEjeeEeeEeEEE xzjxzjxri s i n2 0001 zEeeEeeEeHHH yzjyzjyri c o s60120120 0001 6060 0001 EeEeeHeJ xyzzns tzEetzEeeEtzExxtj s i ns i n22co ss i n2
29、Re),( 0011 合成电磁波为驻波 。 13已知均匀平面波由空气向位于 z=0 平面的理想导体表面斜入射。已知入射波电场强度为 )z3x(jy e20z,x eE i ，在下图中画出入射波和反射波场强与磁场强度方向并判断该平面波为平行极化波还是垂直极化波。并求： 波矢量ik 平面波频率 入射角 反射波电场强度 反射波磁场强度 空气中合成电场强度。 解：垂直极化波。 zxzkykxkiziyix 3； 1ixk， 0iyk， 3izk； 3zxi eek 231222 iziyixi kkkk，2ik， ik2 ， cf ， )(103 8 Hzcf 因为iiix kk sin，所以21sin iixi kk，630 0 i 1 ， 3zxr eek ， zxrk r 3 )3(20, zxjy ezx eE r )3(03(00310202 311 zxjzxzxjyzxrrr eeeeeeeEeH zejeeeeeEEE jxyzxjyzxjyri 3s i n402020 )3()3(1
