1、 - 1 - 第一讲 守恒律方程及其应用 红绿灯下的交通流问题 1、守恒律 2、 双曲守恒律方程及基础知识 3、交通流模型 4、红绿灯下的交通流问题 第一章 守恒律 对于一维空间变量的偏微分方程 0)( xt ufu （ *） 称为守恒型方程，其中 )u,( n21 uuu 是关于 t 和 x 的 n 维矢量函数，称为守 恒量，或状态量，如流体力学中的质量、速度和能量等更精确点就是iu是第 i 个状态变量的密度函数 dxtxuxx i ),(21表示该状态量在区间 21,xx 中 t时 刻 的 总 量 我 们 称 这 个 状 态 变 量 是 守 恒 的 是 指 dxtxuxx i21 ),(关
2、于 t 是不变的 )(),(),()(21 nufufufuf 称为流函数 该守恒方程是由物理定律在任意两点1x和2x之间如下形式的积分得到的 ),(),(),( 2121 txuftxufdxtxudtd xx 表示在区间 21,xx 中的总流量（如质量、动量、能量等）的变化仅仅与两端点处的流量有关，这就是守恒的基础，其中)( ,1 txuf 和 )( ,2 txuf 分别表示在 1x 和 2x 点的流入流出量 例如： （状态方程）（能量守恒）（动量守恒）（质量守恒）),(,0)()(,0)()(,0)(SfpupuEEpuuuuttt其中 Sepu ,， 分别为理想流体的密度、速度、压强、
3、内能和比熵， euE 2|21， ),(zyx ， 是张量积 第二章 双曲 守恒律 方程 及基础知识 2.1 间断现象 方 程 0)( xt ufu（ *） 的特征 方程为 0)(dtduudtdx （ 2.1） - 2 - 其中 )()( ufu . 明显 地可以看出， 方程的解是 ),( utx 空间 内的直线， 其 平行于 ),( tx 平面 ， 且 其值由 特征线 所决定 为简单起见 ， 特征线在 ),( tx 平面上的 投影 仍 称为 特征 设 0)( u ， 称其为凸性条件，则 方程（ *） 被称为 凸方程这个问题中映射 )(uu 是一一对应的，并且 方程在 ),( utx 空间
4、中 的解 曲面 与 ),( tx 平面的特征域具有相同的一一对应关系 可以证明当且仅当方程在 ),( tx 平面上的特征域是单值连续变化时，方程的 解 ),( txu 是单值连续的 为简 单起见， 设 0)( u . （ 2.2） 对于标量 u 考察初值问题 )()0,(0 xxuxu（ 2.3） 并且 求 解 0t 时方程（ *） /(2.3)的解很明显， 从特征域出发并且由 初始条件（ 2.3） 所 决定 的特征线 ， 在 0t 的半内是单值连续变化的，当且仅当 )(0 xu是非减函数 .并 且 解的 这种非减的性质不随 t 变化 ，即 当连续 函数 )()0,(0 xuxu 是非减的，
5、则函数 ),( txu 对任意 0t 也 是非减的这样的解 ),( txu 称为 稀疏波 ，用 R 表示 图 2-1 )(0 xu是非减的 当 )(0 xu是减函数时，例如，存在 1x 、 2x 点，有 )()(20)(0 1 xufuf x 那么始于 )0,( 1x 和 )0,( 2x 的特征线在 p 点相交（ 0t ），在 p 点解是超定的因为不同的特征线相交，每一个特征线代表不同的 u 值，很容易得到解是不连续的这种 解的 不连续 问题对应于力学中 的激波 现象 - 3 - 图 2-2 )(0 xu是非增的 上述结论与 f 和 )(0 xu是否光滑无关，无论初始条件多么光滑，都会出现不连
6、续解这是拟线性双曲 方程最重要的特征，也是与线性双曲方程最根本的不同 定理 2.1.1 假设 )(uf 是定义在 RI 上的一条光滑的函数，并且满足凸性条件那么 对于 0t ，当且仅当 )(0 xu是非减函数则初值问题 （ *） /（ 2.3）的 解是 一个连续单值解 引理 2.1.2 在定理（ 2.1.1）的假设条件下， 对于 0t ， 当 )(0 xu是减函数 时 ， 间断解 )(xu 总会出现 2.2 黎曼问题 研究 黎曼问题， 也就是 （ *）带有初值条件 )()0,(0 xuxu =_uu 00xx （ 2.4） 的简单柯西问题， 其中 u 是区间 I 上的已知常数 方程（ *）和初
7、值条件（ 2.4）对 坐标 的一致扩 张 xx tt （ 0 ）是不变的 由此 得到，如果解是唯一的，那么（ *） /（ 2.4）的解只与tx有关也就是说有 )(uu tx使得 uududfddu)(0)( ).().(6252 成立 . （ 2.5）的任意 光滑 解都满足 0)( dduuf 可得 方程的 通解 为 0ddu， i.e. u =常数， 力学 术语 称其为 常状态，或者 有 奇异解 )(u . （ 2.7） 由于凸性条件（ 2.2），单值连续增函数 )(uu 可 由 （ 2.7） 定义 . 对 uu 问题（ *） /（ 2.4）的解可定义成如下形式： uuuuu )( )()(
8、)()(uuuu（ 2.8） 这叫做 中心疏散波 ，用 R 表示 (见图 ) - 4 - 图 2-3 图 2-4 但是，对于上述 uu 时这类函数是无解的 现在我们来考 查分片光 滑 函数在 处 ， 间断的函数 在广义积分下 0)( dd udfddu 成立，则 )(u 称为（ *） /（ 2.4）的一个弱解 利用 分部积分并且令 0 时得到 )(ufu （ 2.9） 其中 )0()0( uuu ， )0()0( ufuff 在力学数学 语中（ 2.9）称为 Rankine-Hugoniot 约束条件，简称 Rankine-Hugoniot 关系，它代表间断线的切线斜率 与它对应的跳跃值之间的
9、关系 我们得到的间断解称为 激波 （见图） . x t t u )( uufut ut ut ut 图 2-5 - 5 - 第三章 交通流模型 各种类型的汽车一辆接着一辆沿公路飞驶而过，其情景就像在湍急的江河中奔腾的水流一样在这种情况下 我们 不去分析每辆汽车的运动规律，而是把车队看作连续的流体，称为 交通流 或 车流 研究每一时刻通过公路上每一点的交 通流的 流量 、 速度 和 密度 等变量间的关系，特别是在出现譬如红绿灯改变、交通事故等干扰的情况下交通流的变化过程，下面建立交通流的模型对其进行分析 3.1交通流模型 研究对象是在无穷长公路上沿单向运动的一条车流假定不允许超车，公路上也没有岔
10、路，即汽车不会从其它通道进入公路或从公路驶出 在公路上选定一个坐标 原点 ，记作 0x 以车流运动方向作为 x 轴的正向，于是公路上任一点 可 用坐标 x 表示对于每一时刻 t 和每一点 x ，引入 下面三个 基本函数： 流量 ),( txq ：时刻 t 单位时间内通过点 x 的车辆数； 密度 ),( tx ：时刻 t 点 x 处单位长度内的车辆数； 速度 ),( txu ：时刻 t 通过点 x 的车流速度 将交通流视为一维流体场，这些函数完全可以类比作流体的流量、密度和速度 注意 ： 这里速度 ),( txu ，不表示固定的哪一辆汽车的速度 这三 个基本函数之间存在着密切关系首先可以知道，单
11、位时间内通过的车辆数等于单位长度内的车辆数与车流速度的乘积 即 ),(),(),( txtxutxq （ 3.1） 其次，经验告诉我们，车流速度 u 总是随着车流密度 的增加而减小的当一辆汽车前面没有车辆时，它将以最大速度行驶，可描述为 0 时muu(最大值 )；当车队首尾相接造成堵塞时，车辆无法前进，可记为m(最大值 )时0u 显然在这两种极端情况下的车流量 0q 进一步观察可以发现，当 较小时随着 的增加 q 也会增长；但当 较大时， q 将随着 的增加而减小同理，当 u 较小时随着 u 的增加 q 也会增长；但当 u 较大时， q 将随着 u 的增加而减小综上分析，流量 q 与密度 之间
12、的关系可表为图 3-1 的形式（流量 q 与速度 u 之- 6 - 图 ） 图 3-1 流量 q 与密度 的关系 在交通流模型中流量和密度的关系常用以下的二次函数表述 )1(mmuq （ 3.2） 显然2* m 时 ，由 （ 3.2） 可以看出流量 取得最大值 应该指出 (3.2)式是在平衡状态下 、 u 和 q 之间的关系，即假定所有车辆的速度相同，公路上各处的车流密度相同 3.2 连续交通流问题 3.2.1 连续交通流问题的疏散波解 对于正常运动的交通流，可以假定流量 ),( txq 密度 ),( tx 和速度 ),( txu 都是 x 和 t 的连续可微函数，并满足解析运算所需要的性质下
13、面根 据守恒原理推导这些函数满足的方程 考察 x 轴 的任意区间 ba, 和任意时刻 t ，单位时间内通过 a 、 b 点的流量分别为 ),( taq 和 ),( tbq 因为时刻 t 在区间 ba, 内的车辆数为 dxtxba ),(，其变化率为 dxtxdtd ba ),(在公路没有岔路的假定下区间 ba, 内的车辆数守恒，于是 ),(),( tbqtaq dxtxdtd ba ),(（ 3.3） 这是交通流方程的积分形式，它并不需要函数对 x 的连续性 在关于 q 和 的解析性质的假定下， ),(),( tbqtaq dxtxqxba ),( , dxtxdtd ba ),( = dxt
14、xqxba ),( 所以（ 3.3）式化为 0)( dxxqtba （ 3.4） - 7 - 由于区间 ba, 是任意的，故 0 xqt（ 3.5）这就是连续交通流方程当把 q 表示为 的已知函数 )(qq 时（如（ 3.2）式）导数ddq也是已知函数，记为 )( ，于是按照求导法则有 xddqxq )( x 这样，方程（ 3.5）可以写成： )()0,(,0,0)(xfxxtddqxt ）（ （ 3.6） 其中 )(xf 是初始密度方程（ 3.6）的解 ),( tx 描述了任意时刻公路上各处的车流分布状况，再由 )(q 即可得到流量函数 ),( txq （ 3.6）式是一阶拟线性偏微分方程，
15、可用特征方程和首次积分法求解如下 : 由首次积分，与方 程（ 3.6）的同解方程为 ,0)(1 ddxdt （ 3.7） 即 0dtd , 且 )(dtdx ， 则 0)()( xttx , 0)0( xx 即 00 )()( xtxftx （ 3.8） 容易验证 （ 3.8）满足方程（ 3.6） 实际上 对 ),( ttx 求关于 t 的全导数 有 0 dtdxxt （ 3.9） 再将（ 3.7） )(dtdx代入（ 3.9） 就是方程（ 3.6）至于（ 3.7）（ 3.8）满足初始条件 )()0,( xfx 则是显然的 3.2.2 交通流的特征线 上面方程（ 3.6）的解（ 3.7）（ 3
16、.8）两式 有着明显的 几何 意义，在 tx 平面上（ 3.8）表示一族直线（图 3-2），它与 x 轴- 8 - 的交点是坐标是0x，斜率为)( 1 0xfk （ t 对 x 的斜率），当函数 、 f 给定后， k 随0x改变，这族直线称为方程的特征线（ 3.7）式表明，沿每一条特征线 )(txx 车流密度 ),( tx 是常数 )(0xf，当然在不同的特征线上),( tx 随 0x 不同而不同 图 3-2 方程（ 3-6）的特征线 这样，从形式上看当流量函数 )(q 和初始密度 )(xf 给定后，（ 3.7）（ 3.8）就完全确定了方程（ 3.6）的解，但是下面将会看到，由于初始密度 )(
17、xf 不同可以导致两种截然不同结果 设 )(q 如（ 3.2）式表出，则 )21()(mmuddq （ 3.10） )( 是减函数，当 2* m 时 0*)( ，对于 *1 0)( 1 ，对于 *2 ，0)( 2 （ 见 图 3-3） 图 3-3 )( 的图形 如果初始密度 )(xf 是 x 的减函数，如图 3-4 所示，即沿车辆行驶的 x 轴正向，前面的密度小，后面的密度大，则特征线的形状如图 3-5在密度 * 的 *x 点（即 *)( xf ），因为 0*)( xf ，从 *x 出发的特征线的斜率 )( 1*)(0xfxk ，所以这条特征线垂直于 x 轴对于 *1 xx ， *)( 11
18、xf ，因为- 9 - 0)( 1 ， 0)( 1)( 11 xk，所以从 1x 出发的特征线的斜率方向如图 3-5 所示；对于 *2 xx ，*)( 22 xf ，因为 0)( 2 ， 0)( 2 xk ，所以从 2x 出发的特征线向相反 的方向倾斜这种情况下（ 3.7）（ 3.8）的确是方程（ 3.6）的解 图 3-4 初始密度 图 3-5 特征线 但是如果初始密度 )(xf 是 x 的增函数，如图 3-6，前面密度大，后面密度小，则用类似于上面的分析方法可知，特征线的形状如图 3-7 所示，它们必然相交我们知道，在任一条特征线上密度 ),( tx 等于该线与 x 轴交点处的初始密度，那么
19、当如图所示从 1x 和 1x 两点出发的特征线相交于 ),( txp 点时， p 点的密度 ),( tx 将既等于 )( 1xf 又等于)( 1xf 当 )( 1xf )( 1xf 时这个结果显然是荒谬的 图 3-6 初始密度 图 3-7 特征线相交 从实际现象分析为什么会得到这个错误的结果与图 3-4 给出的初始密度 )(xf 不同，图 3-6 的 )(xf 表示前面的车辆拥挤，后面的车辆稀疏，于是后面的车速比前面的大当速度快的汽车追上速度慢的汽车又不允许超车时，它的速度就会突然降下来，并且引起在它后面的汽车的连锁反应，一辆一辆地突然减速车流速度 ),( txu 的突变像水波一样向后传播，我
20、们在日常生活中可以观察到这种现象速度的突变必然导致密度 ),( tx 和流量 ),( txq 的突变，这意味着函数 ),( tx 和),( txq 在某些 ),( tx 处出现了间断这种情况下不能再假定这些函数是连续可微的，因而不能再用微分方程（ 3.6）描述车流的分布，方程（ 3.7）（ 3.8）也没有意义了 3.2.3 连续流问题的间断解 当密度函数 ),( tx 出现间断时，具有实际意义的也是常见的一种情况，一连串的间断点 ),( tx 在 tx 平面上构成一- 10 - 条孤立的间断的间断线，记做 )(txx 图 3-7 引出的间断就是这种情况下面推导间断线 )(txxs应满足的方程时
21、，还假设它是可微的 在任意时刻 t ， )(txxs在 x 轴上是孤立的，可以取区间 ba, ，使 btxas )(在 ba, 内交通流的方程的积分的形式（ 3.4）仍然成立将 ba, 分为两个区间 )(, txas和 btxs ),(，在每个区间内 ),( tx 是连续可微的，于是有 dtdxttxdxtdtdxttxdxtdxtxdxtxdtdtbqtaqssbtxsstxatxabtxssss),(),(),(),(),(),()()()()( （ 3.11） 其中 )(txs和 )(txs分别表示从小于和大于 )(txs一侧趋向 )(txs时的极限值在这种趋势下 ),( tx 和 ),
22、( txq 的极限记作 )( , ts tx )( , ts tx )( , ts txqq )( , ts txqq （ 3.12） 和 q 在间断点 sx 处的跳跃值记作 qqq （ 3.13） 如 图 3-8 所示 图 3-8 ),( tx 在 )(txs处间断 当 )(txas， )(txbs时（ 3.11）式中的 0)( dxttxa s 0)( dxtbtx s 利用（ 3.12）、（ 3.13）式的记号立即得到 dtdxq s ， 或者 qdtdxs （ 3.14） 这就是间断线 )(txxs应满足的方程，其中 和 q 可以用连续的交通流方程解得的 和 q 在间断点处的极限值算出
23、 - 11 - 第四章 红绿灯下的交通流问题 为了方便起见设交通信号灯置于 0x 处若原来公路上的交通处于稳定状态，即初始密度 )(xf 是常数某时刻交通灯突然变红，于是交通灯前面（ 0x ）的车辆继续行驶，而后面（ 0x ）的车辆则一辆辆的堵塞起来经过一段时间后交通灯变绿，被堵塞的车辆得以快速的向前行驶此模型主要研究这一过程中车流密度和速度的变化，红绿灯亮后被堵塞的车辆多长时间才能追上远离的车队，多长时间堵塞状态才会消失，多长时间交通会恢复正常等问题 红绿灯的变化必然引起密度函数 ),( tx 和速度 函数 ),( txu 的间断，下面用方程（ 3.14）研究间断线的变化规律，而在),( t
24、x 和 ),( txu 的连续点处仍用（ 3.7）（ 3.8）式进行分析 设 0t 时交通灯突然由绿变红， t 时又由红变绿下面依时间顺序用图形结合公式计算的方法讨论 ),( tx 的演变过程并回答上面的“何时追上车队”、“何时 堵塞消失”等问题 1、 0t 时设0)()0,( xfx（常数），见图（ 4-1） 为确定起见不妨设 定 *0 ， 即初始 密度小于使流量达到最大的 * ，这种交通流称为稀疏流 2、 t0 红灯亮在红灯后面（ 0x ）车辆堵塞导致最大密度m，与初始 密度0形成间断，这条左间断线记作 )(txxsl，表示堵塞的车队尾部随时间向后（左）延伸的过程，红灯前面（ 0x ）的车
25、辆继续行驶，空出的路段导致 0 （ 此时车辆速度达到最大muu） 与0形成间断，这条右间断线记作 )(txxsr，表示远离的车队尾部向前 （右）延伸的过程，见图（ 4-2）， )( txsl和 )(txsr由方程（ 3.14）确定而流量 )(q 的计算由 (3.2)式给出 对于 0 m, mmmm uqqq )()()( 000 于是 0)0(0slmmslxudtdx 其解为 tutxmmsl 0)( . （ 4.1） 对 于 )(txxsr, 0 , mmmuq )( 00 , 0)0()( 0srmmmsrxudtdx- 12 - tutxmmmsr )0()( （ 4.2） 因为2*0
26、 m 由（ 4.1）（ 4.2）可知 )(txsr向前的速度比 )(txsl向后的速度大 3、 t 时绿灯亮，被阻止在 0x 处的车队开始向前行驶（图 4-3） 4、 t ，见图（ 4-4）用 )(1 tx 表示堵塞车队行驶时最前面那辆车的位置，即由 0 变为 0 那一点的位置；用 )(2 tx 表示堵塞车队行驶时最后面那辆车的位置，即由m变为m那一点的位置将时间坐标轴平移为tt ，初始密度 ( 0 t )可记作 00)( mxf srslsrslxxxxxxxx,00对于srxx 00，由（ 3.10）式可得muxf )( 0，在特征线0 xtux m 上，密度 0),( tx ，令00x
27、，我们得到 1 )( tutx m 或 )()(1 tutx m （ 4.3） 其实因为前面的那辆车能以最大的速度mu行驶（ 0 时muu）（ 4.3）式立即可写出 类似的，对于 00 xx sl时 ,由（ 3.10）得 muxf )( 0， )()(2 tutx m（ 4.4） 而对于 )()( 12 txxtx ，利用（ 3.7）（ 3.8）可知 )( tx 再注意到 )( 的表达式（ 3.10），我们得到 )(21( tuxmm（ 4.5） 即 )(1(2),( tu xtxmm， )()( 12 txxtx （ 4.6） ),( tx 对 x 是线性的，且 2),0( mt ，所以图中
28、用直线表示实际上，在 )(1 tx 和 )(2 tx 之间的那些车辆，是一辆辆的逐渐动起来的，由于初始速度是均匀的， )(1 tx 和 )(2 tx 又是 线性的，所以 ),( tx 与 x 之间的线性关系是可以预料的 5、dtt时堵塞消失，见图（ 4-5）由于 )(1 tx 、 )(2 tx 向前向后的移动速度都是mu， )(txsl向后的速度为mmu0，)(txsr 向前的速度为mmmu )( 0在2*0 m 的假定下不难知道， )(2 tx 会首先赶上 )(txsl，记这个时刻为dt，在（ 4.1）（ 4.4）式中令 )()(2 ddsl txtx ，即dmmdm tutu 0)( 可解
29、得 - 13 - 0mmdt（ 4.7） 显然，dt是堵塞消失的时刻 6、utt时追上车队，见图（ 4-6）当 )(1 tx 赶上 )(txsr时，堵塞车队的最前面那辆车追上远离的车队，记这个时刻为ut，在（ 4.2）（ 4.3）式中令 )()(1 uusr txtx ，可计算出 0uuutmmu （ 4.8） 7、utt，见图（ 4-7） )( txsl和 )(txsr继续移动，而 ),( tx 的跳跃值逐渐减小下面分析 )(txsl的变化规律 )(txsl满足间断交通流方程（ 3.14），其中 由 （ 4.6） )(1(2 tuxmslm来确定，而0 ，由（ 3.2）式计算出 )( qq
30、， )( qq 可得 mmm slslutuxqdtdx 0212)(2（ 4.9） 方程（ 4.9）的定解条件是 )()( dmdsl tutx（ 4.10） 其中 0mmdt给出 . 其通解为 ,)()(21()( 2110 tBtutxmmsl（ 4.11） 0)(1(2 210001 mmmuB （ 4.12） 对（ 4.11）求导可得 ,)()21()( 2110 tBudt tdxmmsl 当 t 足够大时，必有 )21(|)(| 0211mmutB （ 4.13） 这时 - 14 - 0)21(lim momslt udtdx （ 4.14） 所以一定存在某个时刻 ，使 )(tx
31、sl由dtt时的向后移动（因为 0| dttsldtdx）变成向前移动 .同理可得 0)21(lim momsrt udtdx （ 4.15） 这说明当 t 足够大时，间断线 )(txxsl和 )(txxsr移动的速度是一样的，它们不会再相交而形成新的间断 8、 *tt 时 0x 处交通恢复，见图（ 4-8） )( txsl向前移动确定 0x 点的时刻记作 *t ，在（ 4.11）式中令0)( * txsl 可以解出 20*)21(mt（ 4.16） 从（ 4.16）式可知，红灯的时间 越短，初始速度与最大速度之比m0 越 小 ，恢复的就越快 设830 m，由（ 4.16） 式可以算出 16* t .将 看做由交通事故造成的堵塞而停止交通的时间，那么 5 分钟的堵塞，需要 755516 分钟堵塞才会恢复原状 . 当 *tt 后， )(),( txtxsrsl都在 0x 处向前移动，并且 的跳跃值越来越小 .理论上要当 t 时全线（ x ）的交通才能恢复到初始状态0.
