1、电磁场与波,绪论,本课程与相关课程的关系,电磁场与电磁波,高等数学,大学物理,通信原理,微波技术与天线,光纤通信,理论体系严谨 抽象、复杂 要求数学功底，推理能力 训练分析问题、解决问题的科学方法 预习、复习、独立完成作业 精读一至二本教学参考书 懂、记、算、比、熟,课程特点及学习要求,场与实物的共同特征 场与实物之间的差异,场的物理本质,（1） 形式、结构多种多样 （2） 有一定的质量、能量和动量，满足p=mv，w=mv2 （3）具有微粒性和波动性 （4）只能由一种形态转换成另一形态或相互转化,场与实物的共同特征,场与实物之间的差异,（1） 任何实物接触时都会产生机械作用，但不同的场接触时不
2、产生机械作用，且不同的场有不同的特征性质。（2） 一切实物占有空间，不能同时被另一实物占有，相反，同一空间可以同时存在着许多不同的场，而未发现其相互影响。而且，场和实物可以相互渗透，二者可占有同一空间。,（3）一切实物在外力作用下可变速运动，电磁场在真空中只能以光速运动，否则就根本不存在，即没有静止质量存在。（4）实物具有比场大得无比的质量密度和能量密度，虽然不可能量度场的质量，但容易发现场的能量（大c2 倍）,场是物质的一种形态，和另一种形态-实物同时存在，密切联系着，一定条件下相互转换。,电磁场与电磁波理论发展简史,1电磁场理论的早期研究 19世纪以前，电、磁现象作为两个独立的物理现 象，
3、没有发现电与磁的联系。但是由于这些研究 （特别是伏打1799年发明了电池），为电磁学理论的建立奠定了基础。,2电磁场理论的建立18世纪末期，德国哲学家谢林认为，宇宙是 有活力的，而不是僵死的。他认为电就是宇 宙的活力，是宇宙的灵魂；电、磁、光、热 是相互联系的。奥斯特是谢林的信徒，他从1807年开始研究 电磁之间的关系。1820年，他发现电流以力 作用于磁针。,安培发现作用力的方向和电流的方向以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直，并定量建立了若干数学公式。法拉第探索了磁生电的实验。1831年他发现，当磁捧插入导体线圈时；导线圈中就产生电流。这表明，电与磁之间存在着密切的联系。,麦克斯韦
4、深入研究并探讨了电与磁之间发生作用的问题，引进位移电流的概念，发展了场的概念。在此基础上提出了一套偏微分方程来表达电磁现象的基本规律，称为麦克斯韦方程组，是经典电磁学的基本方程。,3电磁场理论的应用和发展1887年，德国科学家赫兹用火花隙激励一个环状天线，用另一个带隙的环状天线接收，证实了麦克斯韦关于电磁波存在的预言。,无线电报 1895年，意大利马可尼成功地进行了 2.5公里距离的无线电报传送实验。马可尼以 其在无线电报等领域的成就，获得了1909年的诺 贝尔奖金物理学奖。无线电报的发明，开始了利用电磁波时期。有线电话 1876年,美国A.G.贝尔在美国建国 100周年博览会上展示了他所发明
5、 的有线电话。 此后,有线电话便迅速普及开来。,广播 1906年，美国费森登用50千赫频率发电机作发射机，用微音器接入天线实现调制，使大西洋航船上的报务员听到了他从波士顿播出的音乐。1919年，第一个定时播发 语言和音乐的无线电广播电台在英国建成。次年 ，在美国的匹兹堡城又建成一座无线电广播电台。电视 1884年，德国尼普科夫提出机械扫描电视的设想，1927年，英国贝尔德成功地用电话线路把图像从伦敦传至大西 洋中的船上。兹沃霄金在1923和1924年相继发明了摄像管和显像管。1931年，他组装成世界上 第一个全电子电视系统。,选 矿 器,硫酸盐矿,石英,含石英硫酸盐矿,阴极射线示波器,磁分离器
6、,回旋加速器,磁悬浮列车,此外，电磁兼容、军事、医疗等,主要参考书,【1】 郭辉萍等，电磁场与电磁波，西安电子科技大学出版社 【2】 马冰然，电磁场与微波技术（上册），华南理工大学出版社 【3】谢处方，电磁场与电磁波，高等教育出版社 【4】邹澎等，电磁场与电磁波，清华大学出版社 【5】毛均杰等，电磁场理论，国防科技大学出版社,第1章 矢量分析与场论,一、矢量和标量的定义,二、矢量的运算法则,三、矢量微分元：线元，面元，体元,四、标量场的梯度,六、矢量场的旋度,五、矢量场的散度,七、亥姆霍兹定理及重要的场论公式,一、矢量和标量的定义,1.标量：只有大小，没有方向的物理量。,矢量表示为：,所以：一
7、个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。,其中： 为矢量的模，表示该矢量的大小。为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。,2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。,如:力 、速度 、电场 等,如：温度 T、长度 L 等,例：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？,图示法：,力的图示法：,二、矢量的运算法则,1.加法: 矢量加法是矢量的几何和,服从平行四边形规则。,a.满足交换律：,b.满足结合律：,三个方向的单位矢量用 表示。,根据矢量加法运算：,所以：,在直角坐标系下的矢量的表示:,其中：,矢量：,.模的计算：,.单位矢量：,.方向角与方向余弦：,在直角坐标系中三个矢量加
8、法运算：,2.减法：换成加法运算,逆矢量： 和 的模相等，方向相反，互为逆矢量。,在直角坐标系中两矢量的减法运算：,3.乘法：,（1）标量与矢量的乘积：,（2）矢量与矢量乘积分两种定义,a. 标量积（点积）：,两矢量的点积含义：一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，其结果是一标量。,在直角坐标系中，已知三个坐标轴是相互正交的，即,有两矢量点积：,结论:两矢量点积等于对应分量的乘积之和。,推论1：满足交换律,推论2：满足分配律,推论3：当两个非零矢量点积为零,则这两个矢量必正交。,推论1：不服从交换律：,推论2：服从分配律：,推论3：不服从结合律：,推论4：当两个非零矢量叉积为零，则这
9、两个矢量必平行。,b.矢量积（叉积）：,含义：两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三者符合右手螺旋法则。,在直角坐标系中，两矢量的叉积运算如下：,两矢量的叉积又可表示为：,（3）三重积：,三个矢量相乘有以下几种形式：,矢量，标量与矢量相乘。,标量，标量三重积。,矢量，矢量三重积。,a. 标量三重积,法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。,定义：,含义： 标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。,注意：先后轮换次序。,推论：三个非零矢量共面的条件。,在直角坐标系中：,b.矢量三重积：,例1：,解：,则：,设,例2： 已知,求：确
10、定垂直于 、 所在平面的单位矢量。,三、矢量微分元：线元，面元，体元,例：,其中： 和 称为微分元。,1.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,2.圆柱坐标系,在圆柱坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,3.球坐标系,在球坐标系中，坐标变量为 ，如图，做一微分体元。,线元：,面元：,体元：,a. 在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为1，即：,b. 在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中 为角度，其对应的线元 ，可见拉梅系数为：,在球坐标系中，坐标变量为 ，其中 均为角度，其拉梅尔数为：,
11、注意：,每个坐标长度增量同各自坐标增量之比, 称为度量系数或,在正交曲线坐标系中，其坐标变量 不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元，面元和体元。,体元：,线元：,面元：,正交曲线坐标系：,四、标量场的梯度,1.标量场的等值面,可以看出：标量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。,以温度场为例：,热源,等温面,b.梯度,定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数，其方向为该点所在等值面的法线方向。,数学表达式：,2.标量场的梯度,a.方向导数：,空间变化率，称为方向导数。,为最大的方向导数。,标量场的场函数为,甲：每
12、米的温度变化为乙：每米的温度变化为丙：每米的温度变化为同一温度场中，其等温面沿不同方向的变化率不同。,方向性导数不同,计算：,在直角坐标系中：,所以：,梯度也可表示：,在柱坐标系中：,在球坐标系中：,在任意正交曲线坐标系中：,在不同的坐标系中，梯度的计算公式：,在直角坐标系中：,某二维标量场梯度,五、矢量场的散度,1. 矢线（场线）：,在矢量场中，若一条曲线上每一点的切线方向与场矢量在该点的方向重合，则该曲线成为矢线。,2. 通量：,定义：如果在该矢量场中取一曲面S，通过该曲面的矢线量称为通量。,表达式：,若曲面为闭合曲面：,讨论：,a. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿出闭合面的通量大于穿入曲
13、面的通量，意味着闭合面内存在正的通量源。,b. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量大于穿出的通量，那么必然有一些矢线在曲面内终止了，意味着闭合面内存在负源或称沟。,c. 如果闭合曲面上的总通量,说明穿入的通量等于穿出的通量。,3.散度：,a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。,b.表达式：,c.散度的计算：,在直角坐标系中，如图做一封闭曲面，该封闭曲面由六个平面组成。,矢量场 表示为：,在 x方向上：,计算穿过 和 面的通量为,因为：,则：,在 x 方向上的总通量：,在 z 方向上,穿过 和 面的总通量：,整个封闭曲面的总通量：,同理：在 y方向上,穿过 和 面的总通量：,该闭合
14、曲面所包围的体积：,通常散度表示为：,4.散度定理：,物理含义：穿过一封闭曲面的总通量等于矢量散度的体积分。,柱坐标系中：,球坐标系中：,正交曲线坐标系中：,直角坐标系中：,常用坐标系中，散度的计算公式,六、矢量场的旋度,1.环量：,在矢量场中，任意取一闭合曲线 ，将矢量沿该曲线积分称之为环量。,可见：环量的大小与环面的方向有关。,2.旋度:,定义：一矢量其大小等于某点最大环量密度，方向为该环的法线方向，那么该矢量称为该点矢量场的旋度。,表达式：,旋度计算：,以直角坐标系为例，一旋度矢量可表示为：,场矢量：,其中： 为x 方向的环量密度。,旋度可用符号表示：,其中：,可得：,同理：,所以：,旋
15、度公式：,为了便于记忆，将旋度的计算公式写成下列形式:,类似的，可以推导出在广义正交坐标系中旋度计算公式：,对于柱坐标，球坐标，已知其拉梅系数，代入公式即可写出旋度的计算公式。,3.斯托克斯定理：,物理含义：一个矢量场旋度的面积分等于该矢量沿此曲面周界的曲线积分。,方向相反 大小相等 结果抵消,亥姆霍兹定理的简化表述如下: 若矢量场F在无限空间中处处单值, 且其导数连续有界, 而源分布在有限区域中, 则矢量场由其散度和旋度唯一地确定。 并且, 它可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和, 即,七、 亥姆霍兹定理,矢量场的分类,根据矢量场的散度和旋度值是否为零进行分类：,1) 调和场,
16、若矢量场F在某区域V内，处处有：F=0和F=0 则在该区域V内，场F为调和场。,注意：不存在在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。,调和场，有源无旋场，无源有旋场，有源有旋场,2) 有源无旋场,如果 ，则称矢量场F为无旋场。无旋场F可以表示为另一个标量场的梯度，即,函数u称为无旋场F的标量位函数，简称标量位。,无旋场F沿闭合路径C的环量等于零，即,这一结论等价于无旋场的曲线积分 与路径无关，只与起点P和终点Q 有关。 标量位u的积分表达式：,由 ，有,3)无源有旋场,函数A称为无源场F的矢量位函数，简称矢量位。 无源场F通过任何闭合曲面S的通量等于零，即,4) 有源有旋场,一般的情况下，如
17、果在矢量场F的散度和旋度都不为零，即,如果 ，则称矢量场F为无源场。无源场F可以表示为另一个矢量场的旋度，即,可将矢量场F表示为一个无源场Fs和无旋场Fi 的叠加，即,其中Fs和Fi分别满足,于是,因而，可定义一个标量位函数u和矢量位函数A，使得,重要的场论公式,1. 两个零恒等式,任何标量场梯度的旋度恒为零。,任何矢量场的旋度的散度恒为零。,在圆柱坐标系中：,在球坐标系中：,在广义正交曲线坐标系中：,2. 拉普拉斯算子,在直角坐标系中：,3. 常用的矢量恒等式,基本要求,掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的几何意义 掌握矢量积、标量积的计算 了解矢量场散度的定
18、义，掌握其计算方法和物理意义；掌握散度定理的内容，并能熟练运用。 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。,了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积元的表示 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。,作业P1820,1.2 (2) (4) 1.4 1.5 1.15 (1) 1.16 (2) 1.17 (2) 1.19 1.23,第二章 静电场和恒定电场,Electrostatics:由静止的不随时间变化的电荷产生的电场。 2.1 电场强度
19、与电位函数 2.2 静电场的基本方程 2.3 电介质的极化与电通量密度 2.4 导体的电容 2.5 静电场的边界条件 2.6 恒定电场,选矿器,阴极射线示波器原理,2.1 电场强度与电位函数,2.1.1 库仑定律（Couloms Law）是静电现象的基本实验定律，表明固定在真空中相距为R的两点电荷q1与q2之间的作用力：正比于它们的电荷量的乘积；反比于它们之间距离的平方；作用力的方向沿两者间的连线；两点电荷同性为斥力，异性为吸力.,两个点电荷的相互作用,点电荷,点电荷：当电荷体体积非常小，可忽略其体积时，称为点电荷。点电荷可看作是电量q无限集中于一个几何点上。,电磁场的源量 Source of
20、 Electromagnetic field,电荷和电流是产生电磁场的源,2.1.2 电场,(1)点电荷的电场强度 设q为位于点S(x,y,z)处的点电荷，在其电场中点P(x,y,z)处引入试验电荷qt。根据库仑定律， qt受到的作用力为F，则该点处的电场强度（-electric Field Intensity）定义为,将观察点P称为场点，其位置用坐标(x, y, z)或r来表示，把点电荷所在的点S称为源点，其位置用坐标(x, y, z)或r来表示，源点到场点的距离矢量可表示为R=r-r。,直角坐标系中，其大小为又因为所以,当空间中同时有n个点电荷时，场点的电场等于各点电荷qi在该点产生的电场
21、强度的矢量和，即,(2)分布电荷的电场强度 假设电荷是集中在一个点上，从宏观的角度讲，电荷是连续的分布在一段线上、一个面上或一个体积内的。,分布电荷的电场强度,1、体电荷,体电荷：电荷连续分布在一定体积内形成的电荷体。,体电荷密度 的定义：,在电荷空间V内，任取体积元 ，其中电荷量为,视为点电荷，则它在场点P(r)处产生的电场为,体电荷产生的场,体积V内所有电荷在P(r)处所产生的总电场为,2、面电荷,面电荷：当电荷只存在于一个薄层上时，称电荷为面电荷。,面电荷密度 的定义：,在面电荷上，任取面积元 ，其中电荷量为,面电荷所产生的电场强度,3、线电荷,线电荷：当电荷只分布在一条细线上时，称电荷
22、为线电荷。,线电荷密度 的定义：,在线电荷上，任取线元 ，其中电荷量为,线电荷所产生的电场强度,例：有限长直线上均匀分布着线密度为l的线电荷，求线外一点的电场强度。,采用柱坐标，在直线上选一线元,其上的电荷,由它在场点产生的电场强度为,由于直线电荷具有轴对 称性，因此电场可分解为如下 两个分量：,由于直线无限长，则,结论：无限长线电荷产生的电场沿径向发散，这是由源的性质决定的,2.1.3 电位函数,定义 1.在静电场中，某点P处的电位定义为把单位正电荷从P点移到参考点Q的过程中静电力所作的功。若正试验电荷qt从P点移到Q点的过程中电场力作功为W，则P点处的电位为,当电荷不延伸到无穷远处时，一般
23、把电位参考点Q选在 无限远处，这将给电位的计算带来很大的方便。 此时，任意P点的电位为,点电荷产生的电位,电位与电场强度之间的关系,2.线电荷的电位表达式为3.面电荷的电位表达式为4.体电荷的电位表达式为,以下表达式的参考点选在无穷远处，若源延伸到，则重选，以表达式简捷、有意义为原则,2.1.4 电偶极子,1.电偶极子定义 相距很近的两个等值异号的电荷。 2.电偶极子产生的电位,3.电偶极矩矢量 大小:p=qd 方向:由负电荷指向正电荷,电偶极子产生的电场强度,2.2 静电场的基本方程,2.2.1 电通（量）和电通（量）密度把一个试验电荷qt放入电场中，让它自由移动，作用在此电荷上的静电力将使
24、它按一定的路线移动，称这个路线为力线（Line of Force）或通量线(Flux Line)。,1、电力线(electric line of force),电力线上各点的切线方向表 示电场中该点场强的方向,电力线的性质：,电力线不会中断。,电力线不会相交。（单值）,电力线不会形成闭合曲线， 它起始于正电荷(或处) 终止于负电荷(或处) 。,定义,2 电通量(Electric Flux),或场线(Field Line)表示电通量。 通过任一面元的电力线的条数称为通过这一面元的电通量。通常人为规定一个电荷产生的力线条数等于用库仑表示的电荷的大小,3.电通量的性质 与媒质无关 大小仅与发出电通量
25、的电荷有关 如果点电荷被包围在半径为R的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面 单位面积上的电通量，即电通密度，反比于R2,孤立正电荷的电通,4.电通密度D（电位移矢量）点电荷q在半径R处的电通密度为，D的单位为C/m2则穿过某个曲面 S的电通量定义为,面元 是矢量，或写成 方向的规定： 闭合曲面外法线方向(自内向外) 为正。 非闭合曲面的边界绕行方向与法向成右手螺旋法则,电场 是矢量，与面元的夹角为 通过面元 的电通量为：电通量是标量,电通量有正负，取决于场强与面元方向夹角 对于闭合曲面，为正时表明穿出该曲面， 反之为进入。,通过任一曲面S的电通量： 把该曲面分割成很多小元 求得每一个小面
26、元的电通量 求积分若是闭合曲面：,2.2.2 静电场的高斯定律Gauss theorem,数学表达式,二 证明：可用库仑定律和叠加原理证明。,（1） 证明包围点电荷 的同心球面 的电通量 等于,球面上各点的场强方向与其径向相同。 球面上各点的场强大小由库仑定律给出。,此结果与球面的半径无关。换句话说， 通过各球面的电力线总条数相等。从发出的电力线连续的延伸到无穷远。,（2） 证明包围点电荷 的任意闭合曲面 的电通量 等于,立体角solid angle,立体角,因为电力线不会中断（连续性），所以 通过闭合曲面 和 的电力线数目是相等的。,由于电力线的连续性可知， 穿入与穿出任一闭合曲面 的电通量
27、应该相等。所以 当闭合曲面无电荷时，电 通量为零。,（3） 证明不包围点电荷的任一闭合曲面 的电通量恒等于零。,（4）证明：多个点电荷的电通量等于它们单独存在时的 电通量的代数和。,利用场强叠加原理可证。,说明, 高斯定律中的场强 是由全部电荷产生的。, 通过闭合曲面的电通量只决定于它所包含的电荷，闭合曲面外的电荷对电通量无贡献。,高斯定律表示的是电场与场源电荷关系的客观规律。,三、利用高斯定律求静电场的分布,均匀带电球壳,均匀带电细棒,例一、均匀带电的球壳内外的场强分布。 设球壳半径为 R，所带总电量为 Q。,解：场源的对称性决定着场强分布的对称性。,它具有与场源同心的球对称性。固选同心球面
28、为高斯面。 场强的方向沿着径向，且在球面上的场强处处相等。,QK_1,高斯面,高斯面,当 高斯面内电荷为 0,当 高斯面内电荷为Q，所以,结果表明：,QK_1,均匀带电球壳外的场强 分布 正象球面上的电荷 都集中在球心时所形成 的点电荷在该区的场强 分布一样。在球面内的 场强均为零。,例二、均匀带电的球体内外的场强分布。 设球体半径为R，所带总带电为Q,解：它具有与场源同心的球对称性。 固选取同心的球面为高斯面。,空间任意存在正电荷密度的点都发出电通量线，若电荷密度为负值，电通量线指向电荷所在的点 电荷是静电场的发散源,四、高斯定律的微分形式,2.2.3 电场强度的环量,设电大强度为E，l为场
29、中任意闭合路径，电场强度沿闭合路径的积分称为电场强度的环量。根据斯托克斯定理有,静电场是无旋场或保守场,电介质：绝缘体，无自由电荷。,根据物质的分子结构，将电介质分成无极分子和有极分子两大类,1. 有极分子和无极分子电介质,有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。,负电荷中心,正电荷中心, 2.3 电介质及其极化,由于分子的热运动，不同电偶极子的偶极矩的方向是不规则的，因此就宏观来说，它们所有分子的等效电偶极矩的矢量和为零，因而对外不呈现电性。,有极分子正负电荷的中心不相重合而形成 一个电偶极子,在外加电场力的作用下，无极分子正、负电荷的作用中心不再重合，有极分子的电矩发生转向，这时它们
30、的等效电偶极矩的矢量和不再为零, 如图（b)所示。这种情况称为电介质的极化(Polarized)。,2. 电介质的极化,（1）无极分子的位移极化,（2）有极分子的取向极化,无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合。,束缚电荷理想的电介质（Ideal Dielectric）内部没有自由电子，它的所有带电粒子受很强的内部约束力束缚着，因此称为束缚电荷(Bound Charge)。,束缚电荷产生的场,极化后介质中的合成电场小于外加电场,极化前不呈现电性,束缚面电荷,3. 电极化强度矢量,（1） 电极化强度矢量,单位体积内分子电矩的矢量和。,（2） 空间任一点总电场,总电场,外电场,束缚电荷电场,（
31、3）电极化强度与总电场的关系,极化率,（4）极化率与相对介电常数的关系,4、极化介质所产生的位,极化介质内取一微小体积元dV，dV内电偶极矩为dp=PdV ，电偶极矩dp在P点产生的电位相当于一个电偶极子产生的电位，其表达式为考虑到 ，则有利用矢量恒等式,因此，整个极化电介质在P点所产生的电位表达式为说明:极化介质在P点产生的电位是两项的代数和。定义 为束缚面电荷密度， 为束缚体电荷密度， 于是可得,束缚电荷密度的产生是由于无极分子电荷对的分离和有极分子电偶极矩的有序排列。如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场E是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即,5、电介质中的电场
32、与电通量密度,本构方程,6、任意介质中的静电场方程,2.4 导体的电容,在很多情况下，电荷分布在导体上或导体系统中，因此导体是储存电荷的容器。储存电荷的容器称为电容器(Capacitor)。实际上，相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体都可构成电容器。,任意形状导体构成的电容,一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体的电位之比定义为电容，其表达式为其中 C为电容，单位为F；Qa表示导体a的电荷，单位为C ；Uab表示导体a相对于导体b的电位，单位为V。上式为由两个平板导体构成的电容器的电容。,1 电容的表达形式,2 平行双导线电容的表达形式,设平行双导线中每根导线的直径为d，双导线间的距离为D，
33、其间充填有介质。设平行双导线间的电压为U，单位长度的电荷为l，则双导线间的电场强度为,将上式积分即得双导线间的电压:根据电容的定义得平行双导线单位长度的电容为,同轴线,3 同轴线电容的表达形式,4、 四导体系统的电容,2.5 静电场的边界条件,1、 电通量密度D的法向分量在介电常数分别为1与2的媒质1与媒质2的分界面上作一个小的柱形闭合面，分界面的法线方向n由媒质2指向媒质1。因柱形面上、下底面积S很小，故穿过截面S的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h0，则其侧面积可以忽略不计。,电通量密度的边界条件,设分界面上存在的自由面电荷密度为s，根据高斯定理有或 用电位函数表示的边界条件 分界面在
34、两种理想电介质之间 当分界面在两种不同介质之间时，若非特意放置，分界面上一般不存在自由面电荷，此时，穿过介质分界面的电通量密度的法向分量是连续的 分界面在理想电介质1与导体2之间,2 电场强度E的切向分量,静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda。其中ab和cd的长度为l，ab的方向为at，闭合路径所包围的矩形平面的方向为s，bc和da的长度为h，,电场强度的边界条件,分界面的法线方向为n，由媒质2指向媒质1， s为闭合路径的法线方向，at为分界面的切线方向。当h0时bc和da对积分 的贡献可忽略不计，因此有即 或,3 分界面上电场的方向,设分界面两侧的电场与法线
35、n的夹角分别为1和2，则整理得，边界条件是场方程在媒质分界面上的一种表现形式。 只有满足基本方程，且满足边界条件的场矢量才是静电场问题的解。 例2-5，例2-6 P38、39 自学, 2.6 恒定电流的电场,分类：传导电流与运流电流,传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。,运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。,运动的电荷形成电流。电流大小用电流强度I描述。,电流强度I的定义：,设在 时间内通过某曲面S的电量为 ，则定义通过曲面S的电流为：,电流强度的物理意义：单位时间内流过曲面S的电荷量。,恒定电流：电流大小恒定不变。即：,一、电流
36、与电流密度 Electronic current(density),引入电流密度矢量 描述空间电流分布状态。,1、（ 体）电流密度,设垂直通过S 的电流为I，则该点处的电流密度 为,体电流：电荷在一定体积空间内流动所形成的电流,体电流密度 Volume Electronic current density,或者：体电流密度 定义：,设正电荷沿 方向流动，则在垂直方向上取一面元 ，若在 时 间内穿过面元的电荷量为 ，则：,为空间中体电荷密度， 为正电荷流动速度。,也适用于运流电流,载流导体内每一点都有一个电流密度，构成一个矢量场，称这一矢量场为电流场。电流场的矢量线叫做电流线。,通过面积 S 的
37、电流等于电流密度在 S 上的通量,体电流密度 与流过任意面积S的电流强度 I 的关系：,2、（ 面）电流密度 Surface Electronic current density,设垂直通过L 的电流为I，则该点处的电流密度 为,当电荷只在一个薄层内流动时，形成的电流为面电流。,面电流密度,或者：,电流在曲面S上流动，在垂直于电流方向取一线元 ，若通过线元的电流为 ，则定义,1） 的方向为电流方向（即正电荷运动方向）,讨论：,2）若表面上电荷密度为 ，且电荷沿某方向以速度 运动，则可推得此时面电流密度为：,注意：体电流与面电流是两个独立概念，并非有体电流就有面电流。,3、线电流与电流元,电荷只
38、在一条线上运动时，形成的电流即为线电流。,电流元 ：长度为无限小的线电流元。,二、 恒定电场的基本方程1电流连续性方程,在电流场中有一闭合曲面S，由电荷守恒定律,电流连续性方程,要该积分对任意的体积V均成立，必须有被积函数为零,电流连续性方程微分形式,电流连续性方程积分形式,恒定电场的电流连续性方程,欧姆定律的微分形式 电功率密度,一段载流I导体，端电压为U，电阻为R，由欧姆定律,欧姆定律微分形式,电导率为无限大的导体称为理想导电体。在理想导电体中，无需电场推动即可形成电流，所以在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。但是，任何能量总是有限的。,
39、电导率为零的媒质，不具有导电能力，这种媒质称为理想介质。理想介质内无电流存在。,电导率不为零的媒质，具有导电能力，这种媒质称为导电介质。,表 常用材料的电导率,按电导率 对介质的分类,理想导体 理想介质（绝缘介质） 导电媒质,与介质的极化特性一样，媒质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。上述公式仅适用于各向同性的线性媒质。,焦耳定律 电功率密度,当导体两端的电压为U，流过的电流为I时，则在单位时间内电场力对电荷所作的功电功率,在导体中，沿电流线方向取一长度为L、截面为S的体积元，该体积元内消耗的功率为,载流导体内任一点的热功率密度为
40、,焦耳定律不适应于运流电流。因为对于运流电流而言，电场力对电荷所作的功转变为电荷的动能，而不是转变为电荷与晶格碰撞的热能。,焦耳定律的微分形式,恒定电流场的基本方程 电位方程,载流导电媒质中恒定电场的基本方程（不包括电源）,积分形式,微分形式,本构关系,电位及电位方程,对于均匀的导电媒质,恒定电场的电位满足拉普拉斯方程,三、接地电阻,1 定义 所谓接地，就是将金属导体埋入地内，而将设备中需要接地的部分与该导体连接，称埋在地内的导体或导体系统称为接地体或接地电极。 电流由电极流向大地时所遇到的电阻称为接地电阻。当远离电极时，电流流过的面积很大，而在接地电极附近，电流流过的面积很小，或者说电极附近
41、电流密度最大。,2 接地电阻图示 接地电阻主要集中在 电极附近。,3 接地电阻及跨步电压 设经引线由O点流入半球形电极的电流为I，则距球心为r处的地中任一点的电流密度为电场强度为由于电流沿径向一直流出去，直至无穷远处，电流在大地中的电压为,得接地电阻为,例2-7 P43-43 自学,2 导电回路的总功率 电流是静电力与非静电力共同作用的结果，于是，包含电源的欧姆定律的微分形式为即含电源的闭合回路中的总电场为 ，若回路中有恒定电流I且是均匀分布的，则相应的总功率为,四、 电动势,1 导电回路中的电场 电场是驱使电荷运动不可缺少的。以金属为例，金属中质量较大的正离子，在晶格(Crystal Lat
42、tice)中的正常位置是相对固定的，无助于形成电流。因此金属中的电流是自由电子在电场作用下逆电场方向运动形成的（等效为正电荷沿电场方向运动）。,回路中的电动势,五、 恒定电流场的边界条件,由积分形式,可得恒定电流场中不同导电媒质分界面的边界条件,即,恒定电流场的边界条件为,恒定电流场中不同导电媒质分界面两侧的电场强度切向分量连续，但其法向分量不连续；而电流密度的法向分量连续，但其切向分量不连续。,在恒定电场中， 分界面处用电位表示的边界条件为,应用边界条件，可得分界面处的折射定理,1）理想介质与良导体,可知E2不垂直导体表面, 导体表面不是等位面, 导体也不是等位体, 这是由于1有限, 导体中
43、沿电流方向存在电场。而在静电场中, 导体内电场强度为零, 介质中的场强总是垂直导体表面, 导体是等位体, 其表面是等位面。在这一点, 恒定电场与静电场有根本的区别。由上知，在均匀导体内电流沿平行于导体表面流动。,2）载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在,即，载恒定电流的均匀导电媒质内部无（体）电荷存在，电荷分布在载流导体的表面。,3）有电流流过两种导电媒质分界面时界面的电荷,当恒定电流通过电导率不同的两导电媒质时,其电流密度和电场强度要发生突变。故分界面上必有电荷分布。,分界面上的面电荷密度,当 时， 分界面上的面电荷密度为零。,可见,在两种导电媒质分界面上一般有一层自由电荷分布。如果
44、导电媒质不均匀, 在媒质中还会有体电荷的存在。,六、 恒定电流场与静电场的比拟,物理量的对偶关系,静电场恒定电场,对偶原理如果描述两种物理现象的方程具有相同的数学形式，并具有对应的边界条件，那么它们解的数学形式也将是相同的，这就是对偶原理，亦称为二重性原理。具有同样数学形式的两个方程称为对偶方程，在对偶方程中，处于同等地位的量称为对偶量。,例2-8 P46 自学,小结,理解并掌握库仑定律 理解场的叠加原理，会计算点电荷、连续分布电荷的电场强度 理解电位概念，掌握电位与电场强度的关系，会计算点电荷系统和规则连续分布电荷系统的电位 掌握静电场的基本性质和基本方程 熟练运用高斯定律求解静电场问题 了
45、解电介质极化的物理过程，会计算极化强度、极化电荷 理解电容概念，会计算电容,掌握不同介质分界面上场的边界条件 理解恒定电场概念、电流密度概念 掌握电流连续性原理的积分和微分形式，掌握欧姆定律、焦耳定律的微分形式 理解接地电阻的概念，并会计算 掌握导电媒质中恒定电场的基本方程，理解恒定电场与静电场的对比,作业P4749,2.2 2.6 2.9 2.10 2.14 2.16 2.17 2.18,给定边界条件下求有界空间的静电场和电源外恒定电场的问题，称之为边界值问题。,第3章 边值问题的解法,3.1边值问题的提法(分类) 3.1.1边值问题的分类 1 狄利克雷问题：给定整个场域边界面S上各点电位的
46、（函数）值2 聂曼问题：给定待求位函数在边界面上的法向导数值 3 混合边值问题：给定边界上的位函数及其法向导数的线性组合另外，若场域在无限远处，电荷分布在有限区域，则有自然边界条件若边界面是导体，边界条件转变为已知一部分导体表面的电位或另一部分导体表面的电荷量。,3.1.2 泊松方程和拉普拉斯方程,1 泊松方程(Poissons Equation) 在线性、 各向同性、 均匀的电介质中，称之为静电场的泊松方程，它表示求解区域的电位分布取决于当地的电荷分布。 2 拉普拉斯方程(Laplaces Equation)电荷分布在导体表面的静电场问题，在感兴趣的区域内多数点的体电荷密度等于零，即V=0，
47、因而有 2=0 称为拉普拉斯方程。,3.2 唯一性定理,1 定理内容在静电场中，每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。 2 证明过程利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解是唯一的。 考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第一定理,整理，因为，所以， 设在给定边界上的电位时，拉普拉斯方程有1和2两个解，由于拉普拉斯方程是线性的，两个解的差=1-2也满足方程,在边界S上，电位 所以在边界S上的值为 则得,3.1.3 静电场边界值问题的间接解法,例1: 已知无限长同轴电缆内、外半径分别为 和 ，如图所 示，电缆中填充均匀介质，内外导体间的电位
48、差为 ，外导体接地。求其间各点的电位和电场强度。,解：根据轴对称的特点和无限长的假设，可确定电位函数满足一维拉普拉斯方程，采用圆柱坐标系,积分,由边界条件,则：,3.3 镜像法,理论依据：惟一性定理是镜像法的理论依据。镜像法概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。,应注意的问题： 镜像电荷位于待求场域边界之外。 将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。 实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界处的边界条件不变。,
